二次函数练习八
1、 当x=1时，二次函数y=3x2-x+c的值是4，则C=_________
2、 二次函数y=x2+c经过点(2，0)，则当x= -2时，y=____________
3、 抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线____________，它必定经过_____________和_____________
4、 一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm时，正方形面积为y cm2，则y关于x的函数为____________。
5、 如果抛物线y=1
2x2-mx+5m2与x轴有交点，则m___________
B、2 C、3 D、4
6、下列变量之间是二次函数关系的有()个.A、1
7、函数y=2x2-x+3经过的象限是()
A、
一、
二、三象限B、
一、二象限C、
三、四象限D、
一、
二、四象限
8、函数y=-x2+4x+1图象顶点坐标是()
A、(2，3) B、(-2，3) C、(2，1) D、(2，5)
9、已知二次函数y=(k2-1)x2+2kx-4与x轴的一个交点A(-2,0)，则k值为()
A、2 B、-1 C、2或-1 D、任何实数
)
10、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过(
A、一二三象限 B、一二四象限 C、一三四象限 D、一三四象限
11、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，
△ <0，画出函数的大致图象。
12、已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12，
求证，不论m取何实数图象总与x轴有两个交点。
13、甲乙两船航行于海上，甲船的位置在乙船北方125km，以15km/h的速度向东行驶，乙船以20km/h的速度向北行驶，则多久两船相距最近?最近距离多少?
14、已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。
基础达标验收卷
一、选择题:
1.(2003•大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是(
).
A.直线x=-3
B.直线x=3
C.直线x=-2
D.直线x=2
2.(2004•重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在(
).
A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限;
D.第四象限
3.(2004•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有(
).
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(2003•杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(
).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21 5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(
).
6.(2004•昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是(
). A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空题
1.(2004•河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.
2.(2003•新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(2003•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(2003•黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.
6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
三、解答题
1.(2003•安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.
2.(2004•济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(2003•新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.
(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由; (2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(2004•河南)•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?
3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、开放探索题 5.(2003•济南)•某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增加 ,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.
6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(- a,0)且与OE平行.现正方形以每秒 的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系; (2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.
答案: 基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2
2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+
4.如y=-x2+1 5.1
6.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1
三、
1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),
∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x2-2x-1.
(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.
图象略.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2. ∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3. 2.(1)设A(x1,0) B(x2,0).
∵A、B两点关于y轴对称.
∴
∴
解得m=6.
(2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:
①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC.
(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.
设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.
将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得
解这个方程组,得a= ,b=- ,c=1. ∴抛物线DBC的解析式为y= x2- x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a= 也可.】
又将直线AE的解析式为y=mx+n. 将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得
解这个方程组,得m=-3,n=-6.
∴直线AE的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习
一、
1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴在y轴的左侧, ∴- <0,∴b>0.
又∵抛物线交于y轴的负半轴.
∴c<0.
(2)如图,连结AB、AC. ∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).
又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°,
∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0).
设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意
∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3.
2.依题意,可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax2+bx+c.
把A、B、C三点坐标代入上式,得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.
即所求二次函数为
y=0.014x2+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数,得y=16.1.
所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币. 3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得
或
解得
∴s= t2-2t.
(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元. 4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,
则D(5,-h),B(10,-h-3).
∴
解得
抛物线的解析式为y=- x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).
货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到xkm/h.
当4x+40×1=280时,x=60.
∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h. 5.略
6.解:(1)当0≤t<4时,
如图1,由图可知OM= t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN,
∵当t=4时,BB1=OM= ×4= a,
∴点B1在C点左侧.
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,
其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO= a,OD=a,
∴四边形COPQ面积= a2.
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P( ,a),∴DP= .
∴NP=t)2 -( t- a)2 = a2- [(5-t)2+(t-4)2] = a2- (2t2-18t+41) = a2- [2•(t- )2+ ].
∴当t= 时,S有最大值,S最大= a- • = a2.
基础达标验收卷
一、选择题:
1.(2003•大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是(
).
A.直线x=-3
B.直线x=3
C.直线x=-2
D.直线x=2
2.(2004•重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,
)在(
).
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.第四象限
3.(2004•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有(
).
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(2003•杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(
).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(
).
6.(2004•昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是(
).
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空题
1.(2004•河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则
y=_______.
2.(2003•新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(2003•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(2003•黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.
6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
三、解答题
1.(2003•安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.
2.(2004•济南)已知抛物线y=-
x2+(6-
)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,
),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(2003•新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点.
(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;
(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(2004•河南)某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005年该市国内生产总值将达到多少?
3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、开放探索题
5.(2003•济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少
,纵坐标增加
,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加
,纵坐标增加
,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.
6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-
a,0)且与OE平行.现正方形以每秒
的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.
答案:
基础达标验收卷
一、1.D
2.D
3.A
4.A
5.B
6.C
二、1.(x-1)2+2
2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)
3.y=-
x2+2x+
4.如y=-x2+1
5.1
6.y=
x2-
x+3或y=-
x2+
x-3或y=-
x2-
x+1或y=-
x2+
x-1
三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),
∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x2-2x-1.
(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.
图象略.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.
∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.(1)设A(x1,0)
B(x2,0).
∵A、B两点关于y轴对称.
∴
∴
解得m=6.
(2)求得y=-
x2+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程-
x2+(6-
)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).
3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:
①抛物线AEC;
②抛物线CBE;
③抛物线DEB;
④抛物线DEC;
⑤抛物线DBC.
(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.
设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.
将D(-2,
),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得
解这个方程组,得a=
,b=-
,c=1.
∴抛物线DBC的解析式为y=
x2-
x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,
),得a=
也可.】
又将直线AE的解析式为y=mx+n.
将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得
解这个方程组,得m=-3,n=-6.
∴直线AE的解析式为y=-3x-6.
能力提高练习
一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.
又∵对称轴在y轴的左侧,
∴-
<0,∴b>0.
又∵抛物线交于y轴的负半轴.
∴c<0.
(2)如图,连结AB、AC.
∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°,
∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).
又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°,
∴OC=OA•cot60°=
,∴C(
,0).
设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意
∴所求二次函数的解析式为y=
x2+
(
-1)x-3.
2.依题意,可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax2+bx+c.
把A、B、C三点坐标代入上式,得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.
即所求二次函数为
y=0.014x2+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数,得y=16.1.
所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c
由题意得
或
解得
∴s=
t2-2t.
(2)把s=30代入s=
t2-2t,
得30=
t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入,得s=
×72-2×7=
=10.5;
把t=8代入,得s=
×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元.
4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,
则D(5,-h),B(10,-h-3).
∴
解得
抛物线的解析式为y=-
x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).
货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到xkm/h.
当4x+40×1=280时,x=60.
∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.
5.略
6.解:(1)当0≤t<4时,
如图1,由图可知OM=
t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN,
∵当t=4时,BB1=OM=
×4=
a,
∴点B1在C点左侧.
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,
其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO=
a,OD=a,
∴四边形COPQ面积=
a2.
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(
,a),∴DP=
.
∴NP=
-
t.
由y=2x知,NQ=2NP,∴△NPQ面积=
∴S=
a2-(
t)2=
a2-
(5-t)2=
[60-(5-t)2].
(2)当4≤t≤5时,
如图,这时正方形移动到ABMN,
∵当4≤t≤5时,
a≤BB1≤
,当B在C、O点之间.
∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:平行四边形COPG-△NPQ的面积-△CB1R的面积.
与(1)同理,OM=
t,NP=
t,S△NPQ=(
t)2
,
∵CO=
a,CM=
a+
t,BiM=a,
∴CB1=CM-B1M=
a+
t-a=
t-
a.
∴S△CB1R=
CB1•B1R=(CB1)2=(
t-
a)2.
∴S=
a2-(
-
t)2
-(
t-
a)2
=
a2-
[(5-t)2+(t-4)2]
=
a2-
(2t2-18t+41)
=
a2-
[2•(t-
)2+
].
∴当t=
时,S有最大值,S最大=
a-
•
=
a2.
2021年中考数学压轴题：二次函数
分类综合专题复习练习
1、如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线与抛物线交于点，，与轴交于点，连接，.
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式.
(2)点是直线上方抛物线上一点，若，求此时点的坐标.
2、如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似?如果存在，请求出点的坐标;如果不存在，请说明理由;
(3)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由.
3、如图，二次函数的图象与轴交于点、点两点，与轴交于点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接、，若点在线段上运动(不与点、重合)，过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标;
(3)在(2)的结论下，若点在第一象限，且，线段是否存在最值?如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由.
4、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
(1)求抛物线的解析式.
(2)是抛物线对称轴上的一点连接，，求的最小值.
(3)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，，当时，请求出的值.
5、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点.
(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标;
(2)点在抛物线上，当时，解决下列问题：
①在直线下方的抛物线上求点，使得的面积等于20;
②连接，，，作轴于点，若和相似，请直接写出点的坐标.
6、如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为，则它的所有“风车线”可以统一表示为：，即当时，始终等于.
(1)若抛物线与轴交于点，求该抛物线经过点的“风车线”的解析式;
(2)若抛物线可以通过平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为，求该抛物线的解析式;
(3)如图2，直线与直线交于点，抛物线的“风车线”与直线、分别交于、两点，若的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式.
7、如图1，已知抛物线过点，.
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标;
(2)设点是轴上一点，当时，求点的坐标;
(3)如图2.抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值.
8、已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为第四象限内抛物线上的点，连接，，.设点的横坐标为.
①如图1，当时，求的值;
②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点.过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点.当时，求的值.
9、如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧)，且与直线交于，两点，已知点的坐标为.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)过点的直线与线段交于点，且满足，与抛物线交于另一点.
①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大;
②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
10、如图，抛物线分别交轴于，两点(点在点的左边)，交轴正半轴于点，过点作的平行线交抛物线于另一点，交轴于点.
(1)如图(1)，.
①直接写出点的坐标和直线的解析式;
②直线上有两点，，横坐标分别为，，分别过，两点作轴的平行线交抛物线于，两点.若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求的值.
(2)如图(2)，若，求的值.
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数;
(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为(如图，
①求点的坐标及的半径;
②过点作的切线交于点(如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.
12、如图，二次函数的图象与轴、轴交于点、、三点，点是抛物线位于一象限内图象上的一点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)作点关于直线的对称点，求四边形面积的最大值;
(3)在(2)的条件下，连接线段，将线段绕点逆时针旋转到，连接交抛物线于点，交直线于点，试求当为直角三角形时点的坐标.
13、如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，.
(1)求直线的函数表达式;
(2)如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，.求面积的最大值及相应点的坐标;
(3)如图2，该抛物线上是否存在点，使得?若存在，请求出所有点的坐标;若不存在，请说明理由.
14、在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，抛物线的顶点纵坐标为4.
(1)如图1，求抛物线的解析式;
(2)如图2，点是抛物线第一象限上一点，设点的横坐标为，连接、、，的面积为，求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)如图3，在(2)的条件下，过点作轴于点，在上有一点，连接、，与交于点，连接，延长交轴于点，若，，点为中点，连接，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的长.
15、已知抛物线与轴交于，两点(点在点左边)，与轴交于点.直线经过，两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1，动点，同时从点出发，点以每秒4个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为秒.
①如图1，连接，再将线段绕点逆时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标;
②如图2，过点作轴的垂线，交于点，交抛物线于点，过点作于，当点运动到线段上时，是否存在某一时刻，使与相似.若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
一、形近字组词。
唤()枝( 辫()
换()枚( 瓣()
很()咏( 谁()
恨()泳( 堆()
底()侵( 跃()
低()浸( 妖()
顶(须(披(坡(耍(要(处(外(摇(遥(削(消(辩(辨(慢(漫(惊(谅())))))))))))))))))))))))
吵()然()汤()块()谷()园()
炒()燃()烫()快()浴()圆()
二、给四字词语填空。
弄()成拙()罗()网口()心()出()入()
喜()厌() ()因()果()心()意()奇()怪
()紫()红五()六()()水()山()嘴()舌
五()十()()牛()虎()死()生()全()美
()方()计过街老()气冲()斗生龙
活()
守株待()叶公好()打草惊()老()识途顺手牵()
杀鸡吓()呆若木()()急跳墙人怕出名()怕壮
()不及待()歌()舞()如土色一无所()筋疲力()
心旷神()千()一发()飞色舞()凸不平半信半()
三、找近义词。
美妙()欢乐()急速()赞扬()发现()
活泼()隐藏()迅速()慌张()舒适()
美丽()仿佛()突然()镇定()宁静()
四、找反义词。
危险(
约束(
反---(
()
安----(
()
朋友(
整齐(
文静(
粗心()奇怪() )始---()得---()寂静())消失())急促(是---())吞---())兴奋()结束()善良(进---()丑---() )仔细( )寒冷()阴---好---)))
1.1我们身边的地理
一、单选题(共10题;共20分)
1.下列有关地方文化对旅游业的影响不正确的是(
)
A. 地方文化使旅游者开拓视野，有益于健康
B. 地方文化为我国的旅游业发展准备了丰富的资源
C. 地方文化是我国最具有吸引力的旅游资源
D. 地方文化不能创造财富，对经济发展不起作用
2.全球气候变化巴黎大会2015年11月30日至12月12日在巴黎召开，会议通过了全球气候变化新协议。全球气候变暖的主要原因是 (
)
A. 臭氧层被破坏
B. 太阳辐射增强
C. 气候反常
D. 燃烧煤、石油、天然气、大量排放二氧化碳和砍伐森林
3.阿拉伯人身着长袍，头戴头巾打扮，与其相关的原因是(
) A. 风俗习惯
B. 传统服装
C. 地理环境
D. 审美观念
4.“风调雨顺.五谷丰登”这句话说明了受气候影响最大的人类活动是(
) A. 日常生活
B. 交通出行
C. 农业生产
D. 工业生产 5.漫画反映的题是(
)
1
A. 全球变暖
B. 水污染
C. 水土流失
D. 酸雨 6.关于“热岛效应”的影响，正确的是(
)
A. 减小了污染范围
B. 提高了市区温度
C. 改善了郊区的空气质量
D. 降低市区污染程度
7.下列不属于人类文明发祥地的是(
)。
A. 印度河流域
B. 两河流域
C. 黄河—长江流域
D. 湄公河流域 8.下列选项正确的是(
)
A. 世界上最深的湖泊——贝加尔湖
B. 世界上湖面最低的湖——里海 C. 世界上最大的咸水湖——死海
D. 一半咸一半淡的湖泊——乍得湖
9.2017年3月31日“地球一小时”活动的宣传口号是“每个人心中都有位环保家”，节约资源，保护环境与我们的日常生活密切相关，下列做法正确的是(
) A. 洗碗时尽量使用洗涤剂
B. 经常使用一次性消费品 C. 用淘米水浇花
D. 过节时给朋友寄送很多的卡片
10.一些科学家测算，由于现代工业的发展，大量燃烧煤、石油、天然气向大气中排放二氧化碳日益增多。二氧化碳能大量吸收地面放出的热量，进而使全球气温有明显变暖的趋势。为了防止这种现象，适宜的方法有(
)
①立即停止使用煤、石油、天然气等燃料
2
②积极开发使用新能源
③植树造林，保护好现有的原始森林 ④扩大海洋面积，调节气温。
A. ①④
B. ①③
C. ②④
D. ②③
二、填空题(共3题;共13分)
11.请将代表世界各地民风民俗的序号填入的对应的空格内
印度人 ________
1.酷爱乳产品和牛羊肉，常吃牛排羊腿奶油和奶酪 阿拉伯人 ________
2.喜欢吃辣的、咖喱做的蔬菜，很少食肉 欧洲西部居民 ________
3.喜欢踢足球，足球水平世界一流，跳桑巴舞
巴西人 ________
4.能歌善舞，具有音乐、绘画、雕刻等方面的艺术才华 非洲黑人 ________
5.喜爱白色，建筑物和男人传统的服装是白色 12.世界地理未解之谜举例：________、________、________。 13.将下列城市与其美称或者寓意匹配起来。
① ________
② ________
③ ________
④ ________
⑤ ________
三、综合题(共2题;共14分) 14.阅读图文材料，回答下列问题。
材料一：雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称为“可入肺颗粒”)被认为是造成雾霾天气的“元凶”。
3
材料二：北京PM2.5来源统计图和2016年首要污染物组成比例图。
(1)雾霾越严重的地区，空气污染指数越________，对身体健康越不利。
(2)据材料可知，北京PM2.5的最主要来源是________。北京首要污染物构成中，比例最大的是________。 (3)雾霾天气出现时，下列做法最不合适的是________和________。
A、出门带防护口罩
B、开窗通风
C、户外活动
D、打开空气净化器
(4)从改善北京空气质量出发，今后北京应着重发展_______。
A. 高新技术产业
B. 钢铁工业
C. 水泥工业
D. 煤炭工业
(5)保护环境人人有责。为了能够呼吸到更清新的空气，大家都要行动起来。请你为环保提出两点可行性建议：①________;②________。
15.小明全家筹划去如图所示地区旅游，根据图和资料回答下列问题 。
(1)旅行社提供了涉及三个城市(杭州、上海、苏州)的“都市观光购物游→湖光古迹文化游→古典园林特色湖”，根据图1可知按照该计划，这次旅游应先到________ (城市)，然后到________ (城市)，最后到________ (城市)。
4
(2)旅行社提供了杭州西湖景区的两条游览线路，甲线路：断桥残雪→平湖秋月→小瀛洲→花港观鱼;乙线路：断桥残雪→小瀛洲→平湖秋月→花港观鱼。相关旅游景点位置如图2所示，你认为甲乙两线路中较为合理的是________线路。
(3)若在西湖景区内建民俗博物馆，与西湖景区环境相协调的是甲乙两图中的________图。
四、问答题(共1题;共5分)
16.有个同学说，我是一名学生，平时很少出门，每天除了在家，便是在学校，与地理关系不大。这种说法对吗?
5
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】D 【解析】【分析】地方文化作为旅游资源的一种，有处于旅游业的发展，带动相关产业发展，创造财富，对经济发展起促进作用，故选D。
【点评】本题关键在于理解地方文化为旅游资源一种，了解旅游业的发展会带动相关产业的发展，社会基础设施的建设，提供就业机会，提高人们的生活水平。 2.【答案】D 【解析】【分析】近50年来，人类在生产、生活过程中大量燃烧煤、石油、天然气，排放的二氧化碳等温室气体急剧增加，再加上任意砍伐森林，使全球气温升高，旱涝等灾害频繁. 故选：D.
【点评】通过改变地面状况，影响局部地区气候.如人工造林、修建水库和灌溉工程，可以使当地气温的变化趋于缓和.如果任意砍伐森林，则可能使当地气候恶化.排放出的氯氟化合物破坏高空的臭氧层，导致地面太阳紫外线辐射增强，进而危及人类的健康. 3.【答案】C 【解析】【分析】阿拉伯人的服饰和当地自然环境有密切的关系.阿拉伯地区的气候属于热带沙漠气候，极其炎热.所以在沙特阿拉伯男子的传统打扮是着长袍、戴头巾，十分宽大，具有通风的效果，十分凉爽;同时之所以选用白色，是从光学的角度来说，白色能反射光线(即太阳光)达到祛热降署的作用，以此来帮助适应酷热的气候;长袍可以阻挡强劲的风沙. 故选：C.
【点评】阿拉伯人有着自己独特的生活风俗习惯，这些习惯和他们生活的环境及古老的文化底蕴有关系.阿拉伯人的服装非常有特点，头围着围巾身穿长袍，长袍的颜色以白色为主，这和他们所处的环境有关，因为在阿拉伯国家沙漠比较多，穿长袍可以有效的抵御风沙，还有一个原因是阿拉伯国家普遍处于热带，温度比较高，长袍可以有效的散热，白色可以最大限度的反射太阳紫外线. 4.【答案】C 【解析】【分析】气候对人类的生产和生活影响很大。如交通、农业、日常生活的各个方面。“风调雨顺，五谷丰登”说明气候对农业生产的影响重大。
6
故答案为：C。
【点评】本题考查气候对人类生产与生活的影响，属于理解记忆类知识点，比较简单。 5.【答案】A 【解析】【分析】从漫画中看出，企鹅等动物的栖息地越来越小，说明全球气候变暖;近50年来，人类在生产、生活过程中排放的二氧化碳等温室气体急剧增加，使全球气温升高，地球变暖的一个征兆是南北极地区及格陵兰岛的永久冰雪快速消融。 故选：A 【点评】依据漫画反映的问题解答。 6.【答案】D 【解析】【分析】城市热岛效应出现的原因是人类的活动：如工业、民用锅炉以及汽车排放出大量废气，燃料燃烧散失到空气中大量热，水面减小，砂石混凝土增加，温度变化快，高楼林立，空气不易对流，热量不易散失，致使市区温度上升，形成上升气流，流入郊区，郊区的冷空气流过来补充，使市区的温度降低，降低市区污染程度。根据题意。 故选：D 【点评】近50年来，人类在生产、生活过程中排放的二氧化碳等温室气体急剧增加，使全球气温升高，旱涝等灾害频繁。排放出的氯氟化合物破坏高空的臭氧层，导致地面太阳紫外线辐射增强，进而危及人类的健康。在人口密度大、工业集中的城市，往往中心城区的气温比郊区高，风速比郊区小，上升气流显著，雾和低云增多，形成“城市热岛效应”。 7.【答案】D 【解析】【分析】世界四大文明发祥地是黄河—长江流域、印度河——恒河流域、两河流域、尼罗河流域。 故选：D 8.【答案】A 【解析】【分析】A、世界上最深的湖泊——贝加尔湖; B、世界上湖面海拔最低——死海; C、世界上最大的咸水湖——里海;
D、巴尔额什湖——④一半咸水一半淡水的湖泊。 9.【答案】C
7
【解析】【分析】现在全世界都在提倡节能减排，推广低碳生活的理念，如在生活中洗碗时，尽量不要使用含磷的洗涤剂，以免污染水源;不使用贺卡，因为贺卡的原材料是木材;用淘米水浇花，节约用水，提高资源利用率;拒绝使用一次性消费品，因为大多数一次性消费品是对资源的一种浪费，也是对环境的污染。故选：C。
【点评】依据爱护环境与保护自然资源的具体做法来解答此题。 10.【答案】D 【解析】【分析】一些科学家预测，由于现代的工业的发展，大量燃烧煤、石油、天然气，向空中排放二氧化碳日益增多，导致温室效应，使全球气候有明显变暖的趋势。为了防止这一现象，方法有：积极开发使用新能源;植树造林，保护好现有的原始森林等。 故选：D 【点评】防止全球气候变暖的最根本的方法是减少二氧化碳的排放量，比如说减少人口，减少化石燃料的使用;多实用新型能源;多种植绿色植物，以加快二氧化碳的吸收和氧气的生成。本题考查了世界环境污染问题及其防治，解题时让学生牢记防止全球变暖的方法，并能学以致用。
二、填空题
11.【答案】2;5;1;3;4 【解析】【分析】解：印度地处热带、亚热带地区，气候炎热，当地居民为了适应湿热的自然环境，喜欢吃辣椒、咖喱做的蔬菜，很少食肉，并有饮凉水、饮茶习惯;阿拉伯人生活在热带，温度比较高，长袍可以有效的散热，白色可以最大限度的反射太阳紫外线;欧洲西部主要属于温带海洋性气候，气候温和湿润，适合牧草生长，畜牧业发达，因此当地居民酷爱乳产品和牛羊肉等畜产品;巴西人主要生活在热带地区，当地人们喜爱踢足球，跳桑巴舞;非洲黑人能歌善舞，具有音乐、绘画、雕刻等方面的艺术才华. 故答案为：2;5;1;3;4 【点评】根据世界各地民风民俗解答.
12.【答案】例如：埃及金字塔之谜;百慕大三角之谜;UFO(不明飞行物)之谜、死亡谷
【解析】【分析】本题主要考查的是地理学到底是什么的问题。地理学是一个很有趣很神奇的学科，地理学也存在着许许多多的未解之谜，这一切还有待科学的进步和人类进一步的探索。当然就目前而言，这些神奇的地理现象也给地理增添了许多神秘的色彩。此题主要考查的为课外知识，所以平时要多积累知识。 【点评】本题主要考查的是地理是个谜的知识，特别是要举出关于世界地理未解之谜的例子，这还需要平时的课内和课外知识的积累
8
13.【答案】C;D;A;E;B 【解析】【分析】双喜临门是指重庆，冰城是黑龙江省的行政中心哈尔滨，春城是云南省的行政中心昆明，急来抱佛脚是指西藏自治区的行政中心拉萨，久雨初晴是贵州省的行政中心贵阳。 故答案为：C;D;A;E;B 【点评】我国有不同的城市，不同的城市的寓意不同。
三、综合题 14.【答案】(1)大 (2)机动车;PM2.5 (3)B;C (4)A (5)多乘公交出行;增加绿化面积
【解析】【分析】(1)雾霾越严重的地区，空气污染指数越大，对身体健康越不利。(2)据材料可知，北京PM2.5的最主要来源是机动车。北京首要污染物构成中，比例最大的是PM2.5.(3)雾霾天气出现时，出门带防护口罩，不要开窗通风，不要户外活动，要打开空气净化器;(4)从改善北京空气质量出发，今后北京应着重发展高新技术产业;(5)为保护环境，可以多乘公交出行，要增加绿化面积。 故答案为：(1)大;(2)机动车;PM2.5;(3)B;C;(4)A;(5)多乘公交出行;增加绿化面积。 【点评】空气污染指标是衡量一个地区空气质量的重要指标，污染指数越高空气质量越差。生活中注意节能减排，倡导低碳经济，大力倡导步行或乘坐公交车上下班，可以提高环境质量。本题考查空气质量的评价及其北京的空气质量，理解解答即可。 15.【答案】(1)上海;杭州;苏州 (2)甲 (3)乙
【解析】【分析】(1)上海市是国际金融城市，经济发达，是中国第一大城市，四大直辖市之一，是重要的国际经济中心、国际金融中心、国际贸易中心和国际航运中心，又有美丽宜人的外滩，也有高耸入云的东方明珠电视塔等景点，是观光购物的好去处;古语云“上游天堂，下有苏杭”，是浙江省第一大城市，位于浙江省北部，处杭嘉湖平原南缘，拥有约2300年的建城史，是一个典型的山水文化名城。西子湖、钱塘江、千岛湖以及周边丘陵构成了杭州的山水美景。自古以来，杭州的经济和文化比较发达，素有“东南第一州”之称，所以是湖光古迹游的首选;苏州历史悠久，人文荟萃，苏州素来以山水秀丽、园林典雅而闻名天下，有“江南园林甲天下，苏州园林甲江南”的美称，又因其小桥流水人家的水乡古城特色，而
9
有“东方威尼斯”、“东方水都(东方水城)”之称;(2)从图2考查，甲路线比较合理，少走弯路;(3)与西湖景区民风、民俗协调的是乙图，甲图是西方城堡建筑特色，乙图是我国南方传统民居。故答案为：(1)上海;杭州;苏州;(2)甲;(3)乙。主要考查了我国的旅游景点，需要学生应在日常学习中多积累，熟悉我国的主要城市特色，属于中档题。
【点评】上海是我国的经济中心，以高新技术为依托，经济快速发展，可以满足人们都市购物观光的需求，浙江杭州西湖，江苏苏州园林，远近闻名，有“上有天堂，下有苏杭”之说，题干中，甲图是西方建筑特色，乙图是我国南方传统民居。
四、问答题
16.【答案】这位同学的说法是错误的。
【解析】【分析】本题考查的是地理是什么以及地理与我们人类的关系，特别是与日常生活的关系。总的来说，地理与我们的日常生活密切相关。如每天收听、收看天气预报，以便决定第二天是否要增减衣物，是否携带雨具;每天吃的粮食、水果、蔬菜都来自于农业生产;家里的家用电器则来自于工业生产;周围的建筑体现了当地自然环境特色。所以我们时时刻刻都处在地理之“家”中。此题要注意结合生活实际回答即可。
【点评】此题考查的是地理是什么以及地理与我们人类的关系，特别是与日常生活的关系。所以要多细心观察，结合我们的生活实际来感受地理与我们的关系。
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