正多边形和圆教案

教案是以教师和教材为中心,教案更加重视教师是否能把课程讲解成功,关注点始终在自己身上,而非学生。以下是小编精心整理的《正多边形和圆教案》的文章，希望能够很好的帮助到大家，谢谢大家对小编的支持和鼓励。

第1篇：正多边形和圆教案

24.3 正多边形和圆(教案)

24.3正多边形和圆

教学目标【知识与技能】

了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的. 【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系. 教学过程

一、情境导入，初步认识

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

(1)你能从图案中找出多边形吗?

(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样就能作出一个正多边形来? 【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题(2)的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.

二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系

问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗?如果是，请你证明这个结论. 教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证. 已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形. 问：五边形ABCDE是正五边形吗?如果是，请证明你的结论. 答案：五边形ABCDE是正五边形.

证明：在⊙O中，∵ABBCCDDEEA，∴AB=BC=CD=DE=EA，CDA3BCEAB ，∴∠A=∠B;同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形. 【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等;引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程. 问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗?

答案：这个n边形一定是正n边形. 【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般. 问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形吗?如果是，说明理由;如果不是，举出反例. 答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形. 2.正多边形的有关概念

综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念. 正n边形：中心角为：

360°n;内角的度数为：180°(n-2)n 3.正多边形和圆有关的计算问题

例1(课本106页例题)有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位). 分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题. 解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=360°/6=60°. ∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，

∴这个亭子地基的周长为:4×6=24(m). 过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.

. 例2填空.

4.画正多边形

画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式： (1)用量角器等分圆周.

方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点. 【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差. (2)用尺规等分圆

正方形的作法:如图(1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形. 正六边形的作法：方法一：如图(2)任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD. 方法二：如图(3)由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.

三、运用新知，深化理解

1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.

2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____. 3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比. 4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，„„正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.

(1)求图1中的∠MON的度数;

(2)在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____; (3)试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.(直接写出答案) 【教学说明】题

1、2可由学生自主探索完成，题

3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习. 【答案】1.72°

4.解：(1)连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与(1)相同) (3)∠MON=360°/n.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗?你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗?你能画出正多边形吗?

课后作业

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分. 教学反思

第2篇：24.3 正多边形和圆(教案)

24.3正多边形和圆

【知识与技能】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的. 【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.

一、情境导入，初步认识

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

(1)你能从图案中找出多边形吗?

二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系

综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念. 正n边形：中心角为：

360°n;内角的度数为：180°(n-2)n 3.正多边形和圆有关的计算问题

∴这个亭子地基的周长为:4×6=24(m). 过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.

. 例2填空.

【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解. 4.画正多边形

画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式： (1)用量角器等分圆周.

三、运用新知，深化理解

1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.

(1)求图1中的∠MON的度数;

(2)在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____; (3)试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.(直接写出答案) 【教学说明】题

1、2可由学生自主探索完成，题

3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习. 【答案】1.72°

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗?你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗?你能画出正多边形吗?

【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力. 2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.

第3篇：《正多边形和圆》第二课时参考教案

24.3 正多边形和圆

第二课时

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形.

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形.

3、通过画图培养学生的画图能力;

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力.

5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力. 教学重点：

(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形;(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形. 教学难点：

准确作图. 教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形.

二、新课讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形.

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法.其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可.

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的.

由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确?这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：1.哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理?(安排中下生回答)2.哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质?(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等) 现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发?(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢?从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发?大家相互间讨论.(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢?大家互相讨论看看.(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢?(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形.

学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦;其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大.对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长.其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会.

大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢?(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角.)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角;方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法?(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D).正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢?用尺规如何作半径为2cm的正方形?(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形.

大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形?同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么?根据什么定理?(安排中上等生回答：垂径定理) 还有什么方法?(安排中上等生作各直角的角平分线.) 请同学们用此二法在图上画出正八边形.

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形?(安排中下生回答：16边形等) 综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢?你都有哪些方法?大家讨论.

方法1.画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周.

方法2.画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，

如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系?(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形?(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E.画出图形比较准确.

请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形?(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画.

大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形?(安排中等生回答：正三角形) 画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗?哪位同学有好方法?(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可) 请同学们按此法画半径为2cm的正三角形.

请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形?

在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点.引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°. ∴ DE是⊙O内接正12边形一边.

三、课堂小结：

这堂课你学了哪些知识?(安排中等生回答：1.用量角器等分圆周作正n边形;2.用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)

四、布置作业

第4篇：正多边形和圆教学反思

儋州市西联中学邓高春

正多边形和圆，下面对这节课教学进行如下反思：

一、成功之处：

1、本节课的教学从生活实际出发(观看美丽图案)，引导学生得出定义。这一做法渗透了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辨证唯物主义思想。对定义的教学，不是简单地由教师告诉学生，而是由学生自己观察、猜想、探究得出结论，让学生体验知识的产生过程。

2、学生走上讲台，拉近了师生之间的距离。教师不是高高在上，而是与学生处在同等位置上，培养了学生能力。

3、备课仔细，对课堂上可能出现的问题作了充分地考虑。如在探究正多边形的定义的时候，对学生可能得出的结论作了充分的准备。反映了教师的基本功扎实。

4、整堂课都体现了对学生动手能力的培养。在探究正多边形和圆的关系时，让学生自己动手操作，画圆，实验并进行猜想，这正是新大纲教改思路的体现。

5、注重学生间的合作交流。表现形式有同位或小组讨论。实验表明学生之间的知识交流比师生间交流更利于学生的知识掌握。同时，这种形式也培养了学生将来走向社会后能够充分地表达自己的见解，听取别人的意见。

6、注重学法指导。在进行正多边形和圆关系的第二个结论时，指导学生自学，教给学生学习的方法，“授学生以渔”，为学生将来的终身教育打下基础。

7、小结的形式。

8、本节课一个突破性的地方就是在课堂上让学生质疑，让学生对本节课不明白的地方或是与老师意见不一致的地方敢于提出自己的见解。尽管在这方面做得不是很到位，但是已跨出大胆的一步。

二、不足之处：

1、在讨论时应该放得更开一些，可以采用多种形式，如：下位找自己熟悉的同学讨论，或是不局限有于一个小组，而进行多组合作，或是与老师(甚至是听课老师)讨论。

2、应注意多媒体板演的示范作用，投影应适时。

第5篇：学案(第8课时)24.3正多边形和圆

24.3 正多边形和圆

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫正多边形?

2.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点?

2.实例略.正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条;•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点.

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上.

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正六边形为例证明.

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形.

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.

外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

例1.已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积.

例2.利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.

EODFACMB

三、巩固练习

教材P115 练习

1、

2、3 P116 探究题、练习.

四、应用拓展

例3.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6.

(1)求△ABC的边AB上的高h.

(2)设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大? hAB(3)实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

五、归纳小结(学生小结，老师点评)

本节课应掌握：

1.正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距.

2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系.

3.画正多边形的方法.

4.运用以上的知识解决实际问题.

六、布置作业

1.教材P107 复习巩固1 综合运用

5、7 P108 8.

2.选用课时作业设计.

CNhADGEBF课时作业设计

一、选择题

1.如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(

A.60°

B.45°

C.30°

D.22.5°

(1)

(2)

(3)

2.圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(

A.36°

B.60°

C.72°

D.108°

3.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为(

)

A.18°

B.36°

C.72°

D.144°

二、填空题

1.已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______.

2.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________.

3.四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______;△ODA的周长是_______;∠BOC的度数是________.

三、综合提高题

1.等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.

2.如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.

3.如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M.

(1)求证：四边形CDEM是菱形;

(2)设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长.

第6篇：圆和圆的位置关系教案

1、教材分析(1)知识结构

(2)重点、难点分析

重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识.难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.

2、教法建议

本节内容需要两个课时.第一课时主要研究;第二课时相交两圆的性质.(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识;

(2)要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力;

(3)在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程.第一课时

教学目标：

1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;

2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力;

3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.

教学难点：

两圆位置关系及判定.(一)复习、引出问题

1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

(教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

(二)观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.

(三)分析、研究

1、相切两圆的性质.让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征.

设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略)

两圆外切d=R+r;

两圆内切d=R-r(R>r);

两圆外离d>R+r;

两圆内含dr);

两圆相交R-r

说明：注重“数形结合”思想的教学.(四)应用、练习

例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm.(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=13cm.

例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.

求证：⊙O与⊙B相外切.

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，

∴⊙O的半径，且O是AC的中点

∴，∵∠C=90°且BC=8，

∴，

∵⊙O的半径，⊙B的半径，

∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切.

练习(P138)

(五)小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含;

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;

③两圆相切时切点在连心线上的性质.能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.

思想方法：分类思想、数形结合思想.(六)作业

教材P151中习题A组2，3，4题.

第二课时相交两圆的性质

教学目标

1、掌握相交两圆的性质定理;

2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;

3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力;

4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.教学重点

相交两圆的性质及应用.

教学难点

应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.

教学活动设计

(一)图形的对称美

相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?

(二)观察、猜想、证明

1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形.2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.

3、证明：

对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织;对B、C层在教师引导下完成.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.

求证：Q1O2是AB的垂直平分线.

分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.

证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，

∴O1点在AB的垂直平分线上.又∵O2A=O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上.

因此O1O2是AB的垂直平分线.

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.

∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.

∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，

∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.

定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

(三)应用、反思

例

1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。

求∠OlAB的度数.分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，

又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由

∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.

解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆

∴OlA=O1O2=AO

2∴∠O1AO2=60°，

又AB⊥O1O2

∴∠OlAB=30°.

例

2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。

求证：AM=AN.证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN.

∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN.例

3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.

求证：EC∥DF

证明：连结AB

∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

在⊙Ol中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF.反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解.

(四)小结

知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.

(五)作业教材P152习题A组

7、

8、9题;B组1题.探究活动

问题1：已知AB是⊙O的直径，点O

1、O

2、…、On在线段AB上，分别以O

1、O

2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O

1、⊙O

2、…、⊙On的周长分别为C

1、C

2、…、Cn.(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系;

(2)当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系;

(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论.

提示：假设⊙O、⊙O

1、⊙O

2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r

2、…、rn，通过周长计算，比较可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转?

提示：

1、实验：用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转.

2、分析：当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转;而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转。