大学体育舞蹈的侧重点和难点分析
[摘 要] 从目前大学体育舞蹈教学来看，掌握体育舞蹈教学的侧重点和难点，对于做好体育舞蹈教学工作以及提高体育舞蹈教学的整体质量具有重要意义，基于对大学体育舞蹈教学的了解，在当前大学体育舞蹈教学过程中，侧重点和教学难点主要表现在：学生形体训练、乐感培养与形体教学结合、学生的舞蹈动作和技巧等方面，因此，应当对大学体育舞蹈的侧重点和难点进行深入的分析，并对侧重点和难点有效掌握，提高大学体育舞蹈教学的针对性。
[关 键 词] 体育舞蹈教学; 侧重点; 教学难点
[
一、前言
基于对大学体育舞蹈教学的了解，在当前大学体育舞蹈教学过程中，掌握教学侧重点和难点不但是开展教学之前所必须做好的准备工作，同时也关系到大学体育舞蹈教学能否取得积极效果。按照大学体育舞蹈教学的实际需求，在舞蹈教学过程中，应当重点加强学生的形体训练，并将乐感培养与形体教学相结合，同时还应当着重训练学生的舞蹈动作和技巧，只有对大学体育舞蹈的侧重点和难点有足够的认识，才能够保证体育舞蹈教学取得实效。
二、大学体育舞蹈教学，应加强学生形体训练
基于对大学体育舞蹈侧重点和难点的了解，在大学体育舞蹈教学过程中，应当有效地开展学生形体训练。由于体育舞蹈对学生的新身体协调性有较高的要求，同时也需要学生具有一定的形体基础，只有达到这一要求，才能够提高大学体育舞蹈教学的整体质量，减轻体育舞蹈课堂教学的负担。因此，在大学体育舞蹈教学过程中，应当着重加强学生的形体训练，使学生的身体协调性和身体素质能够得到不断加强，最终达到体育舞蹈教学的基本要求。所以，在大学体育舞蹈教学中，应当首先加强学生的形体训练，做到根据学生的身体情况制定有效的形体训练计划，并合理地设定形体训练目标。从这一点来看，在大学体育舞蹈教学中，学生的形体训练是体育舞蹈教学的侧重点，也是体育舞蹈教学的难点，在具体的教学过程中能够提高形体训练的整体质量和效率。
三、大学体育舞蹈教学，应将乐感培养与形体教学相结合
从目前大学体育教学来看，乐感培养与形体教学二者互为补充、互为支持，既要提高乐感培养的整体效果，同时也应当加强形体教学，使乐感培养与形体教学共同发展，为学生的舞蹈素质提高奠定良好的基础，基于这一认识，在大学体育舞蹈教学过程中，应当将乐感培养与形体教学相结合，通过制定有效的乐感培养与形体教学方案，使乐感培养与形体教学能够得到有效的实施，为大学体育舞蹈教学提供良好的方法支持和内容支持，使乐感培养与形体教学能够得到有效的实施。因此，在大学体育舞蹈教学过程中，应当将乐感培养与形体教学作为教学的侧重点和难点来对待，通过将乐感培养与形体教学相结合，实现乐感培养与形体教学的共同开展，满足舞蹈教学的现实需求，为大学体育舞蹈教学奠定坚实的基础。由此可见，在大学体育舞蹈教学过程中，应当认识到乐感培养与形体教学的重要性，通过将二者有效地结合提高大学体育舞蹈教学的整体质量。
四、大学体育舞蹈教学，应着重训练学生的舞蹈动作和技巧
结合体育大学体育舞蹈教学实际，在具体的教学过程中，应当着重训练学生的舞蹈动作和技巧，只有学生掌握了舞蹈动作和基本的技巧，才能够在舞蹈学习过程中取得积极效果，同时考虑到大学体育舞蹈教学的实际难度，学生的身体协调性和舞蹈动作与技巧的掌握能力也关系到大学体育舞蹈教学课堂教学的实际，因此，在大学体育舞蹈教学过程中，应当将训练学生的舞蹈动作和技巧作为舞蹈教学的侧重点和难点来看待。按照学生的实际需要制定个性化的舞蹈动作和技巧训练计划，使所有的学生能够在舞蹈动作和舞蹈技巧的掌握过程中得到有效的指导和支持，为大学体育舞蹈教学的开展奠定良好的身体基础，使大学体育舞蹈教学在课堂教学过程中能够在舞蹈动作和舞蹈技巧的教学过程中有更强的针对性。
五、结论
通过本文的分析可知，在大学体育舞蹈教学过程中，掌握侧重点和难点不但有利于舞蹈教学的开展，同时还能够提高体育舞蹈教学的针对性，使体育舞蹈教学能够根据侧重点和难点采取有针对性的教学措施，使大学体育舞蹈教学能够在针对性和教学效果上都能够得到有效的提高，确保大学体育舞蹈教学能够在整体教学质量上达到预期目标，所以，大学体育舞蹈在教学过程中，应当对教学的侧重点和难点进行全面的分析和有效的掌握，为大学体育舞蹈教学的开展奠定良好的基础。
参考文献：
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[4]徐春红，李杰，吴海池.关于高校体育舞蹈课程的探讨[J].科学大众(科学教育)，2011(2).
[5]刘健，成兆启.音乐对体育舞蹈教学的重要影响[J].科技信息，2010(35).
[6]魏丽.体育舞蹈在河南省俱乐部中开展的现状及对策研究[D].武汉体育学院，2009.
作者：杨亚奇
作者简介：汪琳(1984.7-)女，研究生在读，助教。研究方向：高校管理，学生管理。
龙凌(1964.8-)男 ，本科，副教授。研究方向：旅游管理与高校管理。课题来源：湖南省高校学生思想政治教育研究会研究课题
摘要：提升高职大学生的道德水平，可以有效提高高职大学生的就业率和就业质量。我国现实的情况是：和普通大学生相比，我国高职大学生的道德水平一般，在高职教育领域出现了很多“道德危机”事件。基于这个背景，本文对新就业形式下高职大学生道德教育重点和难点分析进行了分析，希望本文的研究可以为我国高职教育的发展做出贡献。
关键词：高职大学生;道德教育;新就业形势
Key words：vocational college students; moral education; new employment situation
1 引言
改革开放以来我国高职教育事业迅速发展，高职大学生的人数也在逐年增加。高职大学生技术扎实，适合企业工程实践，他们是我国教育体系之中的新兴力量。从就业形势来看，高职大学生也面临着“找工作难”的问题。提升高职大学生的思想道德水平，进而提高高职大学生的就业率和就业质量，是一条我们必须摸索的路。基于这个背景，本文对新就业形式下高职大学生道德教育重点和难点分析进行了分析，希望本文的研究可以为我国高职教育的发展做出贡献。
2 新就业形势下的高职大学生道德教育的现状探析
2.1 新的就业形势概述
对于我国高职教育来说，高职大学生面临的新的就业形势可概括为以下几点：首先，我国高职大学生就业供过于求的现状长期存在，就业形势严峻。其次我国高职大学生就业市场出现新变化：应届男女毕业生的就业率降低，而且在劳动力市场上失业率出现上升趋势;总体的工资水平是下降趋势，经济地位也出现相对降低;获得满意的工作机会逐渐减少;在先就业后择业的意识逐渐增强的同时，在就业市场上的诚信度比以往下降。
2.2 高职院校道德教育的现状
2.2.1 高职院校并没有很好地将就业指导和思想道德教育融合起来
一般来说，高职院校中的就业指导与道德教育的关系应该是水乳交融的关系。但是，现在很少有高职院校能够做到这一点，现在高职院校过分忽视就业工作中的道德作用，过分地强调重视信息服务和技巧培训的实用性的就业指导，这样使得高职院校的毕业生在处理就业中出现的各种实际问题时，存在着理论和实际脱节的现象。一方面，高职院校毕业生通过在校期间的两课学习和日常的思想政治教育，已经树立了正确的人生观、价值观和世界观，在是非的问题上可以明确立场，坚持原则。另一方面，高职院校毕业生在面临择业这个关系到自身利益的实际问题，需要正确的科学的理论作指导时，往往却得不到相关的理论支持。
2.2.2 没有专职的就业思想道德教育工作者
目前高职院校中道德教育基本上由“两课”教师人员担任，这些人普遍对毕业生的就业指导工作一无所知，更没有将对高职大学生进行道德教育的能力。而高职院校设立的就业指导中心，基本上没有对学生进行道德教育指导的要求，因此，在高职院校之中出现了没有专职的就业思想道德教育工作者现状。
2.2.3 高职大学生就业指导中思想道德教育内容的针对性仍不强
我国各高职院校就业指导中的道德教育，应该是通过大学生的日常教育工作来体现，但现在更多地是通过开展“两课”教育来体现。而“两课”教育在学生的就业问题进行指导时，常出现针对性弱，时效性差等问题。例如高职院校中的“两课”教育所用教材的内容普遍比较落后，没有编入近期出现的新情况、新理论、新观点和党中央出台的新政策，这使得很多大学生厌烦“两课”学习。同时“两课”学习使用的教材多是直接利用大学生的就业指导教材，针对性和时效性不强。
3 新就业形势下加强高职大学生道德教育的新思路
3.1加强高职大学生就业指导中道德教育队伍的建设
具体来讲，做好高职院校就业指导中的思想政治教育必须要充分整合资源，建立起一支专兼职队伍。同时优化队伍结构，建立由辅导员、教师、班主任和就业主管人员组成的就业指导中思想政治教育的基本队伍，辅以专业教师、外来专家、学者，开展高职院校就业指导中的道德教育。辅导员和班主任负责对高职大学生进行经常性的职业指导和心理咨询，指导高职大学生作好就业准备，解决高职大学生就业过程中出现的心理问题。就业主管部门负责高职大学生的政策指导，他们为高职大学生提供各种择业服务，包括提供就业信息、推荐工作和开展招聘活动等。聘请心理专家对高职大学生进行系统的心理学教育和指导，帮助高职大学生科学认识自我，发现自我，开发自我和发展自我，从心理学层面解决高职大学生的职业心理问题。
3.2 优化就业工作中道德教育的环境
高职院校是高职大学生学习和生活的地方，高职大学生几乎每天都要从学校环境中进行物质、能量、信息的交换，并接受潜移默化的影响。学校的环境对高职大学生道德教育的效果有着非常重要的影响。学校良好的育人氛围和集中的教育力量，会对高职大学生产生先入为主的效应。因此营造健康向上的育人环境，积极、健康的校园文化己经成为高职大学生道德教育的有效途径和载体。各高职院校要以建设优美、文明、有序的校园环境为目标，在不断加大资金投入，完善学校教学的硬件设施配置，同时也要注重校园文化的培养。要用优美的校园环境和积极向上的校园文化引导高职大学生树立正确的人生观和世界观;也要注重用校园文化引导高职大学生树立正确的就业观、择业观以及增强道德意识和法制观念的影响。
3.3 转变道德教育者的工作思路，实现就业指导与道德教育观念以及工作方法和载体的时代变迁
(1)加强思想政治教育，提高高职大学生的就业意识和创业意识
就业观教育的主要作用是把正确的职业价值观传导给高职大学生，促使高职大学生能够对自己的能力有一个正确的认识，选择一个可以充分发挥自身能力，同时还能为社会做出最大贡献的职业。
(2)开展社会主义荣辱观教育、诚信教育及职业道德教育
首先，开展社会主义荣辱观教育。开展社会主义荣辱观教育是培养中国特色社会主义事业合格公民的需要，同时也可以指引当代高职大学生成为社会主义事业合格的建设者和接班人，也是培育社会主义“四有”新人的根本要求。第二，开展诚信教育。诚信有助于促进人与人之间彼此的沟通和合作。诚信教育也是思想政治教育的重要内容，它有利于学生树立正确的就业观和择业观，增强学生的道德意识和法律意识。第三，加强职业道德教育。现实中用人单位喜欢有责任感、有事业心、乐于奉献和爱岗敬业的高职大学生。而道德教育可以对人的责任感，事业心进行培养，因此高校要加强对高职大学生道德教育，强化高职大学生责任感和公德心，这是提高高职大学生就业率的内在因素之一。
4 结论
本文引证大量事实说明高职大学生当前面临的新的就业形势，同时指明道德教育与高职大学生就业的联系，并进一步阐明了新就业形势下高职大学生道德教育存在的问题进行了研究，最后探讨了新就业形势下如何加强高职大学生道德政治教育的措施。
参考文献
[1] 段玉銮.大学生的就业观与就业观教育.社会科学论坛(学术研究卷),2010(5):145-147.
[2] 刘卫华.关于高校就业指导中的思想教育策略.职业教育研究,2010(6):52.
[3] 汤斌华,李晓.大学生就业诚信缺失及对策.文教资料,2010(2):45.
作者：汪琳 龙凌
【摘要】山岭隧道往往会遇到富水断层破碎带。随着环保意识的增强，保持生态平衡己成为在富水断层区隧道修建的目标。为了为类似施工提供一定的类比和参考，文章以浦梅铁路牛峒山隧道为依托，采用Flac3D有限差分模拟软件，对不同环状排水盲管间距下隧道的二次衬砌应力、内力以及安全性进行了分析。研究表明：对于富水区隧道而言，环状盲管的不同布置方式主要影响二次衬砌的应力大小，而对结构的内力、安全性影响不大。
【關键词】富水区; 隧道防排水; 环向盲管; 衬砌内力; 安全性
【中国分类号】U453.6【文献标志码】A
岩土工程与地下工程
我国西部和南部有较大面积处于热带季风或亚热带季风气候，雨量丰沛、地下水系发达。因此在这个地区，修建深埋长大山岭隧道不可避免地会穿越高压富水地区，而现今对水环境生态平衡要求较高，地下水问题尤其高压富水问题是建设过程中必然要面对的问题[1-2]。
本文以位于浦梅铁路牛峒山隧道为研究对象，对不同环向盲管间距下隧道的衬砌结构应力、内力等进行分析，研究高地下水位情况下防排水系统的布置对围岩和支护结构的影响，以为类似隧道建设提供一定的理论支持和技术保障。
1 工程概况
牛峒山隧道位于浦梅铁路杨源站至连城站区间内，隧址附近的主要水源为一条中型河流，平水期日流量81 200 m3，洞身分布有三个水库，水质具酸性侵蚀。隧道界限宽度7.95 m，隧道进口、出口洞口段围岩极破碎，遇水易软化，围岩级别V级，隧道在断层破碎带及软弱破碎围岩段落，易发生涌水、坍塌、围岩大变形等地质灾害。
2 数值计算模型及参数
根据牛峒山隧道施工图的实际地形图，在综合分析隧道和地质资料基础上，选取最不利工况建立数值分析模型。隧址区域附近，主要为Ⅴ级围岩，拟采用弹塑性材料模拟，本构准则选取Mohr-Coulomb准则，不考虑初期支护和二次衬砌的塑性，采用弹性材料模拟，其中二次衬砌视为不透水材料。建立数值模型如图1所示，水头位于隧道拱顶上方60 m处，除上边界外，其余各边界均施加静力场法相约束和渗流场自由约束。
借鉴过往研究经验中关于衬砌外排水系统中环向盲管的设置[3]，并结合牛峒山隧道工程实际，决定将环向盲管间距设置为：5 m，7 m，9 m，12 m和15 m，以研究盲管间距对衬砌水压力的影响。模拟排水的方式，一方面是采取将排水管区域置空的方式移除单元以模拟排水管的空洞，另一方面则是将排水管表面的静水压力固定为零，使得地下水可以源源不断地渗出[4]。
3 结果分析
3.1 竖向应力
如图2所示，竖向应力方面，二次衬砌均承受压应力，压应力主要集中在拱顶附近，仰拱处次之，最大分别达到了4.63 MPa和4.06 MPa。而拱腰处最小，几组工况应力值在0.2 MPa附近，二者大小相差约20倍。仰拱和拱顶处应力随环向排水盲管间距的扩大而减小，并在间距达到9 m之后趋于稳定。拱脚处的竖向应力则呈现出先增大后减小的特点，最小出现在环向盲管间距9 m时，大小仅0.58 MPa，而拱腰处的竖向应力则基本不发生变化，说明环向盲管的布置间距对该处竖向应力影响不大。
3.2 水平应力
五种工况下水平方向应力值云图和不同位置变化趋势如图3所示。总体而言，二次衬砌的水平应力受环向排水盲管间距变化较小，仰拱和拱脚处的最大值、最小值之差不超过20 %，并且绝对值很小，其中仰拱处受拉。拱肩和拱脚处的水平应力值变化趋势相仿，最大值都在3.2 MPa左右、最小值都在2.5 MPa左右。与竖向应力分布恰好相反，拱腰处的水平应力在所有位置中最大，约为4.6～5.5 MPa，且随环向盲管间距的增大逐渐降低。
3.3 二次衬砌内力分析
地下水荷载对于富水地区隧道衬砌结构来说，是必须要重点考虑的荷载，其严重影响衬砌结构的受力特征[5]。衬砌的承载能力直接关系到运营期间的衬砌安全性。选取模型内部位置作为参考点，得到隧道各监测点内力计算结果如表2和表3所示。
分析图4可知，隧道不同位置的内力值相差较大。弯矩方面，二次衬砌整体并未出现负弯矩，最大弯矩值出现在仰拱处，达到了160 kN·m左右，拱脚处次之，也达到了120 kN·m，其余位置分别达到40～80 kN·m左右。整个二次衬砌均受压，拱脚处的轴向内力大小为2 600～2 800 kN，较之拱顶、仰拱、拱腰、拱肩处较大，约为它们的3～18倍。综合图5来看，这是由于拱脚处属于环、纵排水盲管的交汇区域，地下水压力相对较小，导致该处承受的有效应力增大所致。
由图4可知，总体而言，内力大小随环向盲管的间距的增加而降低，拱顶、拱肩、拱腰、拱脚和仰拱各自的弯矩大小随盲管间距的增大，其缩小幅度约为14.6 %、11.8 %、4.8 %、3.6 %、6.0 %，轴力大小缩减幅度约为6.0 %、5.1 %、4.2 %、7.7 %、12.5 %。因此，基本可以判断环向盲管间距对二次衬砌内力影响较小，可视作影响结构内力和判断结构安全性的较为次要的因素。
4 结论
本文主要对富水地区隧道在不同排水管布置情况下，衬砌的力学行为进行研究，通过分析不同环向盲管间距下隧道的衬砌结构应力、内力的变化或分布规律，得出如下结论：
（1）不论环向盲管如何布置，衬砌结构多数情况下始终处于受压状态。二次衬砌的竖向应力随环状盲管间距的扩大而减小，最大的降幅达到了52 %，最大应力出现在拱顶处，大小约4.4 MPa。水平应力也随间距扩大而减小，但其受间距的影响不如竖向应力。
（2）二次衬砌内力方面，仰拱处的弯矩值最大，拱肩处最小，二者差距约为3～4倍。轴力值仅有拱脚处最大，其余部位均比较小，原因是因为拱脚处为排水盲管密集处，水压力较低，造成衬砌承受的有限压力变大。
（3）总体而言，环向排水盲管间距对二次衬砌的内力值影响较小，各个间距间弯矩、轴力值差距不超过15 %，因此可以判断各工况下安全系数相差不大，即安全性和环向排水盲管间距基本无关。
参考文献
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作者：陈昕 张志强
数值分析实验报告
一、实验3.1
题目：
考虑线性方程组，，，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss消去过程。
(1)取矩阵，，则方程有解。取计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全选主元Gauss消元方法求解，结果如何?
(2)现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何?分析实验的结果。
(3)取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
(4)选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1.
算法介绍
首先，分析各种算法消去过程的计算公式，
顺序高斯消去法：
第k步消去中，设增广矩阵中的元素(若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵，停止计算)，则对k行以下各行计算，分别用乘以增广矩阵的第行并加到第行，则可将增广矩阵中第列中以下的元素消为零;重复此方法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即;
列主元高斯消去法：
第k步消去中，在增广矩阵中的子方阵中，选取使得，当时，对中第行与第行交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。重复此方法，从第1步进行第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即;
完全主元高斯消去法：
第k步消去中，在增广矩阵中对应的子方阵中，选取使得，若或，则对中第行与第行、第列与第列交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此方法，从第1步进行到第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即;
接下来，分析回代过程求解的公式，容易看出，对上述任一种消元法，均有以下计算公式：
2.
实验程序的设计
一、输入实验要求及初始条件；
二、计算系数矩阵A的条件数及方程组的理论解；
三、对各不同方法编程计算，并输出最终计算结果。
3.
计算结果及分析
(1)
先计算系数矩阵的条件数，结果如下，
可知系数矩阵的条件数较大，故此问题属于病态问题，
b或A的扰动都可能引起解的较大误差;
采用顺序高斯消去法，计算结果为：
最终解为x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000001,
0.999999999999998,
1.000000000000004,
0.999999999999993,
1.000000000000012,
0.999999999999979,
1.000000000000028)T
使用无穷范数衡量误差，得到=2.842170943040401e-14，可以发现，采用顺序高斯消元法求得的解与精确解之间误差较小。通过进一步观察，可以发现，按照顺序高斯消去法计算时，其选取的主元值和矩阵中其他元素大小相近，因此顺序高斯消去法方式并没有对结果造成特别大的影响。
若采用列主元高斯消元法，则结果为：
最终解为x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同样使用无穷范数衡量误差，有=0;
若使用完全主元高斯消元法，则结果为
最终解x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同样使用无穷范数衡量误差，有=0;
(2)
若每步都选取模最小或尽可能小的元素为主元，则计算结果为
最终解x=(1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000012
0.999999999999979
1.000000000000028)T
使用无穷范数衡量误差，有为2.842170943040401e-14;而完全主元消去法的误差为=0。
从(1)和(2)的实验结果可以发现，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精确解，而顺序高斯消去法和以模尽量小的元素为主元的消去法没有得到精确解。在后两种消去法中，由于程序计算时的舍入误差，对最终结果产生了一定的影响，但由于方程组的维度较低，并且元素之间相差不大，所以误差仍比较小。
为进一步分析，计算上述4种方法每步选取的主元数值，并列表进行比较，结果如下：
第n次消元
顺序
列主元
完全主元
模最小
1
6.000000000000000
8
8
6.000000000000000
2
4.666666666666667
8
8
4.666666666666667
3
4.285714285714286
8
8
4.285714285714286
4
4.133333333333333
8
8
4.133333333333333
5
4.064516129032258
8
8
4.064516129032258
6
4.031746031746032
8
8
4.031746031746032
7
4.015748031496063
8
8
4.015748031496063
8
4.007843137254902
8
8
4.007843137254902
9
4.003913894324853
8
8
4.003913894324853
10
4.001955034213099
0.015617370605469
0.015617370605469
4.001955034213099
从上表可以发现，对这个方程组而言，顺序高斯消去选取的主元恰好事模尽量小的元素，而由于列主元和完全主元选取的元素为8，与4在数量级上差别小，所以计算过程中的累积误差也较小，最终4种方法的输出结果均较为精确。
在这里，具体解释一下顺序法与模最小法的计算结果完全一致的原因。该矩阵在消元过程中，每次选取主元的一列只有两个非零元素，对角线上的元素为4左右，而其正下方的元素为8，该列其余位置的元素均为0。在这样的情况下，默认的主元也就是该列最小的主元，因此两种方法所得到的计算结果是一致的。
理论上说，完全高斯消去法的误差最小，其次是列主元高斯消去法，而选取模最小的元素作为主元时的误差最大，但是由于方程组的特殊性(元素相差不大并且维度不高)，这个理论现象在这里并没有充分体现出来。
(3)
时，重复上述实验过程，各种方法的计算结果如下所示，在这里，仍采用无穷范数衡量绝对误差。
顺序高斯消去法
列主元高斯消去
完全主元高斯消去
选取模最小或尽可能小元素作为主元消去
X
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
2.910205409989430e-11
0
0
2.910205409989430e-11
可以看出，此时列主元和完全主元的计算结果仍为精确值，而顺序高斯消去和模尽可能小方法仍然产生了一定的误差，并且两者的误差一致。与n=10时候的误差比相比，n=20时的误差增长了大约1000倍，这是由于计算过程中舍入误差的不断累积所致。所以，如果进一步增加矩阵的维数，应该可以看出更明显的现象。
(4)
不同矩阵维度下的误差如下，在这里，为方便起见，选取2-条件数对不同维度的系数矩阵进行比较。
维度
条件数
顺序消去
列主元
完全主元
模尽量小
1.7e+3
2.84e-14
0
0
2.84e-14
1.8e+6
2.91e-11
0
0
2.91e-11
5.7e+7
9.31e-10
0
0
9.31e-10
1.8e+9
2.98e-08
0
0
2.98e-08
1.9e+12
3.05e-05
0
0
3.05e-05
3.8e+16
3.28e+04
3.88e-12
3.88e-12
3.28e+04
8.5e+16
3.52e+13
4.2e-3
4.2e-3
3.52e+13
从上表可以看出，随着维度的增加，不同方法对计算误差的影响逐渐体现，并且增长较快，这是由于舍入误差逐步累计而造成的。不过，方法二与方法三在维度小于40的情况下都得到了精确解，这两种方法的累计误差远比方法一和方法四慢;同样地，出于与前面相同的原因，方法一与方法四的计算结果保持一致，方法二与方法三的计算结果保持一致。
4.
结论
本文矩阵中的元素差别不大，模最大和模最小的元素并没有数量级上的差异，因此，不同的主元选取方式对计算结果的影响在维度较低的情况下并不明显，四种方法都足够精确。
对比四种方法，可以发现采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以尽量抑制误差，算法最为精确。不过，对于低阶的矩阵来说，四种方法求解出来的结果误差均较小。
另外，由于完全选主元方法在选主元的过程中计算量较大，而且可以发现列主元法已经可以达到很高的精确程度，因而在实际计算中可以选用列主元法进行计算。
附录：程序代码
clear
clc;
format
long;
%方法选择
n=input('矩阵A阶数:n=');
disp('选取求解方式');
disp('1
顺序Gauss消元法，2
列主元Gauss消元法，3
完全选主元Gauss消元法，4
模最小或近可能小的元素作为主元');
a=input('求解方式序号：');
%赋值A和b
A=zeros(n,n);
b=zeros(n,1);
for
i=1:n
A(i,i)=6;
if
i>1
A(i,i-1)=8;
end
if
i
A(i,i+1)=1;
end
end
for
i=1:n
for
j=1:n
b(i)=b(i)+A(i,j);
end
end
disp('给定系数矩阵为：');
A
disp('右端向量为：');
b
%求条件数及理论解
disp('线性方程组的精确解：');
X=(A)'
fprintf('矩阵A的1-条件数:
%f
',cond(A,1));
fprintf('矩阵A的2-条件数:
%f
',cond(A));
fprintf('矩阵A的无穷-条件数:
%f
',cond(A,inf));
%顺序Gauss消元法
if
a==1
A1=A;b1=b;
for
k=1:n
if
A1(k,k)==0
disp('主元为零，顺序Gauss消元法无法进行');
break
end
fprintf('第%d次消元所选取的主元：%g',k,A1(k,k))
%disp('此次消元后系数矩阵为：');
%A1
for
p=k+1:n
l=A1(p,k)/A1(k,k);
A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)-l*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/A1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w);
end
x1(k)=b1(k)/A1(k,k);
end
disp('顺序Gauss消元法解为:');
disp(x1);
disp('所求解与精确解之差的无穷-范数为');
norm(x1-X,inf)
end
%列主元Gauss消元法
if
a==2
A2=A;b2=b;
for
k=1:n
[max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k))));
if
max_i~=k
A2_change=A2(k,:);
A2(k,:)=A2(max_i,:);
A2(max_i,:)=A2_change;
b2_change=b2(k);
b2(k)=b2(max_i);
b2(max_i)=b2_change;
end
if
A2(k,k)==0
disp('主元为零，列主元Gauss消元法无法进行');
break
end
fprintf('第%d次消元所选取的主元：%g',k,A2(k,k))
%disp('此次消元后系数矩阵为：');
%A2
for
p=k+1:n
l=A2(p,k)/A2(k,k);
A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n);
b2(p)=b2(p)-l*b2(k);
end
end
x2(n)=b2(n)/A2(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w);
end
x2(k)=b2(k)/A2(k,k);
end
disp('列主元Gauss消元法解为:');
disp(x2);
disp('所求解与精确解之差的无穷-范数为');
norm(x2-X,inf)
end
%完全选主元Gauss消元法
if
a==3
A3=A;b3=b;
for
k=1:n
VV=eye(n);
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
if
numel(max_i)==0
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
end
W=eye(n);
W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(max_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,max_i(1)+k-1)=1;
V=eye(n);
V(k,k)=0;
V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0;
V(k,max_j(1)+k-1)=1;
V(max_j(1)+k-1,k)=1;
A3=W*A3*V;
b3=W*b3;
VV=VV*V;
if
A3(k,k)==0
disp('主元为零，完全选主元Gauss消元法无法进行');
break
end
fprintf('第%d次消元所选取的主元：%g',k,A3(k,k))
%disp('此次消元后系数矩阵为：');
%A3
for
p=k+1:n
l=A3(p,k)/A3(k,k);
A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n);
b3(p)=b3(p)-l*b3(k);
end
end
x3(n)=b3(n)/A3(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w);
end
x3(k)=b3(k)/A3(k,k);
end
disp('完全选主元Gauss消元法解为:');
disp(x3);
disp('所求解与精确解之差的无穷-范数为');
norm(x3-X,inf)
end
%模最小或近可能小的元素作为主元
if
a==4
A4=A;b4=b;
for
k=1:n
AA=A4;
AA(AA==0)=NaN;
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k))));
if
numel(min_i)==0
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n))));
end
W=eye(n);
W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(min_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,min_i(1)+k-1)=1;
A4=W*A4;
b4=W*b4;
if
A4(k,k)==0
disp('主元为零，模最小Gauss消元法无法进行');
break
end
fprintf('第%d次消元所选取的主元：%g',k,A4(k,k))
%A4
for
p=k+1:n
l=A4(p,k)/A4(k,k);
A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n);
b4(p)=b4(p)-l*b4(k);
end
end
x4(n)=b4(n)/A4(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w);
end
x4(k)=b4(k)/A4(k,k);
end
disp('模最小Gauss消元法解为:');
disp(x4);
disp('所求解与精确解之差的无穷-范数为');
norm(x4-X,inf)
end
二、实验3.3
题目：
考虑方程组的解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵：
这是一个著名的病态问题。通过首先给定解(例如取为各个分量均为1)再计算出右端的办法给出确定的问题。
(1)选择问题的维数为6，分别用Gauss消去法(即LU分解)、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程组，其各自的结果如何?将计算结果与问题的解比较，结论如何。
(2)逐步增大问题的维数，仍用上述的方法来解它们，计算的结果如何?计算的结果说明的什么?
(3)讨论病态问题求解的算法。
1.
算法设计
对任意线性方程组，分析各种方法的计算公式如下，
(1)Gauss消去法：
首先对系数矩阵进行LU分解，有，则原方程转化为，令，则原方程可以分为两步回代求解：
具体方法这里不再赘述。
(2)J迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵，其中
，进行迭代计算，直到误差满足要求。
(3)GS迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵
，其中
，进行迭代计算，直到误差满足要求。
(4)SOR迭代法：
首先分解，再构造迭代矩阵
，其中，进行迭代计算，直到误差满足要求。
2.
实验过程
一、根据维度n确定矩阵H的各个元素和b的各个分量值；
二、选择计算方法（
Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法)，对迭代法设定初值，此外SOR方法还需要设定松弛因子;
三、进行计算，直至满足误差要求（对迭代法，设定相邻两次迭代结果之差的无穷范数小于0.0001；
对SOR方法，设定为输出迭代100次之后的结果及误差值)，输出实验结果。
3.
计算结果及分析
(1)时，问题可以具体定义为
计算结果如下，
Gauss消去法
第1次消元所选取的主元是：1
第2次消元所选取的主元是：0.0833333
第3次消元所选取的主元是：0.00555556
第4次消元所选取的主元是：0.000357143
第5次消元所选取的主元是：2.26757e-05
第6次消元所选取的主元是：1.43155e-06
解得X=(0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680)T
使用无穷范数衡量误差，可得=4.254160357319847e-10;
J迭代法
设定迭代初值为零，计算得到
J法的迭代矩阵B的谱半径为4.30853>1，所以J法不收敛;
GS迭代法
设定迭代初值为零，计算得到GS法的迭代矩阵G的谱半径为：0.999998<1，故GS法收敛，经过541次迭代计算后，结果为X=(1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608)T
使用无穷范数衡量误差，有=0.047045569989162;
SOR迭代法
设定迭代初值为零向量，并设定，计算得到SOR法迭代矩阵谱半径为0.999999433815223，经过100次迭代后的计算结果为
X=(1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527)T;
使用无穷范数衡量误差，有=0.082326357506473;
对SOR方法，可变，改变值，计算结果可以列表如下
迭代次数
100
100
100
100
迭代矩阵的谱半径
0.999999433815223
0.999998867083155
0.999996830135013
0.999982309342386
X
1.003653917714694
0.974666041209353
1.011814573842440
1.042837929171827
1.017190220902681
0.945462001336268
1.014676015634604
0.896636864424096
1.090444578936265
1.107070542628148
1.006315452225331
0.873244842279255
1.028022215505147
0.790604920509843
1.267167365524072
1.061689730857891
0.990084054872602
0.846005956774467
1.051857392323966
0.653408758549156
1.486449891152510
0.783650360698119
1.349665420488270
0.664202350634588
0.054537998663732
0.126755157720745
0.267167365524072
0.486449891152510
可以发现，松弛因子的取值对迭代速度造成了不同的影响，上述四种方法中，松弛因子=0.5时，收敛相对较快。
综上，四种算法的结果列表如下：
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法(取)
迭代次数
--
不收敛
541
100
迭代矩阵的谱半径
--
4.30853
0.999998
0.999999433815223
X
0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680
--
1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608
1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527
4.254160357319847e-10
--
0.047045569989162
0.082326357506473
计算可得，矩阵H的条件数为>>1，所以这是一个病态问题。由上表可以看出，四种方法的求解都存在一定的误差。下面分析误差的来源：
LU分解方法的误差存在主要是由于Hilbert矩阵各元素由分数形式转换为小数形式时，不能除尽情况下会出现舍入误差，在进行LU分解时也存在这个问题，所以最后得到的结果不是方程的精确解
，但结果显示该方法的误差非常小;
Jacobi迭代矩阵的谱半径为4.30853，故此迭代法不收敛;
GS迭代法在迭代次数为541次时得到了方程的近似解，其误差约为0.05
，比较大。GS迭代矩阵的谱半径为0.999998，很接近1，所以GS迭代法收敛速度较慢;
SOR迭代法在迭代次数为100次时误差约为0.08，误差较大。SOR迭代矩阵的谱半径为0.999999，也很接近1，所以时SOR迭代法收敛速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已经有了明显的提高;另外，对不同的，SOR方法的迭代速度会相应有变化，如果选用最佳松弛因子，可以实现更快的收敛;
(2)
考虑不同维度的情况，时，
算法
Gauss消去
J法
GS法
SOR法(w=0.5)
计算结果
0.999999999966269
1.000000001809060
0.999999976372676
1.000000127868103
0.999999655764116
1.000000487042164
0.999999653427125
1.000000097774747
--
0.997829221945349
1.037526203106839
0.896973261976015
1.020345136375036
1.069071166932576
1.051179995036612
0.996814757185364
0.926343237325536
1.012938972275634
0.939713836855171
0.988261805073081
1.064637090535154
1.083633345093974
1.045060177115514
0.970603024778469
0.880212649657655
迭代次数
--
--
356
100
谱半径
--
6.04213
1
0.999999999208776
--
时，
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法(w=0.5)
计算结果
0.999999994751197
1.000000546746354
0.999985868343700
1.000157549468631
0.999063537004329
1.003286333127805
0.992855789229370
1.009726486881556
0.991930155925812
1.003729850349020
0.999263885025643
--
0.997442073306751
1.019069909358409
0.992278247786739
0.956441858313237
0.986420333361353
1.021301611956591
1.038701026806608
1.035942773498533
1.016693763149422
0.985716454946250
0.947181287500697
1.015776039786572
0.966429147064483
0.928674868157910
0.996931548482727
1.066737803913537
1.097792430596468
1.088030440855069
1.048110620811192
0.989919418572424
0.922840813704142
0.853252417221922
迭代次数
--
--
1019
100
谱半径
--
8.64964
1
0.999999999999966
--
时
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法(w=0.5)
计算结果
0.999999968723799
1.000002417094896
0.999994922439769
0.998640261957706
1.025668111139297
0.781933485305194
2.066840925345890
-2.279036697492128
7.532393125791018
-7.355047567109081
7.380667063930484
-1.129041418095142
0.425748747257065
1.733284233971601
0.817952344733362
--
不收敛
1.004385740641590
1.046346067877554
0.907178347707729
0.905763455949053
0.972521802788457
1.043731445367903
1.091535169448764
1.110090020703944
1.103129684679768
1.077168651146056
1.038514736265176
0.992259990832041
0.942151390478003
0.890785366684065
0.839876442493220
迭代次数
--
--
262
100
谱半径
--
6.04213
>1
1.000000000000000
8.355047567109082
--
--
0.160123557506780
分析以上结果可以发现，随着n值的增加，Gauss消去法误差逐渐增大，而且误差增大的速度很快，在维数小于等于10情况下，Gauss消去法得到的结果误差较小;但当维数达到15时，计算结果误差已经达到精确解的很多倍;
J法迭代不收敛，无论n如何取值，其谱半径始终大于1，因而J法不收敛，所以J迭代法不能用于Hilbert矩阵的求解;
对于GS迭代法和SOR迭代法，两种方法均收敛，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值为1的特例，SOR方法受到取值的影响，会有不同的收敛情况。可以得出GS迭代矩阵的谱半径小于1但是很接近1，收敛速度很慢。虽然随着维数的增大，所需迭代的次数逐渐减少，但是当维数达到15的时候，GS法已经不再收敛。因此可以得出结论，GS迭代方法在Hilbert矩阵维数较低时，能够在一定程度上满足迭代求解的需求，不过迭代的速度很慢。另外，随着矩阵维数的增加，
SOR法的误差水平基本稳定，而且误差在可以接受的范围之内。
经过比较可以得出结论，如果求解较低维度的Hibert矩阵问题，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的结果精确度较高;如果需要求解较高维度的Hibert矩阵问题，只有采用SOR迭代法。
(3)
系数矩阵的条件数较大时，为病态方程。由实验可知，Gauss法在解上述方程时，结果存在很大的误差。而对于收敛的迭代法，可以通过选取最优松弛因子的方法来求解，虽然迭代次数相对较多，但是结果较为精确。
总体来看，对于一般病态方程组的求解，可以采用以下方式：
1.
低维度下采用Gauss消去法直接求解是可行的;
Jacobi迭代方法不适宜于求解病态问题;
GS迭代方法可以解决维数较低的病态问题，但其谱半径非常趋近于1，导致迭代算法收敛速度很慢，维数较大的时候，GS法也不再收敛;
SOR方法较适合于求解病态问题，特别是矩阵维数较高的时候，其优势更为明显。
2.
采用高精度的运算，如选用双倍或更多倍字长的运算，可以提高收敛速度;
3.
可以对原方程组作某些预处理，从而有效降低系数矩阵的条件数。
4.
实验结论
(1)对Hibert矩阵问题，其条件数会随着维度的增加迅速增加，病态性会越来越明显;在维度较低的时候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以优先使用Gauss消去法;如果需要求解较高维度的Hibert矩阵问题，只有SOR迭代法能够求解。
(2)SOR方法比较适合于求解病态问题，特别是矩阵维数较高的时候，其优点更为明显。从本次实验可以看出，随着矩阵维数的增大，SOR方法所需的迭代次数减少，而且误差基本稳定，是解决病态问题的适宜方法。
附录：程序代码
clear
all
clc;
format
long;
%矩阵赋值
n=input('矩阵H的阶数:n=');
for
i=1:n
for
j=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
b=H*ones(n,1);
disp('H矩阵为：');
H
disp('向量b：');
b
%方法选择
disp('选取求解方式');
disp('1
Gauss消去法，2
J迭代法，3
GS迭代法，4
SOR迭代法');
a=input('求解方式序号：');
%Gauss消去法
if
a==1;
H1=H;b1=b;
for
k=1:n
if
H1(k,k)==0
disp('主元为零，Gauss消去法无法进行');
break
end
fprintf('第%d次消元所选取的主元是：%g',k,H1(k,k))
for
p=k+1:n
m5=-H1(p,k)/H1(k,k);
H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/H1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
v=k+1:n
b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);
end
x1(k)=b1(k)/H1(k,k);
end
disp('Gauss消去法解为:');
disp(x1);
disp('解与精确解之差的无穷范数');
norm((x1-a),inf)
end
D=diag(diag(H));
L=-tril(H,-1);
U=-triu(H,1);
%J迭代法
if
a==2;
%给定初始x0
ini=input('初始值设定:x0=');
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp('初始解向量为:');
x0
xj(:,1)=x0(:,1);
B=(D^(-1))*(L+U);
f=(D^(-1))*b;
fprintf('(J法B矩阵谱半径为：%g',vrho(B));
if
vrho(B)<1;
for
m2=1:5000
xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;
if
norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)<0.0001
break
end
end
disp('J法计算结果为:');
xj(:,m2+1)
disp('解与精确解之差的无穷范数');
norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)
disp('J迭代法迭代次数:');
m2
else
disp('由于B矩阵谱半径大于1，因而J法不收敛');
end
end
%GS迭代法
if
a==3;
%给定初始x0
ini=input('初始值设定:x0=');
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp('初始解向量为:');
x0
xG(:,1)=x0(:,1);
G=inv(D-L)*U;
fG=inv(D-L)*b;
fprintf('GS法G矩阵谱半径为：%g',vrho(G));
if
vrho(G)<1
for
m3=1:5000
xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;
if
norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)<0.0001
break;
end
end
disp('GS迭代法计算结果:');
xG(:,m3+1)
disp('解与精确解之差的无穷范数');
norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)
disp('GS迭代法迭代次数:');
m3
else
disp('由于G矩阵谱半径大于1，因而GS法不收敛');
end
end
%SOR迭代法
if
a==4;
%给定初始x0
ini=input('初始值设定:x0=');
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp('初始解向量为:');
x0
A=H;
for
i=1:n
b(i)=sum(A(i,:));
end
x_star=ones(n,1);
format
long
w=input('松弛因子:w=');
Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=w*inv(D-w*L)*b;
disp('迭代矩阵的谱半径：')
p=vrho(Lw)
time_max=100;%迭代次数
x=zeros(n,1);%迭代初值
for
i=1:time_max
x=Lw*x+f;
end
disp('SOR迭代法得到的解为');
x
disp('解与精确解之差的无穷范数');
norm((x_star-x),inf)
end
pause
三、实验4.1
题目：
对牛顿法和拟牛顿法。进行非线性方程组的数值求解
(1)用上述两种方法，分别计算下面的两个例子。在达到精度相同的前提下，比较其迭代次数、CPU时间等。
(2)取其他初值，结果又如何?反复选取不同的初值，比较其结果。
(3)总结归纳你的实验结果，试说明各种方法适用的问题。
1.
算法设计
对需要求解的非线性方程组而言，牛顿法和拟牛顿法的迭代公式如下，
(1)牛顿法：
牛顿法为单步迭代法，需要取一个初值。
(2)拟牛顿法：(Broyden秩1法)
其中，
拟牛顿法不需要求解的导数，因此节省了大量的运算时间，但需要给定矩阵的初值，取为。
2.
实验过程
一、输入初值；
二、根据误差要求，按公式进行迭代计算；
三、输出数据；
3.
计算结果及分析
(1)首先求解方程组(1)，在这里，设定精度要求为，
方法
牛顿法
拟牛顿法
初始值
计算结果X
x1
0.905539609855914
0.905539493347151
x2
1.085219168370031
1.085218882394940
x3
0.672193668718306
0.672193293825304
迭代次数
3
13
CPU计算时间/s
3.777815
2.739349
可以看出，在初始值相同情况下，牛顿法和拟牛顿法在达到同样计算精度情况下得到的结果基本相同，但牛顿法的迭代次数明显要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩阵的逆，所以牛顿法每次迭代的CPU计算时间更长。
之后求解方程组(2)，同样设定精度要求为
方法
牛顿法
拟牛顿法
初始值
计算结果X
x1
0.500000000009699
0.499999994673600
x2
0.000000001063428
0.000000572701856
x3
-0.523598775570483
-0.523598762908871
迭代次数
4
12
CPU计算时间/s
2.722437
3.920195
同样地，可以看出，在初始值相同情况下，牛顿法和拟牛顿法在达到同样计算精度情况下得到的结果是基本相同的，但牛顿法的迭代次数明显要少，但同样的，由于每次迭代中有求解矩阵的逆的运算，牛顿法每次迭代的CPU计算时间较长。
(2)对方程组(1)，取其他初值，计算结果列表如下，同样设定精度要求为
初始值
方法
牛顿法
拟牛顿法
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211852562357894
-5.574005400255346
18.118173639381205
迭代次数
4
58
CPU计算时间/s
3.907164
4.818019
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211849682114591
-5.573999165383549
18.118182491302807
迭代次数
4
2735
CPU计算时间/s
8.127286
5.626023
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905539493347151
1.085218882394940
0.672193293825304
迭代次数
3
13
CPU计算时间/s
3.777815
2.739349
计算结果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905548384395773
1.085220084502458
0.672219278250136
迭代次数
4
188
CPU计算时间/s
3.835697
2.879070
计算结果
9.211852448563722
-5.574005155684773
18.118173976918605
Matlab警告矩阵接近奇异值，程序进入长期循环计算中
迭代次数
19
--
CPU计算时间/s
4.033868
--
计算结果
0.905539609857335
1.085219168371536
0.672193668734922
Matlab警告矩阵接近奇异值，程序进入长期循环计算中
迭代次数
13
--
CPU计算时间/s
12.243263
--
从上表可以发现，方程组(1)存在另一个在(9.2,
-5.6,
18.1)T附近的不动点，初值的选取会直接影响到牛顿法和拟牛顿法最后的收敛点。
总的来说，设定的初值离不动点越远，需要的迭代次数越多，因而初始值的选取非常重要，合适的初值可以更快地收敛，如果初始值偏离精确解较远，会出现迭代次数增加直至无法收敛的情况;
由于拟牛顿法是一种近似方法，拟牛顿法需要的的迭代次数明显更多，而且收敛情况不如牛顿法好(初值不够接近时，甚至会出现奇异矩阵的情况)，但由于牛顿法的求解比较复杂，计算时间较长;
同样的，对方程组(2)，取其他初值，计算结果列表如下，同样设定精度要求为
初始值
方法
牛顿法
拟牛顿法
计算结果
0.500000000009699
0.000000001063428
-0.523598775570483
0.499999994673600
0.000000572701856
-0.523598762908871
迭代次数
4
12
CPU计算时间/s
2.722437
3.920195
计算结果
0.500000000011085
0.000000001215427
-0.523598775566507
0.331099293590753
-0.260080189442266
76.532092226437129
迭代次数
5
57
CPU计算时间/s
5.047111
5.619752
计算结果
0.500000000000916
0.000000000100410
-0.523598775595672
1.0e+02
*
-0.001221250784775
-0.000149282572886
1.754185881622843
迭代次数
6
62
CPU计算时间/s
3.540668
3.387829
计算结果
0.500000000000152
0.000000000016711
-0.523598775597862
1.0e+04
*
0.000026556790770
-0.000020396841295
1.280853105748650
迭代次数
7
55
CPU计算时间/s
2.200571
2.640901
计算结果
0.500000000000005
0.000000000000503
-0.523598775598286
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
8
--
CPU计算时间/s
1.719072
--
计算结果
0.500000000002022
0.000000000221686
-0.523598775592500
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
149
--
CPU计算时间/s
2.797116
--
计算结果
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
矩阵为奇异值，无法输出准确结果
迭代次数
--
--
CPU计算时间/s
--
--
在这里，与前文类似的发现不再赘述。
从这里看出，牛顿法可以在更大的区间上实现压缩映射原理，可以在更大的范围上选取初值并最终收敛到精确解附近;
在初始值较接近于不动点时，牛顿法和拟牛顿法计算所得到的结果是基本相同的，虽然迭代次数有所差别，但计算总的所需时间相近。
(3)
牛顿法在迭代过程中用到了矩阵的求逆，其迭代收敛的充分条件是迭代满足区间上的映内性，对于矩阵的求逆过程比较简单，所以在较大区间内满足映内性的问题适合应用牛顿法进行计算。一般而言，对于函数单调或者具有单值特性的函数适合应用牛顿法，其对初始值敏感程度较低，算法具有很好的收敛性。
另外，需要说明的是，每次计算给出的CPU时间与计算机当时的运行状态有关，同时，不同代码的运行时间也不一定一致，所以这个数据并不具有很大的参考价值。
4.
实验结论
对牛顿法和拟牛顿法，都存在初始值越接近精确解，所需的迭代次数越小的现象;
在应用上，牛顿法和拟牛顿法各有优势。就迭代次数来说，牛顿法由于更加精确，所需的迭代次数更少;但就单次迭代来说，牛顿法由于计算步骤更多，且计算更加复杂，因而每次迭代所需的时间更长，而拟牛顿法由于采用了简化的近似公式，其每次迭代更加迅速。当非线性方程组求逆过程比较简单时，如方程组1的情况时，拟牛顿法不具有明显的优势;而当非线性方程组求逆过程比较复杂时，如方程组2的情况，拟牛顿法就可以体现出优势，虽然循环次数有所增加，但是CPU耗时反而更少。
另外，就方程组压缩映射区间来说，一般而言，对于在区间内函数呈现单调或者具有单值特性的函数适合应用牛顿法，其对初始值敏感程度较低，使算法具有很好的收敛性;而拟牛顿法由于不需要在迭代过程中对矩阵求逆，而是利用差商替代了对矩阵的求导，所以即使初始误差较大时，其倒数矩阵与差商偏差也较小，所以对初始值的敏感程度较小。
附录：程序代码
%方程1，牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
disp('请输入初值');
a=input('第1个分量为：');
b=input('第2个分量为：');
c=input('第3个分量为：');
disp('所选定初值为');
x=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];
f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp('迭代次数');
i
disp('迭代次数');
x
toc;
%方程1，拟牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp('请输入初值');
a=input('第1个分量为：');
b=input('第2个分量为：');
c=input('第3个分量为：');
disp('所选定初值为');
x0=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s'/(s'*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp('迭代次数');
i
disp('迭代次数');
x0
toc;
%方程2，牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
disp('请输入初值');
a=input('第1个分量为：');
b=input('第2个分量为：');
c=input('第3个分量为：');
disp('所选定初值为');
x=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];
f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp('迭代次数');
i
disp('迭代次数');
x
toc;
%方程2，拟牛顿法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp('请输入初值');
a=input('第1个分量为：');
b=input('第2个分量为：');
c=input('第3个分量为：');
disp('所选定初值为');
x0=[a;b;c]
%%误差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s'/(s'*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp('迭代次数');
i
disp('迭代次数');
x0
toc;
《数值分析》课程设计大纲 开课单位：数学与统计学院 开课学期：第2学年夏季学期 学 分：1学分 学 时：16学时(1周) 适用专业：信息与计算科学(0101)
一、课程设计的目的与意义
本课程设计是配合《数值分析》课程而开设的一门实践课程，是培养学生分析和解决实际问题能力的重要实践教学环节，重点培养学生运用计算、Matlab软件对数值分析课程中的数值计算方法、实例进行编程实现，对巩固和深化学生所学课程的理论知识，增强学生的应用能力具有重要作用。
二、课程设计的内容
1、本课程设计的选题内容应属课程范围，能达到课程教学的目的和满足课程教学的要求，使学生得到较全面的综合训练。
2、题目的难度和工作量应适合学生掌握的知识和具备的能力，使学生在规定的时间内既工作量饱满，又能经过努力完成任务。
三、课程设计的方式
以集中学习为主;独立完成课程设计阶段规定的全部工作任务。
四、课程设计的基本要求
1、注重对学生运用所学知识，解决实际问题的能力和创新精神的培养。
2、完成一篇论文的撰写，不少于5000字。
3、课程设计的具体要求与格式应符合本学院规定。
4、严格遵守学习纪律，按时完成规定任务。
5、学生因特殊原因请假须履行手续，凡未请假或未获批准擅自离岗者，均按旷课处理。
五、课程设计成绩的评定
1、课程设计成绩采用五级分制：优、良、中、及格、不及格。
2、成绩评定依据：考核成绩70%;平时表现30%。
一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。
计算132
2013014923
张霖
摘 要：联系时代发展，数值分析列为应用统计专业的专业基础课。考虑信息时代与数据时代的特点，对应用统计专业的数值分析课程教学内容进行再梳理，教学模式进行更新。开设专题，突出大数据与数值分析的联系，促使大家共同思考，逐步树立大数据理念。数值分析课程教学的深度改革以及教师与学生间的深度配合，培养创新性人才。通过系统学习和改革措施，取得一系列优秀成果。
关键词：大学教育 数值分析 大数据 专业课
中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2016)01(b)-0115-02
大型线性方程组，特别是大型稀疏矩阵方程组，为减少计算量、节约内存、充分利用系数矩阵拥有大量零元素的特点，使用迭代法更为合适[1]。插值、拟合、逼近、数值积分与数值微分、范数等无一不是在建构数据关系。
大数据是新事物吗?天气、地震、量子物理、基因、医学等都是大数据所在，借鉴他们的方法有益。过去多用统计类方法，如用抽样调查。这正是应用统计专业人士擅长的。互联网数据挖掘方法论也如此，不同的是：因为人的复杂性，所以更难。既然是关于人的研究就需应用所有研究人的方法梳理大数据。只要懂编程、懂调动数据的人就可以做大数据挖掘的说法显然不准确，因为移动互联网对社会生活的影响本质是时间与空间的解构。
2013年一年产生的全球信息量已经相当于人类文明史当中资料的总和。处在一个数字时代，价值判断主要通过大数据分析，颠覆性的创新以一个不可思议的速度在进行着，每个人必须要去适应。2015年李克强总理曾提出“数据是基础性资源，也是重要生产力”的重要论断，强调中国发展大数据产业空间无限。“海量数据如果能彼此打通，从这中间可以产生出大量的新知识。”中国工程院院士潘云鹤在由中国工程院主办的国际工程科技知识中心2015国际高端研讨会上说，“大数据的出现，表明信息开始独立于人，开始形成单独的空间，今后大数据一定会走向大知识时代。”
必然的时代变化，可怕吗?正视、拥抱?在变化中似乎更能感受到数学专业、尤其是应用统计专业的优点：韧性好、潜力足、回旋空间大。不过，相应的调整与变化也是必须的。数值分析曾经是我校应用统计学专业的选修课程。考虑到信息时代与数据时代的新特点，也在努力地用心地迈向大知识时代，而今数值分析已经成为我校应用统计专业的必修课，一门专业基础课。
1 教学与成长
身为教师，都明白：从改变和提高自己开始，才有成功的教育。与学生们一起经历那一段无可替代的完整的生命体验，自然不是能由碎片讯息和夸张视频可以取代的。因此我们一直都在学习，不断提高教学的本领与技巧，更好地直面生活中众多的选择，并由此观察、体会、领悟全新的生活方式：改变着我们对自身以及人类关系的理解;影响着城市的建造和经济的变革;甚至改变我们成长与成年的方式，也改变着人类老去甚至去世的方式。
尽情地用心做足诗外功夫。尽心尽力地完成教研工作，认真钻研、用心备课、与时俱进，切实把握好重点难点和必要的知识细节，不断改进教案，启发创新思维，开展研究型教学，拓展相关应用的前沿、热点，通过理论分析与数值编程两个手段相结合，拓展研究前沿和实际应用，提供有益的研究信息和潜在思路。精心制作教学课件、算法编程与可视结果，调试正确高效的源程序代码，必要时可以运用多种模式教学、布置大作业。
学生维度方面，发挥主观能动性与学习自主性。不论课堂内外或是线上线下，我们都努力贯彻这样的学习过程：自学(寻疑)、互帮(答疑)、倾听(释疑)、群言(辨疑)、练习(测疑)和反思(质疑)。答疑、释疑和辨疑过程可以出现在同学之间以及师生之间。努力充分开发理解的认识性、道德性、感情性、实践性与创造性及其综合而成的理解的特殊本性，借此更好地提高教育实践的合理性。这样，无论教师还是学生，都处于理解的教育之中，可以更好地理解自己和他人，因而能被别人更好地理解。同时，作为影响其他教育条件更好地发挥作用的关键因素，在其他教育教学条件基本稳定的前提下，更好地发挥多角度理解的作用，从而收获更好的教育教学效果。
习题采用书面撰写与上机编程相配合来完成，布置有关实践应用的大作业，力求考试学术和创新素质的结合与统一。通过教学、科研、动手编写和调试程序，使学生掌握数值算法的构造原理和分析过程，熟悉设计算法的原则和思路，把握已有算法的优缺点、应用面和发展前景，提升知识的融会贯通，能够结合自己的专业和问题来考虑新数值算法的改进与应用。尝试面对科研实际中遇到的问题选择、应用和改进相应的计算方法，从而提升知识应用和思维创新。
每章学习过程中，我们都一起思考相应的数据复杂性、计算复杂性、系统复杂性和学习复杂性等多个方面带来的挑战;同时思考从数值分析出发的相应对策与处理措施。而且，我们开设几个专题，如从数据出发的建模与数值分析、大数据与计算方法的加速处理、大数据中误差的优化及与新方法的生成等等，突出大数据与数值分析的联系，促使大家共同思考，希望因此逐步树立大数据理念，加强目标、模型、数据、技术等多个方面的协同创新。尝试着对数值分析课程教学的深度改革、教师同学生间的深度配合，希望能超越因材施教，也盼望着能接收到超出想象的答案，从而让创新性人才凸现。
整个数值分析课程教学过程中，关注学生的成长过程，更加注意到学生正在寻找自己，构建自己的知识结构，以及他们的变化和发展。若以此为目标进行教改，改革必然会持续进行，一定能帮助学生了解自己，准确定位，为学生必然发生的变化做准备，而非将学生当作已经固定的人才实施因材施教。坚持抓反思、求提升，抓精细、求完美，抓执行、求速度，抓流程、求效果。期望着大家能有超越数据的视野与胸怀。
2 成效
通过系统学习和改革措施，促使教学双方充分发挥“教师的主导作用，学生的主体作用”。教师的教学与科研得到良性发展，促进研究型教学展示，为在新时期培养创新型、复合型、高素质人才做出点滴贡献;学生掌握经典算法和了解了应用前沿，提高数值算法效率和数据分析能力，为利用计算机有效解决科学计算中的问题打好基础;也为更从容地面对世界的柔性、智能、精细发展奠定了基础。
用心投入实践中的好课与好课的实践[2]，发表了一系列相关教学论文。持续开展：数值计算方法及相关课程教学改革的研究与实践;模块化、互衔接的数学类课程群优化的研究与实践;数学教育实验中心运行机制与管理模式的研究与实践;多元化人才培养模式的研究与实践。有如下书籍出版：
《应用数理统计》，机械工业出版社，2008。
《数学物理方程》，科学出版社，2008。
《数据库基础教程》，电子工业出版社，2009。
《基于MINITAB的现代实用统计》，中国人民大学出版社，2009。
《气象统计预报》，气象出版社，2009。
《Numerical Analysis and Computational》，MethodWorld Academic Press，2011。
《数值分析与计算方法》，科学出版社，2012。
《数值计算方法理论与典型例题选讲》，科学出版社，2012。
《Minitab软件入门：最易学实用的统计分析教程》，高等教育出版社，2012。
2012年，这里被确立了教育部专业综合改革试点专业。同年，拥有了中央财政支持地方高校发展――科研平台和专业能力实践基地建设项目，以及多项江苏省及国家级大学生实践创新训练计划项目，如基于地面以及CHAMP卫星数据的地球磁场区域建模研究，基于GPS和实时数据的青奥会期间公共交通调度优化研究，南京市PM2.5监测站分布合理性调查与分析。
2011获年教育部颁发全国大学生数学建模竞赛全国特等奖(高教社杯)，全国唯一。2012年摘下全球仅7项的美国大学生数学建模竞赛ICM特等奖。
2015年全国大学生数学建模竞赛获国家一等奖四项、二等奖六项;2015首届中国“互联网+”大学生创新创业大赛金奖;在2015年全国大学生电子设计竞赛中获全国一等奖3项、全国二等奖4项。获奖数量和质量均取得历史性突破，展现了当代大学生的大气、生机和活力。
难怪，世界著名数值分析专家牛津大学教授Floyd N.Trefethen和David.BauIII指出：“如果除了微积分与微分方程之外，还有什么数学领域是数学科学基础的话，那就是数值线性代数。”
参考文献
[1] 蒋勇，李建良.数值分析与计算方法[M].北京：科学出版社，2012.
[2] 周兴，叶惟寅.实践中的好课与好课的实践[J].数学教育学报，2005，14(2)：80-82.
第六章
数值积分
--------学习小结
姓名
班级
学号
一、 本章学习体会
本章主要讲授了数值积分的一些求积公式及各种求积公式的代数精度，重点应掌握插值型求积公式，什么样的求积公式可以被称为插值型求积公式，Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性，复化求积公式和高斯求积公式，在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。
二、 本章知识梳理
6.1求积公式及其代数精度
代数精度的概念：如果求积公式(6.1)当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式,而当f(x)为某个m+1次多项式时(6.1)不能成为等式,则称求积公式(6.1)具有m次代数精度。 6.2插值型求积公式
(1)求积公式： Rnabf(n1)()n1(x)dx
(n1)!(2)重要的定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数度。 (3)求积系数：
k0nAkba
6.3Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性
(n)f(xk) (1)公式：f(x)dxf(xk)(ba)cka(n)kk0k0bnnnhn2n(n1)(2)截断误差：Rnf()(ttj)dt
(n1)!0j0(3)重要的定理：当n为偶数时,n+1个节点的Newton-Cotes求积公式至少具有n+1次代数精度。
(4)常用的Newton-Cotes求积公式
n=1 梯形公式：babaf(x)dx[f(a)f(b)]
2(ba)3f(),(a,b)，具有一次精度。
余项：R112n=2 Simpson公式：f(x)dxabbaab[f(a)4f()f(b)] 62(ba)5(4)f(),(a,b)，具有三次精度。 余项：R228806.4复化求积法
(1)复化梯形公式：
截断误差： ban1hf(x)dx[f(a)f(b)2f(akh)]2k1
RTba2hf(),[a,b]12
(2)复化Simpson公式：
bamm1hf(x)dx[f(a)f(b)4f(x2k1)2f(x2k)]3k1k1
截断误差：
Rsba4(4)hf(),[a,b]180
6.5Gauss型求积公式
(1)定义：若n个节点的插值型求积公式(6.23)具有2n-1 次代数精度,则称它为Gauss型求积公式。
(2)定理：n个节点的 Gauss型求积公式的代数精度为2n-1。
(3)定理：设{gk(x),k0,1,}是区间[a,b]上带权(x)的正交多项式系,则求积公式(6.23) 、式(6.24)是Gauss型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n次正交多项式gn(x) 的n个零点。 (4)求积系数 公式：
Akb(x)gn(x)(xk)(xxk)gnadx,k1,2,,n
性质：1.Ak0,k1,2,,n
2.k0Ak(x)dxanb
(5)求积公式的构造 第一步：找高斯点
2g(x)1,g(x)xa,g(x)xbxc,由正交性确定121)待定系数法：设0待定系数a,b,c,….. 2)利用递推公式 第二步：确定求积系数Ak 1)解线性方程组 2)Ak(x)lk(x)dx,k1,2,,nab
lk(x)
i0iknxxi,k1,2,,nxkxi
三、本章思考题
1.插值型求积公式有何特点?
答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。 2.复化求积公式的误差是如何估计的?
答：对于复化梯形公式可根据其截断误差公式，首先求得hba，然后求nf(x)的二阶倒数，判断f(x)的二阶倒数的单调性，然后在积分区间上求得f(x)的二阶倒数的最大值就可以估计复化求积公式的误差，利用估计出的复化求积公式的误差还可以求得用复化梯形公式近似求解某一积分的有效数字有多少位。对于复化Simpson公式方法同估计复化梯形公式的误差，只是截断误差公式有所改变，此时需求出f(x)的四阶倒数然后判断其最大值。
四、本章测验题
1问题：如果用复化梯形公式计算定积分exdx，要求截断误差不超过
00.5104，试问n至少取多少?
解：复化的梯形公式的截断误差为：RTba3'hf 12RT1ba3hmaxf'()，而maxf'()max(ex)1，h
0x10x10x1n12将以上各式代入RTba3hmaxf'()可得： 0x112ba314 hmaxf'()0.51020x11212nRT解上述方程得n40.8，取n41，所以n至少取41。
利用数值计算分析数据
三维目标：
1，能使用图表处理工具软件加工表格信息，表达意图。 2，掌握数据加工处理的基本方法。 3，掌握加工处理的技巧。
4，感受利用图表工具软件加工处理信息的强大功能。
5，锻炼学生操作技能，培养合作精神及解决实际问题的能力。 6，提高信息技术素养。
教学重点：
(1)用图表处理工具软件加工表格信息的基本过程和方法。
(2)根据任务需求，利用合适的图表处理工具软件加工表格信息，并以恰当的呈现方式表达意图。
(3)通过解决实际问题，培养同学们在以后的工作和生活中解决实际问题的能力。
教学难点：
如何根据任务需求，熟练使用图表处理等工具软件加工信息，表达意图。
教学方法：
任务驱动、讲解、演示、指导
学法：
预习、听讲、练习、探究、互助
教学流程设计：
功能介绍-需求分析—任务布置-解决问题-学生练习-上交作业-成果展示-课后作业。
导入：
同学们会创建表格了吗?用表格来展示信息简单、直观、清晰。但是，有时候仅用表格展示信息会显得苍白无力，如果对表格信息进行再加工，获取新的信息，可能会产生新的价值，效果更好，会给同学们带来惊喜。下面请同学们通过完成一个任务看一看。
在这里任务如下，请同学们帮助完成它。 1，快速判断与计算。(通过打开桌面上教师发放的学习资料完成任务) 2，根据需要获取详细、准确的信息。
3，对信息进行加工处理获取新信息，得到新的价值。
学生解决问题的过程：
学生根据教师设计的任务，发放的资料研究问题，分析问题，探讨问题，解决问题。老师观察，帮助，引导，特别注意对学习困难的学生、兴趣不浓的学生的帮助、引导和监督。另外，可以呈现学生的解决办法。
教师演示：(老师有针对性地进行演示)
任务：将身份证号码转换成年龄
目的：根据一定的信息需求，完成任务，达到目的。 具体知识点：
1， left()函数：
LEFT 基于所指定的字符数返回文本字符串中的第一个或前几个字符。
LEFT(text,num_chars) Text
是包含要提取字符的文本字符串。 Num_chars
指定要由 LEFT 所提取的字符数。 Num_chars 必须大于或等于 0。
如果 num_chars 大于文本长度，则 LEFT 返回所有文本。 如果省略 num_chars，则假定其为 1。
2， right()函数：
RIGHT 根据所指定的字符数返回文本字符串中最后一个或多个字符。
语法：
RIGHT(text,num_chars) Text
是包含要提取字符的文本字符串。 Num_chars
指定希望 RIGHT 提取的字符数。 说明：
Num_chars 必须大于或等于 0。
如果 num_chars 大于文本长度，则 RIGHT 返回所有文本。 如果忽略 num_chars，则假定其为 1。
3， 嵌套函数:把一个函数作为另一个函数的组成部分(元素)参与运算。
在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用。例如，下面的公式使用了嵌套的 AVERAGE 函数并将结果与值 50 进行了比较。
有效的返回值：当嵌套函数作为参数使用时，它返回的数值类型必须与参数使用的数值类型相同。例如，如果参数返回一个 TRUE 或 FALSE 值，那么嵌套函数也必须返回一个 TRUE 或 FALSE 值。否则，Microsoft Excel 将显示 #VALUE! 错误值。
嵌套级别限制：公式可包含多达七级的嵌套函数。当函数 B 在函数 A 中用作参数时，函数 B 则为第二级函数。例如，AVERAGE 函数和 SUM 函数都是第二级函数，因为它们都是 IF 函数的参数。在 AVERAGE 函数中嵌套的函数则为第三级函数，以此类推。
学生练习、教师指导：
1， 2， 3， 发送作业给学生练习。 教师指导。
请部分学生对公式进行表述。部分学生帮助其他同学指出错误所在。
探究：
请已经完成操作的同学将left()和right()函数交换一下位置来解决把身份证号码转换成年龄的问题。
要求：可以以两人为一小组进行探究。
上交作业：
1，指导学生上交作业的方法。
2，学生完成任务。
3，教师指导学生保存并上交作业。
展示成果：
1，通过学生上交的作业完成情况，全体同学欣赏，查看，发现和解决问题。2，教师对学生完成的情况进行展示、点评、讲解等。
课堂小结：
本节课主要的学习目的是深化对图表加工处理软件的认识，了解它对信息强大的加工处理能力，能够把旧信息进行加工处理，获取新信息，产生新价值。二是培养操作能力，增强学习兴趣。三是培养探究精神，不怕吃苦。四是提高认识，增强学习信心。为下一步好好学习奠定基础。五是提高信息素养。
课后作业：
1，请同学探究并解决用mid()函数解决把身份证号码转换为实际年龄的问题。
2，复习“利用数值计算分析数据”所学内容。
3，完成“中考成绩统计表”工作表中要求解决的问题。
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