电子白板环境下的初中数学《平行线的判定》教学设计
摘要：电子白板是信息技术与课程整合进程中出现的一种新技术手段，它的出现有力地推动了教育信息化的发展。本文通过对电子白板的分析，结合中学数学学科，给出了《平行线的判定》这一课的教学设计，希望能为一线教师如何利用电子白板创新教学提供实践参考。
关键词：电子白板;课堂教学;教学设计
电子白板结合了传统教学与当前信息技术优势，为课堂互动、师生互动、生生互动提供了技术上的方便，为建立以学生学习为中心的课堂教学奠定了技术基础。电子白板的使用，优化了教学过程，激发了学生的学习兴趣，也提高了课堂教学效率。
● 传统课堂教学与基于电子白板的课堂教学
在传统的课堂教学中，教师主要是通过“粉笔+黑板”或是单纯的PPT 形式来进行教学，这种课堂传授形式单一并且枯燥，学生缺乏与教师的互动，只是被动地接受知识，主动性和创造性难以发挥。
基于电子白板的课堂教学利用电子白板作为构建信息化教育的基础平台，可以应用于各个班级、开展多种类型的教学活动来提高信息技术与课程整合的效果。同时，在软件程序的支持下，电子白板与计算机结合可以营造一个大屏幕、交互式的教学环境。
从总体上看，电子白板继承了传统黑板的优势，同时整合了多媒体的优势，在充分吸收两种教学手段精华的基础上，拓展了教学过程中师生交互的广度和深度。
● 电子白板的课堂教学优势
基于电子白板的课堂具有传统课堂教学所不具备的更强的教学互动性，教学设计的中心转移到了“以学生为中心”的核心点上，强调学生的课堂参与，关注学生的学习过程。因此，教学设计的基本要素在电子白板的课堂教学中发生了相应的变化。
1.教师和学生
电子白板为师生之间搭建了一个交流、协作的互动平台和教学环境，师生共同参与到课堂之中，从而形成一个以教师为主导、学生为主体，电子白板为中间媒介的学习共同体。
2.教学目标
电子白板下的课堂，能够有力地支持三维目标的整合与实现。首先，能够提供抽象与具体的教学内容，使教学内容具体化，促进学生的学习，提高学生的认知能力，有利于学生知识的掌握和能力的培养;其次，电子白板使教师回归课堂，促进了师生间的情感交流;再次，电子白板能够促进师生、生生间的交流、协作、共享、体验等过程，实现学生情感态度与价值观的目标。
3.教学内容和教学资源
基于电子白板的课堂教学内容与教学资源的安排与选择，应该仅仅围绕良好的信息呈现与有效的教学互动为中心，进而组织教学资源。同时，网络与电子白板能够实现优质教学资源的共享和交流。
4.教学策略
基于电子白板的课堂可以有效地整合课堂教学资源，创设教学情境，构建知识，突破教学中重点和难点。在教学中设置“交互点”能促进教学互动和生成，提高学生的动手能力和思考能力。
5.教学评价
电子白板具有自动录制、数据保存、学习路径记录等功能，能够将课堂学习活动的过程记录并保存下来。便于采用学生自评、学生互评、教师评价等多种评价方式相结合的教学评价，对教学作出全方位的评价。
有效学习的发生需要适合的教学媒体和良好的课堂教学设计的支持。电子白板为课堂教学各个层面的交互提供了丰富的、更直接的功能，使教师、学生、教学内容间以更接近真实环境的方式进行教学互动和交流。课堂交互是实现课堂教学目标的手段，也是电子白板有机融入课堂教学的设计目标。
● 电子白板环境下《平行线的判定》教学设计
1.教材分析
本节主要内容是让学生在充分感性认识的基础上体会平行线的三种判定方法，它是空间与图形领域的基础知识，是《相交线、平行线与平移》的重点，学习它能为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础。同时，本节学习将加深对“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。
2.教学方法
本节课利用电子白板，通过自学、指导探究的方法进行教学，师生互动，共同探索。并根据学生实际情况，整堂课围绕“情境问题—学生体验—合作交流”模式，鼓励学生积极合作，充分交流，既满足了学生对新知识的强烈探索欲望，又排除了学生学习几何方法的缺乏和学无所用的思想顾虑。电子白板的使用，也增强了师生间的互动，激发了学生的学习兴趣，使每位学生在轻松、快乐的氛围中实现知识的获得。
3.教学目标
知识与技能目标：了解平行线判定的必要性。经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。
过程与方法目标：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。
情感态度与价值观目标：感受数学来源于生活，激发学习数学的兴趣，培养逻辑思维。在独立思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达观点，并从中受益。
4.教学重、难点
重点：平行线的判定公理及两个判定定理。
难点：理解由判定公理推出判定定理的过程。
5.教学过程
第一部分：课前预习
自主预习任务一：同位角相等，两直线平行。
◇问题：如果只有a、b两条直线，如何判断它们是否平行?能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件，演示已知直线a外一点p画a的平行线b。
◇进行观察比较，得出初步结论，由刚才的演示法得出“平行线的判断公理”。
◇练习：如图1，∠1=150°，∠2=150°，a//b吗?
自主预习任务二：内错角相等两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。
◇阅读课本35页的交流与发现。
◇练习：如图2，若A=3，则
∥，若2=E，则∥，若+= 180°，则∥。
设计意图：预习的目的是为了让学生在学习新知之前对知识内容有初步的了解，学生带着自学时的疑惑再进行课堂学习，这样有利于提高课堂效率，有利于师生的课堂互动，有利于学生对知识的把握和理解。
第二部分：课中实施
◇任务驱动。
教师在电子白板中布置任务，学生分小组完成。小组讨论交流后，完成任务方案，每组派一名同学在电子白板上演示本组的方案。
设计意图：教师通过任务驱动的方式，激起了学生的探究欲望，启发学生动脑思考。在学习平行线判定的公理之前，学生先对平行线有个大体的了解，为引出公理打下基础。电子白板的运用也极大地激发了学生的兴趣，学生上前展示自己的成果，既培养了动手能力，也增强了生生、师生间的情感互动，使整个课堂氛围变得轻松、愉快。
◇展示交流。
a.展示交流公理：
情景1：学生动手：①先画一条直线c;②将直尺一边靠在直线c上;③用三角板画平行线a、b。
思考：①在画平行线的过程中，保持了哪两个角不变?并将这两个角分别用∠1、∠2表示。②教师提出问题：如果∠1≠∠2，这两条直线能平行吗?教师利用三角板演示。③通过大家的画图，你能得到什么结论?(如果∠1=∠2，那么a∥b;如果∠1≠∠2，直线a与b不平行)。
情景2：在电子白板上画出两根竹针a、b与第三根竹针c相交，竹针b固定不动，将竹针a绕着点M顺时针旋转，学生观察∠1的变化，同时观察竹针a与竹针b所在直线是否相交，当∠1<∠2或∠1>∠2时，直线a与b相交，当∠1=∠2时，直线a与b平行。
结论：同位角相等，两直线平行。
设计意图：深刻体会、理解同位角相等与两条直线平行的关系。使每位学生都能积极动脑，初步感受新知，挖掘每位学生潜能，培养自学能力。教师可在电子白板上随意画出需要的图形，电子白板中的工具栏可提供各种教学工具以供使用。
b.展示交流判定2、3：
首先以简单的实例表明需要，引出新问题(“内错角相等，两直线平行”的判定)：如图3，如何判断这块玻璃板的上、下两边平行?添加出截线后(如图4)，比照判定公理图，发现无法定出∠1的同位角，再结合图5，让学生思考、试答。至发现内错角相等的条件后，让学生说明道理，而后师生共同修改。以实际需要引出新问题(“同旁内角互补，两直线平行”的判定)。如何判断如图6所示的玻璃板的上下两边平行?至发现“同旁内角互补”的条件后，让学生结合图7说明道理，最后，让学生仿照“内错角相等，两直线平行”的说理，写出完整的过程，并让学生相互交流，然后总结结论。
图6 图7
总结：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。
设计意图：培养学生逻辑、推理能力。体会数学来源于生活又服务于生活。
第三部分：反思拓展(如图8)
设计意图：通过例题讲解，完成性质与判定的综合。体会“由线定线”的逻辑思维过程。即已知两直线平行→(性质)角的关系→(判定)确定其他两直线平行。体会“由角定角”的逻辑思维过程。即已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质)确定其他角的关系。通过电子白板给出的拓展练习完成学生对知识的巩固。
第四部分：系统总结(电子白板展示)
总结知识、方法以及特例。
6.教学反思
本节课中，笔者鼓励学生试着自己归纳总结本节课的知识点，并综合学生的回答，将其呈现在电子白板上，使知识条理化、系统化，以便于学生更好地理解。课堂中，利用电子白板的互动，使学生积极参与到集体学习和交流互动中，培养了学生的动手能力和思考能力。本课的教学遵循了由感性到理性，由抽象到具体的认识过程，通过生活中的实际问题，启发学生的思考，不断提高他们运用数学方法分析问题、解决问题的能力。让学生在和谐的课堂氛围中，在教师和同学的鼓励与欣赏中找到自信，体验成功的乐趣。 参考文献： [1]罗允平.基于电子白板的自然课堂教学设计及案例[J].教育信息技术,2011(4). [2]李文光,荣芳.从教学适用性角度考察交互式电子白板[J].中国现代教育装备,2010(6). [3]张敏霞,王陆.电子白板构建信息化教育的基础平台——电子白板与教学创新专著基本思想论述[J].现代远程教育研究,2010(1). [4]鲍贤清.电子白板的教学策略设计探索[J].中国电化教育,2009(5).
作者：张艳杰 赵菁 谭贺 钟永江
让更多的孩子得到更好的教育
平行线及其判定(提高)知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系; 2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b. 要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交，三者缺一不可;
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系. 2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. ④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点
二、平行公理及推论
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一. (3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点
三、直线平行的判定
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共5页
让更多的孩子得到更好的教育
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1.下列说法正确的是 (
)
A.不相交的两条线段是平行线. B.不相交的两条直线是平行线. C.不相交的两条射线是平行线.
D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【答案】D
【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”. 【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断. 类型
二、平行公理及推论
2.在同一平面内，下列说法：(1)过两点有且只有一条直线;(2)两条直线有且只有一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【答案】B
【解析】正确的是：(1)(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别. 举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是 (
)
(1)直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d. (2)两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共5页
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(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等. (4)在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行. A.1个
B .2个
C.3个
D.4个 【答案】B
类型
三、两直线平行的判定
3. 如图，给出下列四个条件：(1)AC=BD; (2)∠DAC=∠BCA; (3)∠ABD=∠CDB;(4)∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有
(
). A.(1)(2)
B.(3)(4)
C.(2)(4)
D.(1)(3)(4)
【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件. 【答案】C
【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC的截线.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止. 举一反三：
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(
)
A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 【答案】A 提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图.
图B显然不同向，因为路线不平行.
图C中，∠1=180°-130°=50°，路线平行但不同向.
图D中，∠1=180°-130°=50°，路线平行但不同向.
只有图A路线平行且同向，故应选A.
4. 如图所示，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°.试说明AB∥EF的理由.
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【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM=25°，在∠CDE的内部作∠EDN=10°.
∵
∠B=25°，∠E=10°(已知)，
∴
∠B=∠BCM，∠E=∠EDN(等量代换).
∴
AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行).
又∵
∠BCD=45°，∠CDE=30°(已知)，
∴
∠DCM=20°，∠CDN=20°(等式性质).
∴
∠DCM=∠CDN(等量代换).
∴
CM∥DN(内错角相等，两直线平行).
∵
AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴
AB∥EF(平行线的传递性).
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.
∵
∠BCD=45°，∴
∠NCB=135°.
∵
∠B=25°，
∴
∠CNB=180°-∠NCB-∠B=20°(三角形的内角和等于180°).
又∵
∠CDE=30°，∴
∠EDM=150°.
又∵
∠E=10°，
∴
∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°(三角形的内角和等于180°).
∴
∠CNB=∠EMD(等量代换).
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行). 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.
举一反三：
【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2 】【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由.
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【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵
BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴
∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2.
又∵
∠1+∠2=90°，
∴
∠ABD+∠CDB=180°.
∴
AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
【高清课堂：平行线及判定403102 经典例题4 】
【变式2】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：CD//EF.
【答案】
证明：∵ABBD于B，CDBD于D， ∴AB∥CD.
又∵1+2=180°， ∴AB∥EF. ∴CD//EF.
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平行线及其判定(基础)知识讲解 撰稿：孙景艳审稿： 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系;
2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b. 要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交，三者缺一不可;
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点
二、平行公理及推论
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点
三、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3=∠
2∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1.下列叙述正确的是 ()
A.两条直线不相交就平行
B.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】C
【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，故A选项错;平行线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故B选项错;平行线是针对两条直线而言.不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，故D选项错.
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断. 举一反三： 【变式】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有()
A.平行或垂直B.平行或相交C.垂直或相交D.平行、垂直或相交
【答案】B
类型
二、平行公理及推论
2.下列说法中正确的有()
①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b，c∥d，所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个B 2个C.3个D.4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确，故选A.
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解.
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.【答案】平行
类型
三、两直线平行的判定
3. (江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是().
A.①②B.①③C.①④D.③④
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断.
【答案】A
【解析】①由∠1=∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行.
②∵∠1=∠7，又∠7=∠5，
∴∠1=∠5，可推出a∥b.
③∠2+∠3=180°不能推出a∥b.
④∠4=∠7不能推出a∥b.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止.
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是().
A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=1800
【答案】B
【高清课堂：平行线及判定例1】
【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1=2，求证：AB//CD.
【答案】∵ 1=2
∴ 21=22 ，即∠ABC=∠BCD
∴ AB//CD (内错角相等，两直线平行)
4.如图所示，由(1)∠1=∠3，(2)∠BAD=∠DCB，可以判定哪两条直线平行.
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.
【答案与解析】
解：(1)由∠1=∠3，
可判定AD∥BC(内错角相等，两直线平行);
(2)由∠BAD=∠DCB，∠1=∠3得：
∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质)，即∠2=∠4
可以判定AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
综上，由(1)(2)可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果.
5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么?
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a,c⊥a
∴ ∠1=∠2=90°
∴b∥c(同位角相等，两直线平行) .
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
【高清课堂：平行线及判定例5】
举一反三：
【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1=2，AB与CD平行吗?请说明理由.
【答案】
解：AB∥CD.理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义).
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠FEQ -∠1=∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3=∠4.
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行).
3 平行线的判定
1.平行线的判定公理
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单记为：同位角相等，两直线平行. 如图，推理符号表示为：
∵∠1=∠2， ∴AB∥CD
.谈重点同位角相等，两直线平行
①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据;②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线;③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”.
(2)平行公理的推论：
①垂直于同一条直线的两条直线平行.若a⊥b，c⊥b，则a∥c;
②平行于同一条直线的两条直线平行.若a∥b，c∥b，则a∥c.
【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了.请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行?你的依据是什么?
解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断.题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行.
答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行.其依据是同位角相等，两
直线平行.
2.平行线的判定定理
(1)判定定理
1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单记为：同旁内角互补，两直线平行.
符号表示：如下图，∵∠2+∠3=180°，
∴AB∥CD
.
谈重点同旁内角互补，两直线平行
①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用;②应用时，找准哪两个角是同旁内
角，使哪两条直线平行.
(2)判定定理2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单记为：内错角相等，两直线平行.
符号表示：如上图，
∵∠2=∠4，∴AB∥CD.
【例2-1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行.
解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个
最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的.
答案：内错角相等
【例2-2】 如图，下列说法中，正确的是().
A.因为∠A+∠D=180°，所以AD∥BC
B.因为∠C+∠D=180°，所以AB∥CD
C.因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CD
3.平行线的判断方法
平行线的判定方法主要有以下六种：
(1)平行线的定义(一般很少用).
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)同旁内角互补，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
析规律如何选择判定两直线平行的方法
①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的;
②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补.
【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，„，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.
解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法.
若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8中的任意一个条件;
若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3=∠6，∠4=∠5中的任意一个; 若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°中的一个条件;
从其他方面考虑，还可以填∠1=∠8，∠2=∠7，∠1+∠7=180°，∠2+∠8=180°，∠4+∠7=180°，∠3+∠8=180°，∠2+∠5=180°，∠1+∠6=180°中的任意一个条件.
答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1=∠5或∠4=∠5或∠3+∠5=180°„
4.平行线判定的应用
(1)平行线的生活应用
数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到.如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求„„
对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行.
(2)平行线在数学中的运用 平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题.常见的条件探索题就是其应用之一.探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性.解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握.
释疑点判定平行的关键 判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系.
【例4-1】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这个零件合格吗?__________(填“合格”或“不合格”).
解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件.∵∠ABC=120°，
∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°.
∴AB∥CD.
∴这个零件合格.
答案：合格
【例4-2】 已知：如图在四边形ABCD中，∠A=∠D，∠B=∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由.
分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.
解：AD与BC的位置关系是平行.
理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴∠A+∠B=180°.
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行.
一、教学目标:
知识目标：了解推理、证明的格式.理解平行线判定公理的形成，第一个判定定理的证法.掌握平行线判定公理和第一个判定定理.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
能力目标：通过模型演示，即“运动——变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察——分析”和“归纳——总结”的能力.通过判定公理的得出，培养学生善于从实践中总结规律，认识事物的能力.通过判定定理的推导，培养学生的逻辑推理能力. 情感态度目标：通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想.
二、教学重点、难点
1、重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
2、难点判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
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平行线的判定
教学目标
1、使学生掌握平行线的四种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
教学重难点 平行线的判定
教学过程
一、课前练习
1、如图所示，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是( B )
A、∠2=∠3 B、∠1=∠3 C、∠4+∠5=180°
D、∠2=∠4
2、在下图中，∠1=∠2，能判断AB∥CD的是( D )
A、 B、 C、
3、已知：如图所示，∠1=∠B，则下列说法正确的是( A ) A、AB与CD平行
B、AC与DE平行
C、AB与CD平行，AC与DE也平行 D、以上说法都不正确
二、知识讲解
D、
知识点1
判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等,两条直线平行。
应用举例：
1、点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是( C ) A、∠3=∠4 B、∠A+∠ADC=180° C、∠1=∠2 D、∠A=∠5
2、如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是( C ) A、∠EDC=∠EFC B、∠AFE=∠ACD C、∠3=∠4 D、∠1=∠2
3、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( D ) A、∠1=∠2 B、∠2=∠4 C、∠3=∠4 D、∠1+∠4=180° 知识点
2、
判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。 简单地说：内错角相等,两直线平行。
应用举例
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1、如图，要得到a∥b，则需要条件( C ) A、∠2=∠4 B、∠1+∠3=180° C、∠1+∠2=180°
D、∠2=∠3
2、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°， 则a与c平行吗?为什么?
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( C )
A、a∥d B、b⊥d C、a⊥d D、b∥c
de1234abc知识点
3、
判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行.
应用举例：
1、下面各语句中，正确的是( D )
A、两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B、垂直于同一条直线的两条直线平行 C、若a∥b，c∥d，则a∥d D、同旁内角互补，两直线平行
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
2、根据图，下列推理判断错误的是( C )
A、因为∠1=∠2，所以c∥d B、因为∠3=∠4，所以c∥d C、因为∠1=∠3，所以c∥d D、因为∠2=∠3，所以a∥b
3、如图，∠1=∠2，∠DAB=∠BCD.给出下列结论(1)AB∥DC，(2)AD∥BC，(3)∠B=∠D，(4)∠D=∠DAC.其中，正确的结论有( C )个. A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
三、课堂练习
1、如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2=∠6;④∠4+∠7=180°，其中能说明a∥b的条件有(D )个. A、1 B、2 C、3 D、4
(第5题图) (第6题图) (第7题图)
2、如图，不能判断l1∥l2的条件是( D ) A、∠1=∠3 B、∠2+∠4=180° C、∠4=∠5 D、∠2=∠3 提分热线400-101-0908
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3、如图所示，能说明AB∥DE的有( C )
①∠1=∠D;②∠CFB+∠D=180°;③∠B=∠D;④∠BFD=∠D. A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
4、如图，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，则下列结论正确的是( D ) A、∠A=∠C B、∠E=∠F C、AE∥FC D、AB∥DC
5、在下图中，∠1=∠2，能判断AB∥CD的是( D )
A、 B、 C、
D、
(第9题图 ) (第10题图) (第11题图)
6、如图所示，下列推理中正确的数目有( A )
①因为∠1=∠4，所以BC∥AD. ②因为∠2=∠3，所以AB∥CD.
③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以AD∥BC. ④因为∠1+∠2+∠C=180°，所以BC∥AD. A、1个
B、2个 C、3个
D、4个
7、如图，∠3=∠4，则下列条件中不能推出AB∥CD的是( A )
A、∠1与∠2互余 B、∠1=∠2 C、∠1=∠3且∠2=∠4 D、BM∥CN
8、如图所示，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要( D ) A、∠1=∠3 B、∠2=∠4 C、∠1=∠4 D、AB∥CD
9、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是( A )
A、平行
B、垂直 C、平行或垂直 D、无法确定
家庭作业
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
1、如图，直线l3⊥l4，且∠1=∠4，则下列判断正确的是( A ) A、l1∥l
2B、∠1+∠4=∠2+∠3 C、∠1+∠4=90°
D、∠2=∠4
2、如图所示，下列推理不正确的是( D )
A、若∠1=∠C，则AE∥CD B、若∠2=∠BAE，则AB∥DE C、若∠B+∠BAD=180°，则AD∥BC D、若∠C+∠ADC=180°，则AE∥CD
3、如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是( A ) A、∠1=∠2 B、∠1+∠2=90° C、∠3+∠4=90° D、∠2+∠3=90°
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(第4题图) (第5题图) (第6题图)
4、如图所示，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则( C ) A、l3∥l
4B、l2∥l5 C、l1∥l
5D、l1∥l2
5、如图，已知直线BF、CD相交于点O，∠D=40°，下面判定两条直线平行正确的是( D ) A、当∠C=40°时，AB∥CD B、当∠A=40°时，AC∥DE C、当∠E=120°时，CD∥EF D、当∠BOC=140°时，BF∥DE
6、如图所示，下列条件中，能判定直线a∥b的是( B ) A、∠1=∠4 B、∠4=∠5 C、∠3+∠5=180°
D、∠2=∠4
7、根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是( C )
A、由∠1=∠2，得AB∥CD B、由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN C、由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD D、由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD
8、(2011•重庆)如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于( D )
A、60° B、50° C、45°
D、40°
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1.如图，当∠1=∠2时，直线a、b平行吗，为什么?
2.如图，已知∠ABC=∠BCD，∠ABC+∠CDG=180°，求证：BC∥GD.
3.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=15°，∠2=15°，AE与BF平行吗?为什么?
4. 如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°. 求证：AB∥CD.
1 3页) 第页(共
5.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么?
6.如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整.
7.已知：如图，∠BAD=∠DCB，∠BAC=∠DCA. 求证：AD∥BC.
8.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1=∠2，说出图中那些直线平行，并说明理由.
2 3页) 第页(共
9.如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2.试判断BE与CF的关系，并说明你的理由.
10.AB⊥BC，∠.
1+∠2=90°，∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么? 第页(共
3 3页)
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