企业知识产权管理水平评估体系研究重点分析
摘 要：本文简单介绍了我国企业知识产权工作现状和存在的问题，针对企业知识产权管理加强措施进行了深入研究，希望可以对我国企业知识产权管理的加强起到一定的参考和帮助，更好的满足企业知识产权管理工作需要，为我国企业核心竞争力的提升打下良好基础。
关键词：企业;知识产权;管理
在社会经济发展过程中，企业之间的竞争已经向着科技实力方面转移，企业所拥有的自主知识产权数量有明显增多，能够在企业核心竞争力的提升方面发挥重要促进作用。尤其是随着对知识产权重要性的认识度越来越高，企业在专利、商标等方面有着非常高关注度，在管理工作的开展必须要对知识产权管理有足够重视，本文就此展开了研究分析。
1我国企业知识产权工作现状和存在的问题
当前我国企业知识产权工作的开展还存在有一定的问题，具体表现在以下几个方面：第一，企业知识产权意识相对较为薄弱，自企业知识产权战略实施后，政府一直在推动企业建立知识产权意识，很多大型企业已经具备有自身知识产权管理制度，但是一些中小型企业受到技术水平和发展规模等因素限制，知识产权保护意识相对较为薄弱，在贸易往来中容易陷入纠纷;第二，企业缺乏足够技术创新能力，我国很多产品以及制造技术等都是参考其他国家，企业自身缺乏自主创新能力，自主创新意识低，企业因为缺乏技术优势更多的作为外资企业的加工车间，无法突破现有发展瓶颈，很难满足企业高层次发展需要;第三，企业专利信息管理利用不足，企业因为缺乏系统性知识产权管理理念，在技术开发方面存在有重复开发以及侵犯他人利益等问题，影响自身技术研发的发展，无法满足企业竞争力提升需要;第四，企业专利战略规划水平不足，当前我国企业在专利申请数量和质量方面还存在有一定的问题，很多企业利用专利战略有效规避专利技术，企业在知识产权战略和经营战略结合方面还需要经历较长发展过程;第五，司法和执法力度需要有所加强，当前我国知识产权发展较晚，侵权案件等法律制裁方面相比于西方国家还存在一定的差距，不利于我国知识产权发展。在我国实施知识产权战略后，知识产权保护力度有着明显的提高和加强，这对当前我国知识产权纠纷频发以及执法力度不足等问题，政府对知识产权法律建设有非常高重视度，权利人合法利益得到有效保护，取得了一定的成效，在实际应用中还需要进一步加强。
2加强我国企业知识产权管理的措施
2.1进一步完善知识产权法律法规体系
虽然我国建立有自己的知识产权制度，但是在实际应用中还存在一定的问题和不足，很难满足深化改革以及创新型国家发展需要。一些地区仍经常出现知识产权侵犯等问题，企业利用知识产权参与竞争意识较为缺乏，很多企业专业和商标等权益遭到侵害。因此，必须要重视监督和执法权力的加强，加大司法打击力度，从长远角度出发，完善知识产权保护制度和体系，营造一个良好的环境氛围。
2.2加大司法保护力度，支持国家知识产权战略措施
当前我国与知识产权有关的诉讼越来越多，知识产权司法制度必须要健全我国知识产权保护体系服务，促进服务工作的高效化和便捷化。政府知识产权主管单位还需要天宫知识产权查询、评估等服务效率，培养专业性的服务人才，给予企业知识产权高效、专业的保护。
2.3培养和提高社会的知识产权意识
想要进一步提高企业知识产权管理水平，还需要增强全体社会在这方面重视度，在社会范围内形成尊重知识、人才和创新氛围，为知识产权保护营造一个良好环境，为企业的自主创新发展提供支撑。
2.4将知识产权管理提升到战略高度
为了在社会竞争中获取更高的经济效益，企业还需要做好技术创新、知识产权保护方面的安排和规划，将知识产权管理提升至战略高度，知识产权是企业维护自身利益的一个重要方式，对企业的持续稳定发展有重要影响。企业知识产权战略需要与企业其他战略相互结合，形成综合性体系。
2.5加强建设企业知识产权管理制度
很多西方国家在知识产权管理方面对制度建设有极高重视度，想要提高企業知识产权管理水平，还需要做好知识产权管理制度的建设，促进知识产权管理工作的规范化发展。知识产权管理制度具体包含以下几个方面内容：第一，完善商标权、专利权等方面管理制度;第二，建立适当的知识产权激励制度，很对员工知识产权，给予知识产权入股等奖励形式;第三，完善知识产权相关合同制度，实现对企业知识产权管理的规范化指导。
2.6建立专门的企业知识产权管理部门
企业知识产权管理机构的建立同样十分关键，企业将知识产权管理部门属于一项重要部门，企业需要根据自身的经营范围、企业性质等建立专门的知识产权管理部门，配备专业性、高素质管理团队，加强与其他部门的协调合作，为企业知识产权管理工作的顺利有效开展打下良好基础。
3结束语
我国企业经历过知识产权纠纷等教训，对知识产权管理方面重视度越来越高，但是当前知识产权管理水平还相对较低，知识产权管理制度需要进一步的优化和完善，我国需要加大在知识产权法律方面的扶持力度，为企业知识产权进步提供重要支撑。
参考文献：
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作者：殷欧艳
我国对知识产权经营方面研究不足，直接影响了我国对有关知识产权经营方面的立法工作。转变知识产权的研究重点，并不是要否认或抛弃我国已经取得的在知识产权维权领域的重要成果，恰恰相反，知识产权法律维权是知识产权经营的前提和基础，学术界还应当进一步巩固和发扬知识产权维权的研究成果。
近期知识产权领域可谓热闹非凡，先是苹果公司与唯冠公司“IPAD”商标权之争，接着广药集团与加多宝之间展开“王老吉”商标大战，进而著作权修改案第46条“强制许可”制度又在音乐界掀起轩然大波，也被誉为音乐人与翻唱者之间的权利之争，可谓处处都是经典大战，令人目不暇接。更为精彩的是，上述战役的结局，又与人们的预期相差甚远。在“IPAD”商标权之争中，学者更多关注的是苹果公司是否在中国在陆享有“IPAD”商标权，然而法院最终并没有给出“是”或者“否”的结论，事件以苹果公司与唯冠公司和解而告终。在“王老吉”商标中，人们关注的焦点也并不是加多宝是否享有商标使用权，而是加多宝让“王老吉”价值不菲的同时，能否主张经济补偿。同样，在著作权法修正案第46的争议中，原本为世界大多数国家公认的“录音制品强制许可制度”，却只是因为音乐人的“奋起反抗”而被莫名地删除了。显然，上述大战的结果都超脱了法学家们“是否有权”，或者“是否侵权”的二元结局，最终却是“产业发展”和“经营利益”决定了战役的结局。回顾知识产权世界大战，其结局也概莫能外。其实，人们发明“知识产权”的目的也正是基于产业发展需要，犹如版权的产生正是由书商们奔走呼号的结果，如果知识产权不能转化为财产，那么对它的保护便毫无意义。笔者以为，基于国家战略和产业发展的需要，当前有必要将我国知识产权的研究重点从“法律维权”转向“资本运营”。
一、维权一直占据知识产权研究重点
截止到2012年5月，哲学社会科学类知识产权主题文章共计16809篇，以知识产权保护为主题的文章共计8462篇，占50.3%，但以知识产权经营为主题的文章极少，其中知识产权投资为主题的文章343篇，知识产权评估为主题的文章223篇，知识产权担保为主题的文章149篇，知识产权转让为主题为文章295篇，知识产权信托为主题的文章21篇，合计1010篇，占6%。
截止到2012年5月，哲学社会科学类知识产权为主题的博士论文198篇，其中以知识产权保护为主题的博士论文153篇，占77.2%;但以知识产权运营为主题的博士论文较少，如以知识产权出资为主题的博士论文4篇，以知识产权担保为主题的博士论文8篇，以知识产权证券化为主题的博士论文3篇，共计15篇，占7.5%。
从1996年到2001年，国家社科基金项目中知识产权项目合计501项，其中以版权、商标、专利等知识产权制度性研究、网络知识产权，知识产权国际保护等为主题的项目共计169项，占项目总数的33%。相比较而言，以知识产权运营为主题的项目较少，其中知识产权评估为主题的项目9项，以知识产权管理为主题的项目24项，合计33项，仅项目总计的1.7%。
30年来，我国知识产权学者多视角、全方位地对知识产权进行了研究，但在这一过程中始终以法律维权作为研究重点，不可否认，经过长期的学术研究，我国在知识产权维权保护方面的学术研究取得了重要成果。当前，国际国内经济形势正在发生悄然变化，知识产权已不再仅仅是一项单纯的财产权利，它在企业资本经营中所占的比例及发挥的作用越来越大，相应我国知识产权的研究重点也应当从维权转向经营。
二、从“维权”转向“经营”的几点理由
(一)知识产权在企业经营中发挥着越来越重要的作用，甚至是决定性作用
知识产权属于民事权利的范畴，通说认为，著作权中的精神权利属于人身权，而著作权财产权以及商标权、专利权属于财产权，它具有普通民事权利的共性，并且从权利内容上可以划分为专有垄断和禁止他人使用两个方面，这是从权利视角审视知识产权，但知识经济的发展还为我们带来了知识产权研究全新视角——资本视角。传统的工业时代，人们所熟知的资本形式，如货币、房屋、土地及其他生产资料等有形资本，为企业带来了巨额利润。但随着社会经济和科技的发展，专利、版权、商标、技术秘密等无形资产在企业资本中所占的比例越来越大，据有关部门发布的数据，大约从20%上升到90%左右，企业的竞争从一定意义上已转化为核心技术、知名品牌等知识产权的竞争。面对经济形势的转化，原有的依靠廉价劳动力和耗费资源为主的产业升级迫在眉睫，而带动劳动密集型产业转化为知识密集型产业的关键要素正是知识产权。美国商务部周三发布的一份报告显示，美国电影公司、制药商和其他依靠版权、专利和商标保护的企业支撑着大约4000万个就业岗位，相当于美国员工总数的约28%。为顺应时代发展潮流，我国《公司法》在2005年修改时将进一步扩大了知识产权出资范围和比例，“凡是可以用货币作价并可以依法转让的知识产权都可以作价出资”，出资比例也从原有的“不得超过20%”转变为“最多可以达到70%”。这为知识产权出资提供了有效的法律保障，可以预见，我国知识产权在企业资本中所占比例以及发挥的作用还将持续加强。
(二)我国有关知识产权经营的研究不足，并严重落后于发达国家
长期以来，我国学术界一直将维权作为知识产权的研究重点，而忽视了对知识产权经营的研究：
第一，有关知识产权资本价值以及经营规律等基础理论问题的研究薄弱。与传统的房屋、生产资料等实物资本相比，知识产权具有无形和不可复制的特点。实物资本的价值可以通过生产它的“社会必要劳动时间”来确定，但知识产权的价值却无法通过生产它的“社会必要劳动时间”来确定，恰好相反，它的价值取于“它所能解放的社会必要劳动时间”。因此知识产权具有不同于传统实物资本的特点，并且它在追求企业利润过程中也表现出不同于与传统实物资本的经营规律，但对于知识产权作为资本的本质是什么，价值是如何计算的，经营规律又是什么等问题，鲜有学者进行专题研究，相关基础理论问题研究薄弱。
第二，有关知识产权经营的制度性研究滞后。首先，有关知识产权出资制度的研究滞后，虽然我国公司法早已确立了知识产权出资制度，但对于什么样的知识产权可以出资以及如何出资等具体问题并未给予明确回答，时至今日也鲜有学者对此系统研究，甚至像商号权、著作人身权、商业秘密等相对特殊的知识产权的出资问题的研究还几乎处于空白阶段。如此研究滞后的情况还体现在知识产权担保制度的研究方面，虽然我国物权法已确立知识产权质押担保制度，但对于知识产权担保与其他权利担保的区别、知识产权担保应界定为质押还是抵押以及知识产权担保价值如何实现等问题的研究还十分滞后，以至于在适用相关法律时模糊不清。此外，我国有关知识产权评估制度的研究也相对滞后，无论是担保还是出资，都不可避免涉及价值评估问题，如何能够针对知识产权与实物的区别，针对技术、商标、作品的不同特点，总结出相对科学的评估理论，都属于当前学术研究亟待解决的问题。
第三，欠缺对知识产权保险、信托投资、证券化等创新经营模式的研究。随着经济发展，在知识产权经营过程中还涌现出知识产权保险、信托投资、证券化等创新形式。知识产权信托是以信托形式将知识产权委托给特定的机构经营，并约定收益分配的一种经营形式;与信托不同，知识产权证券化则是将企业的知识产权隔离出来，并依据该知识产权所能形成稳定的现金流发行证券融资;而知识产权保险是将知识产权财产损失或者侵权责任作为保险内容，从而有效化解知识产权侵权诉讼给企业带来的风险。上述知识产权创新经营模式对于充分发挥知识产权市场价值以及预防风险都具有重要意义，遗憾的是，我国学术界对上述问题的研究还仅仅处于启蒙阶段，尚未形成知识产权创新经营模式系统性的研究成果。
综合以上几个方面，我国知识产权经营的研究成果严重滞后于发达国家，以美国为例，根据纽约大学商学院的研究，美国经济正在从物理资本为主的行业转向无形资产为主的行业，比如制药和软件等，美国公司的主要价值创造将来自无形资产。并且美国已经针对专利、商标、版权等自身的特点，发展出了不少新的评估方法，比如专利评估中的设计回避方法与可比较的交易法等。并且，美国有关知识产权经营的研究成果已远远超越知识产权投资和价值评估等传统领域。早在1997年美国便已开创了世界上首个知识产权证券化案例，如今知识产权证券化的对象资产已经非常广泛，从电子游戏、音乐、电影、休闲娱乐、演艺、主题公园等与文化产业关联的知识产权，到时装的品牌、最新医药产品的专利、半导体芯片，甚至专利诉讼的胜诉金等。美国在知识产权保险制度的研究与执行方面也十分成熟，早在1973年美国ISO的CGL保单将专利侵权责任保险首次纳入普通商业责任保险的承保范围。
(三)我国对知识产权经营研究不足而引发的不利后果
我国对知识产权经营方面研究不足，直接影响了我国对有关知识产权经营方面的立法工作。至今我国尚未制定有关知识产权保险以及知识产权证券化的相关规定，即便是在知识产权出资、担保、信托投资等方面，我国相关立法也是还极为粗糙，仅是有法律原则性的规定，并没有针对不同知识产权的特点以及经营中的具体问题作出可供操作的具体规定。如此滞后的知识产权经营立法，除了受到经济发展等要素的制约外，很大程度上取决于我国对相关问题的研究不足。然而，实践中有关企业知识产权经营的新问题又层出不穷，既无立法可供执行，又无相关研究可供参考，不可避免会造成相关司法实践的尴尬与盲然。更为重要的是，对相关问题的研究不足，还会阻碍知识产权经营模式的创新，2000年，武汉国际专利信托投资公司知识产权信托模式的创新，不到两年便以失败而告终，不能否认，失败之重要原因就在于缺少对相关成熟模式的分析与研究。可以预见，在未来社会，资本追求利润的天性，还将推动知识产权经营模式的变革，而缺乏相关成熟理念的指导，知识产权金融创新工作仍将面临更大困难。
三、实现知识产权研究重点转变的具体步骤和方法
转变知识产权的研究重点，并不是要否认或抛弃我国已经取得的在知识产权维权领域的重要成果，恰恰相反，知识产权法律维权是知识产权经营的前提和基础，学术界还应当进一步巩固和发扬知识产权维权的研究成果。但根据国际国内经济形势的变化，有必要抽出更多的精力关注知识产权经营的研究工作，以尽快弥补我国在相关领域研究不足的现状，具体可分为三步走：
第一步，总结和借鉴西方发达国家有关知识产权资本经营成功案例以及成熟理论;
第二步，结合中国知识产权事业的发展现状，构建符合我国国情的知识产权经营模式和法律规范;
第三步，在知识产权经营的实践工作中进一步完善知识产权经营的研究工作。
作者：杨延超
【摘要】文中通过对我国高职教育现状及高职教育的目的进行分析，结合高职学生尤其是应用型工科类高职学生在学习高等数学中存在的一些实际问题，分别从从教学手段、教学内容、教学方法等方面提出一些探索性教改建议，以适应新形势下高职学生的学习特点。
【关键词】高等数学;教学改革;教学方法;教学手段
一、前言
高等数学是高等工科院校最为重要的基础理论课程之一，是工科类各专业学生的一门必修课，在整个教学体系中，高等数学占有非常重要的地位。随着大学教育尤其是高职教育的培养目的以适应新形势下社会对劳动力的需求为依据，进而以培养实用型人才为主，在相同的教学时间内，加大实践性教学力度。这样，势必涉及到减少理论学时，当然高数将包含在内。而高等数学服务于后续课程并能为实际问题的解决提供数学基础知识及方法，为达到学时量减少的同时还要能够使得学生掌握必要的数学知识，就要在课程的内容安排上尽量以够用为出发点，结合学生专业、学生个人水平做出相应调整。
二、高职教育中高等数学的教学现状
近年来，随着我国教育事业的发展，高等教育的规模也得到了大幅度的提升。作为高等教育中的高职高专，随着办学学校数量的增加，招生规模更是空前壮大。面对如此庞大的受教育群体，在以往传统的教育模式下，就会出现种种不适应，从而达不到期望的目标值。其具体原因主要有以下几点。
1、高职教育越来越强调学生对职业技能的掌握，因此，许多学校对高等数学在高职教育中的定位认识有失偏颇，各专业在课程设置上把数学教育作为一种思维能力的训练及学生终身学习能力的培养的作用丢弃一边，大量削减了高等数学的教学课时，使教学内容与教学时间发生冲突，加大了高等数学的授课难度。
2、教学内容单一化。以工科学生为例，几乎是所有高职专业高等数学的教学内容相同，没有从各专业的角度进行遴选，甚至没有与学生后继课程的学习做好衔接，对数学学习应用介绍不足，从而使学生认为高数在今后的专业课学习及今后的专业服务没有多大关系，思想上不重视，导致学习上的放松，主动自觉性较差。
3、扩招的结果，造成学生素质的普遍下降，且层次参差不齐。在教学过程中，面对相同的教学大纲，一部分学生由于基础理论知识较差听不懂，因而失去了学习的兴趣及动力，变成被动学习，另一部分基础好的学生，尤其是准备专升本的学生却感觉教学内容不够，无法满足他们的求知欲望。这样，在授课的过程中，极难达到预期效果。
4、部分学生学习目的不明确，态度不端正。抱着进入大学就是进入了保险箱，怎么都能毕业的想法，经常迟到早退，甚至是旷课，这样就造成了高数学习过程的不连续性，以至于前面的内容没听，后面跟不上。久而久之，就放弃了高数的学习，最终的结果就是会影响到后续专业课程的学习。同时，还有相当数量的学生在从中学到大学的过程中不能很快适应大学的学习方法，进入状态较慢，也影响到本课程的学习。
5、还有一种情况就是文理兼收的学生，许多是听取家长的意见选择专业。理科生报考文科专业的学生学习起高数来比较省力，也能取得较好的成绩。而对于选择了理工科专业的文科考生，大部分都存在着数学底子薄弱的现象，一旦与理科考生站在同样的起跑线上学习高数，就会感觉很吃力，这也是工科中大部分文理兼收学生的现状。
6、教学手段相对落后。理论学时量的压缩，虽然给学生们提供了更多的实践机会，但在相对减少学时量的同时想要尽可能多的传授给学生一定的理论知识，单纯的板书教学已解决不了教学内容与教学学时上安排的矛盾。课堂上教师写说不停，总想在规定时间内讲授相对多的知识，教学缺乏互动性，久而久之，学生就会失去学习兴趣，造成事倍功半的结局。
三、改革措施
为适应大学教育尤其是高职教育的培养目标，并针对目前高职教育中高等数学的教学现状，我们应对高数课程的教学做些相应调整。
首先，不能无度的进行课时量的减少。在顺应培养目的，不得不减少学时量的前提下，应依据专业所需，将教学内容进行选择性讲解。对不同的专业，可制定不同的教学计划。除了必须的基础模块，还可依据专业特点，整合、优化部分教学内容，在教学过程中渗透部分专业知识，激发学生的学习热情。
其次，因材施教，进行分级教学。对不同程度的学生，依据他们的水平及个人意愿，划分出A、B、C班，并对不同层次的班级分教材分内容进行本课程的学习。命题难度以学生的层次同样分出A、B、C卷依次降低的难度标准，这样，任课教师就可根据学生水平选择教学内容，同时，不同班级的学生也就不会出现过去统一标准情况下部分学生因听不懂内容而放弃高数的学习情况，对于另一部分程度较好的学生则可适当增加授课内容以满足他们日后的提升。
再次，加强考核方式的改革。将学生总评成绩分成两部分，其中期末考试可以适当增加一些应用题，采用半开半闭方式，以锻炼学生分析问题解决问题能力为主。平时成绩以学生作业、到课率、课堂表现及小测验等方面对学生进行考核。并可适当加大平时成绩所占比例来激发学生的学习积极性和主动性。
最后，在教学手段上，应适应时代发展，充分利用现代化的教学工具，将传统的板书配以多媒体教学，使多媒体技术服务于高职院校的高等数学教学，改善教师和学生的教学环境。教师不必在板书上浪费时间，将更多的精力投入到教学的重点、难点的分析和讲解中。不但能增加课堂上的信息量，还能使教学效率和教学质量得到提高。同时，还可利用校园网络将每章的小结、复习题、自测题挂在网上供学生复习，借助于网络进行网上答疑，大大提高学生的学习效率。
四、结束语
高职高等数学的教学改革尚处于探索阶段，它是我国高职教育改革不断深化的的产物，并逐渐形成自身的体系和特点。高职教育的性质和对象决定了高数教学中会遇到各种各样的问题。作为高数任课教师，必须转变思想，改进教学方法和手段，提高教学质量，充分发挥高等数学在高职人才培养中应有的作用，把学生培养成兼具创新能力和应用能力的高素质人才。
参考文献：
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【2】李海涛.浅谈高职高专《高等数学》的教学改革[J].科技创新导报，2009，24：112.
【3】田智，王喜斌.高职数学教学改革的体会和设想[J].中国成人教育，2006，(5).
作者：行娟娟
高等数学部分
函数、极限、连续部分，两个重要极限，未定式的极限，等价无穷小代换，还有极限存在性问题和间断点的判断以及它的分类，这些在历年真题当中出现的概率比较高，属于重点内容，但很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。
函数的微分和积分部分，重点还是一元函数的微分和积分。尤其是一元函数微分和积分的应用。 一元函数微分学需要掌握几个关系：连续性、可导性、可微性的关系，要掌握各种函数的求导方法。一元函数的应用问题，涉及面广，题型多，比如说中值定理部分，中值定理部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性等。对于多元函数微分学，要掌握几大性质之间的关系，连续性、偏导性和可微性以及一阶连续可偏导的关系，这几个关系一定要搞得很清楚。关于多元函数微分学的应用，主要掌握条件极值，最值问题。积分学部分首先要掌握的第一个重点是不定积分和定积分的基本计算、尤其要注重一定的计算能力和技巧。定积分的应用是一个重点内容，主要考查面积问题、体积问题及与微分方程相结合的问题。对于要考数一的考生来说，曲线和曲面积分的部分主要掌握格林公式和高斯公式以及曲线积分与路径无关的条件。
空间解析几何部分，这个只对考数一的同学要求，不是重点。
级数问题需要掌握的重点有两个：一是常数项级数性质问题 ，尤其是如何判断级数的敛散性，二是幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间、收敛半径、和函数以及幂级数的展开问题。
微分方程与差分方程部分，差分方程只对数三考生要求，但不是重点。这部分也有两个重点：一个重点是一阶线性微分方程;另一个是二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。
线性代数部分
逆矩阵和矩阵的秩
向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如证明几个向量线性相关性。
线性方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，往年也考的比较多。
特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。
正定二次型的判断。
线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于线性代数内容自己要有一个总结，然后还可以看一看比如复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。
概率统计部分(数
一、数三)
概率的性质与概率的公式这个需要熟练地掌握，比方说加法公式、减法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及Bayes公式。
一维随机变量函数的分布。重点掌握连续性变量部分。
多维随机变量的联合分布和边缘分布及其随机变量的独立性。这是考试的重点、难点。
随机变量的数字特征，这是一个很重点的内容。
参数估计。参数估计的点估计法包含矩估计法和极大似然估计，这是一个重点内容。
考生对于数学很多概念、性质、理论的理解一定要建立在理解的基础上。数学题型是有限的，考生在理解的基础上要善于去归纳总结题型方法，也就是要能举一反三。
此外，数学要在理解的基础上归纳总结之后还要靠练。就是一定要做一定的练习，把老师讲课的内容消化完之后，还要找大量的习题拿来做。一类书就像复习全书，另外一类，就像历届真题解析。
其实，对于广大考生来说，不必对大纲过于敏感。其实无论大纲如何变化，难易程度是否有波动，打好基础，学好知识才是数学取得高分的根本。根据这几年数学考题来看，重点是考察基本概念、基本理论、基本方法，如果只追求难题技巧题，方向就错了。所以，要以课本为基准，认真复习。
同学们在上完考研辅导班之后，要按照讲义把基本内容做一个整理。在老师归纳的内容之上，通过自己的整理变成自己的东西。听课是否真的听懂了，只有你自己能做出来，才能说明你懂了。做完以后，看下自己的做法好不好，对不对，与老师讲授的方法相比有什么区别。
暑期强化班结束之后，考生需要结合历届真题，看内容，做题。真题是最好的练习题，每年的考题出来以后，你会发现试卷90%左右考的知识点、题型、类型都会在历年真题中找到影子，真正是没有考过的知识点一般不会超过10% 。因此，历年真题是检测自己知识掌握程度的试金石，按照自己所考的数学种类将历年真题在规定的时间内认真完成，并对其结果做一个评估，注意最重要的是发生错误的时候一定要找出错误所在，这样才能有针对性地找出自己的不足，避免此类错误再次发生。做一定量的练习是学好数学的关键，除了对各部分内容进行有针对性的训练外，还要找一些比较好的模拟试卷进行练习，相信大家经过这些阶段后一定会有非常大的收获。
总之，数学的学习就是日积月累的过程，要坚持不懈持之以恒一定会有很大的进步，也会取得自己满意的成绩的。考生在复习的时候不仅仅要注重重点，更要注重全面。
10种题型是考研必考的题型
在复习考研数学的时候，有的同学觉得基础概念不重要，考研不会这么简单，所以一开始就把重点放在高、难、怪的题目上。实际上打好基础是最重要的，下面跨考教育数学教研室李擂老师以考研常见的10种题型来分析把握概念的重要性。众所周知，以下10种题型是考研必考的题型：
1.运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。
2.运用导数求最值、极值或证明不等式。
3.微积分中值定理的运用。
4.重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。
5.曲线积分和曲面积分的计算。
6.幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。
7.常微分方程问题。可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。
8.解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。
9.矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。
10.概率论与数理统计。求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。
很多考生第一眼看到这些考点的时候都非常开心，因为这些考点太常见了!每年考研数学得高分的人非常多，甚至会出现好些满分，但为何每年过不了考研数学这道槛的人也很多呢?考研数学并不难，但涉及的知识点很多，只要你认真翻一下历年的数学考研大纲就不难发现，高数、线代、概率3门课程有很多知识点，都是需要认真而全面的复习。
既然是基础复习，就需要通览课本。因为很多同学认为课本很简单忽视了对课本的把握，在考研中往往得不到理想的数学成绩。与很多重视积累的基础学科一样，数学是由许多定义、定理、公式等积累起来，对这些细小东西的把握只能依靠课本，只有打好扎实的基础才能应对变化多端的考题。
第一题：填空(5*4)
1， 复合函数的计算。
2， 根据极限求函数的未知参数。
3， 讨论函数的间断点。
4， 用导数定义填空。
5， 定积分的计算。
第二题：选择(5*4)。
1， 求函数极限。
2， 洛必达法则的应用。
3， 求函数的二阶导数。
4， 积分上限函数求导。
5， 反常积分。
第三题：计算(6*6)。
1，求极限。
2， 求两个重要极限的运用。
3， 求导数。
4， 求二阶导数。
5， 求不定积分。
6， 求定积分。
第四题，证明，应用(6*4)。
1， 证明连续函数。
2， 证不等式。(用凹凸性)
3， 计算旋转体体积。
4， 讨论函数极值。
这是出卷子的邓辉文老师给他们班的重点。从同学处知之。群分享，可信，亦可不信。
函数比区间连续函数性质
证明:介值
种植定理
极限极限定义(c-N语言)
无穷小代换
导数求导法:基本函数
1对数
2 隐函数
3 复合函数
应用:证明题 (1 罗尔定理
2 拉格朗日中值定理)单调性:
凹凸性:
极限:(洛比达法则)
不定积分一类换元法
二类换元法
分部积分法
定积分变上限积分求导
二类换元法
分部积分法
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!_ 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..
总结高分经验，我认为有以下几点要引起注意：
一、一定要夯实基础
不放过书上的每一道题。书中例题自己要先试着做一下，然后再看答案。每一章看完之后再翻翻课本知识点作为总结，最后做复习书章节之后的习题。夯实基础阶段需要复习的时间很长，而且遇到的知识点你会感觉陌生，所以要细心、耐心，做到条理清晰。
二、注重习题练习。
将以大家在练题的过程中将一些定势思维或者比较典型的解题思路记录下来。但是要注意不要把具体的题目及解答过程抄下来，而是从大量类似题中抽取解题方法。在做题的过程还是要注重基础，建议再重头看一遍书，可以不用像第一遍那样具体，只看知识点就好，看第一遍做了标识的题，还是每看完一章就做一章的习题。
这时候除了书上的习题，可以增加一本课后习题，比如基础过关与提高1500，这上面的题大部分都很基础，小知识点都没有放过，有些也很要技巧，不合作也没关系，看懂答案也行。看答案时，一定要清楚答题思路，问问自己，为什么编者会这样做，笔者认为这个很重要，不是纯粹搞题海战术。这样在夯实基础和做练习题结束之后心里也就稍微安稳一些了。
三、怎样做习题
1、 先将书上的习题和例题吃透
为了不遭受太大的打击，建议大家再做套提以前还是先过一遍知识点，我当时看的还是复习指南，这时候看以前不会的题，还是很多不能一下做出来。这个时候很受打击，不过后来结果表明，只要知识点和解题方法成体系了，对于书上的哪些难题，不会做也没有太大的关系。
2、做“套题”很重要
到考研前的前一个半月时主要就是做套提了，做套题很重要。因为这个对综合题型解题思路以及考场时间把握，都能起到很好的模拟作用。在做套题期间，也许你会发现，某一种题型常常令你思路不清，那么你要停一停了，就知识点重新看这一章，需要重新理清定理与定理之间的呃关系，搞清楚本章条理和解题思路。
我个人的一点经验体会：做前几套题时的平均分也是就是90多分，分数虽然低了一些，但是心态一直很好。关于真题，我完完整整的做了一遍，但是分数还是在110至120之间，不过没超过120过，看着考研的日子一天近似一天，心里开始慌了，认认真真把知识点总结了一遍，把历年真题的讲解暗战知识点过了一遍就上考场了，结果是出奇的好。 免费考研网
一、考试重点
函数、极限与连续：分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
一元函数微分学：导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
一元函数积分学：不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
多元函数微分学：偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、方向导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
微分方程及差分方程：一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
无穷级数：级数的收敛、发散、绝对收敛和条件收敛;幂级数的收敛半径和收敛域;幂级数的和函数或数项级数的和;函数展开为幂级数(包括写出收敛域)或傅立叶级数;由傅立叶级数确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理)。
微分方程：一阶微分方程的通解或特解;可降阶方程;线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
二、解题思路
1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式。
2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下。
3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。
4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)。
一、熟悉基础知识
数学主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算，数学本来就是一门基础的学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练那你肯定是考不好的。
高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部
分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。最后就是数学的解应用题能力。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等知识。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分也就不再是难事了。
二、加强习题练习
数学复习要保证熟练度，平时应该多训练，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天联系，熟悉，技能才会更熟能生巧，更能够灵活运用，如果长时间不练习，就会对解题思路生疏，所以经常练习是很重要的，天天做、天天看，一直坚持到最后。这样，基础和思路才会久久在大脑中成型，遇到题目不会生疏，解题速度也就相应越来越熟练，越来越快。
三、明确考试重点
高数第一章的不定式的极限，我们要充分掌握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。
其次，对于导数和微分，其实重点不是给一个函数考导数，而重点是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。对于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型，总而言之看上不好处理的函数的积分常常是考试的重点。而且求积分的过程中，一定要注意积分的对称性，我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。还有中值定理这个地方一般每年都要考一个题的，多看看以往考试题型，研究一下考试规律。对于多维函数的微积分部分里，多维隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。充分把握住这些重点，同学们在以后的复习强化阶段就应该多研究历年真题，这样做也能更好地了解命题思路和难易度，从而使整个复习规划有条不紊。
扎实的基础知识复习，合理的自我规划和练习，逐步解决高数的重难知识点，同时也对出题者命题思路有了一定的了解，如此，考研学子们定能在自己的数学复习领域看到丰硕的果实，相信最美好的结果来自坚定的自我努力。 第一章 函数、极限、连续
(①10年考题总数：15题 ②总分值：69分 ③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%)
题型1 求1∞型极限(一(1)，2003)
题型2 求0/0型极限(一(1)，1998;一(1)，2006)
题型3 求∞-∞型极限(一(1)，1999)
题型4 求分段函数的极限(二(2)，1999;三，2000)
题型5 函数性质(奇偶性，周期性，单调性，有界性)的判断(二(1)，1999;二(8)，2004)
题型6 无穷小的比较或确定无穷小的阶(二(7)，2004)
题型7 数列极限的判定或求解(二(2)，2003;六(1)，1997;四，2002;三(16)，2006)
题型8 求n项和的数列极限(七，1998)
题型9 函数在某点连续性的判断(含分段函数)(二(2)，1999) 第二章 一元函数微分学
(①10年考题总数：26题 ②总分值：136分 ③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%)
题型1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题(二(7)，2006)
题型2 函数可导性及导函数的连续性的判定(五，1997;二(3)，2001;二(7)，2005)
题型3 求函数或复合函数的导数(七(1)，2002)
题型4 求反函数的导数(七(1)，2003)
题型5 求隐函数的导数 (一(2)，2002)
题型6 函数极值点、拐点的判定或求解(二(7)，2003)
题型7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定(二(1)，2001;二(3)，2002)
题型8 函数在某点可导的判断(含分段函数在分段点的可导性的判断)(二(2)，1999)
题型9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程(一(3)，1997;四，2002;一(1)，2004)
题型10 函数单调性的判断或讨论(八(1)，2003;二(8)，2004)
题型11 不等式的证明或判定(二(2)，1997;九，1998;六，1999;二(1)，2000;八(2)，2003;三(15)，2004)
题型12 在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明(九，2000;七(1)，2001;三(18)，2005)
题型13 方程根的判定或唯一性证明(三(18)，2004)
题型14 曲线的渐近线的求解或判定(一(1)，2005)
第三章 一元函数积分学
(①10年考题总数：12题 ②总分值：67分 ③占第一部分题量之比重：10%④占第一部分分值之比重：8%)
题型1 求不定积分或原函数(三，2001;一(2)，2004)
题型2 函数与其原函数性质的比较(二(8)，2005)
题型3 求函数的定积分(二(3)，1997;一(1)，2000;三(17)，2005)
题型4 求变上限积分的导数(一(2)，1999;二(10)，2004)
题型5 求广义积分(一(1)，2002)
题型6 定积分的应用(曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等)(七，1999;三，2003;六，2003)
第四章 向量代数和空间解析几何
(①10年考题总数：3题 ②总分值：15分 ③占第一部分题量之比重：2%④占第一部分分值之比重：1%)
题型1 求直线方程或直线方程中的参数(四(1)，1997)
题型2 求点到平面的距离(一(4)，2006)
题型3 求直线在平面上的投影直线方程(三，1998)
题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程(三，1998) 第五章 多元函数微分学
(①10年考题总数：19题 ②总分值：98分 ③占第一部分题量之比重：16%④占第一部分分值之比重：12%)
题型1 多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解(二(1)，1997;一(2)，1998;四，2000;四，2001;二(9)，2005;三(18(Ⅰ))，2006)
题型2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定(三，1999;三(19)，2004;二(10)，2005)
题型3 多元函数连续、可导与可微的关系(二(2)，2001;二(1)，2002)
题型4 求曲面的切平面或法线方程(一(2)，2000;一(2)，2003)
题型5 多元函数极值的判定或求解(八(2)，2002;二(3)，2003;三(19)，2004;二(10)，2006)
题型6 求函数的方向导数或梯度或相关问题(八(1)，2002;一(3)，2005)
题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式(四，1998) 第六章 多元函数积分学
(①10年考题总数：27题 ②总分值：170分 ③占第一部分题量之比重：23%④占第一部分分值之比重：22%)
题型1 求二重积分(五，2002;三(15)，2005;三(15)，2006)
题型2 交换二重积分的积分次序(一(3)，2001;二(10)，2004;二(8)，2006)
题型3 求三重积分(三(1)，1997)
题型4 求对弧长的曲线积分(一(3)，1998)
题型5 求对坐标的曲线积分(三(2)，1997;六，1998;四，1999;五，2000;六，2001;六(2)，2002;一(3)，2004;三(19)，2006)
题型6 求对面积的曲面积分(八，1999)
题型7 求对坐标的曲面积分(三(17)，2004;一(4)，2005;一(3)，2006)
题型8 曲面积分的比较(二(2)，2000)
题型9 与曲线积分相关的判定或证明(六(1)，2002;五，2003;三(19(Ⅰ))，2005)
题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式(六，2000;三(19(Ⅱ))，2005
题型11 求函数的梯度、散度或旋度(一(2)，2001)
题型12 重积分的物理应用题(转动惯量，重心等)(八，2000) 第七章 无穷级数
(①10年考题总数：20题 ②总分值：129分 ③占第一部分题量之比重：17%④占第一部分分值之比重：16%)
题型1 无穷级数敛散性的判定(六，1997;八，1998;九(2)，1999;二(3)，2000;二(2)，2002;二(9)，2004;三(18)，2004;二(9)，2006)
题型2 求无穷级数的和(九(1)，1999;五，2001;七(2)，2002;四，2003;三(16)，2005)
题型3 求函数的幂级数展开或收敛域或判断其在端点的敛散性(一(2)，1997;七，2000;五，2001;四，2003;三(16)，2005;三(17)，2006)
题型4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值(二(3)，1999;一(3);2003) 第八章 常微分方程
(①10年考题总数：15题 ②总分值：80分 ③占第一部分题量之比重：1%④占第一部分分值之比重：10%)
题型1 求一阶线性微分方程的通解或特解(六，2000;一(2)，2005;一(2)，2006;三(18(Ⅱ))，2006)
题型2 二阶可降阶微分方程的求解(一(3)，2000;一(3)，2002)
题型3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解(一(3)，1999)
题型4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程(一(1)，2001)
题型5 求欧拉方程的通解或特解(一(4)，2004)
题型6 常微分方程的物理应用(三(3)，1997;五，1998;八，2001;三(16)，2004)
题型7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程(四(2)，1997;五，1999)
考研数学讲座(17)论证不能凭感觉
一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。
1. x趋于∞时，求极限 lim xsin(2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?
分析 只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。
x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小， sinα(x) ～ α(x)且 sinα 处于“因式”地位。可以换。
等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2
2.设f(x)可导，若f(x)是奇(偶)函数(周期函数，单调函数，有界函数)，它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性(周期性，单调性，有界性) ?
分析 有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(-x)= -f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x) 等式两端分别求导，得 fˊ(-x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x) (实际上，由复合函数求导法则， (f(-x))ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x))
所以，奇函数的导数是偶函数;偶函数的导数是奇函数。(如果高阶可导，还可以逐阶说下去。)周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。
(潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。)
单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。
如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在(0，π/2)单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。
有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。
取 y =√(1-x的平方)，它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。 这个反例说明有界函数的导数不一定有界。
(画外音：写出来很吓人啊。 x → 1 时 ，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= -∞ )
3. 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗?
分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f(g(x))的定义域，是f(x)的定义域与g(x)值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：
取分段函数 g(x)为，x > 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = -1，0是其间断点。 取 f(u)=√u ，则 f(g(x))= 1 在 x > 0 时有定义且连续。 还有一些原因让“病态点”消失。
如果只图简单，你可以取 f(u)为常函数。以不变应万变。
取 f(u)= u的平方 ，则 f(g(x))= 1 ，显然是个连续函数。
4.设 f (x)可导，若x趋于 +∞ 时 ，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想，就知为否。 例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞ 时 ，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。 5.设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞ 分析 用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限(见指导(3)。)： 因为 lim fˊ(x) = +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x > x0 时，总有 fˊ(x)>1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式
f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ< x (潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗?) 进而就有, x >x0 时, f (x) >f (x0) + 1(x-x0) (画外音：这一步是高级动作。) 因为 f (x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞ 6 。 设 f (x)可导，若 x 趋于 -∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。 请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是
若 x 趋于 -∞ 时，lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞
7.设 f (x)可导，若x 趋于+∞时，lim f (x) = c(常数，)是否必有lim f ˊ(x) = 0 分析 否。lim fˊ(x) 有可能不存在。
这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”
想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。
由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如， 曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。 对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在，则必有 lim fˊ(x) = 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A >0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x>x0 时，总有 fˊ(x)>A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有
f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞ 矛盾。
8.函数在一点可导，且导数大于0 ，能说函数在这一点单增吗?
分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim ( f (x)-f(x0))/ (x-x0)> 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x) > f(x0) 。但是，我们不知道函数值相互间的大小。
*9 设f (x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ，则(a，b)内必有点c ，fˊ(c) = 0
分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。
在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a) > 0 而 fˊ(b) < 0 分别在a ， b两点处写出导数定义式，体念极限符号，(本篇问题8。)可以综合得到结论：
函数的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。 最大值只能在(a，b)内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。 考研数学讲座(18)泰勒公式级数连
中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。
中值定理的公式(可微分条件，有限增量公式，泰勒公式)都是描述型的数学公式。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。
在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。 1.“微分是个新起点” —— 若函数 f(x)在点x0可微，
Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ;其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的(微局部的)表达式：
f(x)= f (x0) + f ′(x0)(x-x0) + ο(Δx) ( ο(Δx) 尾项，比Δx高阶的无穷小)
(潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。)
历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
2. 拉格郎日公式 —— 若 函数f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，在(a，b)内可导，则(a，b)内至少有一点ξ，使得 f (b)-f (a) = f ′(ξ)(b-a)
定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个(子)区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，(任给一点，相对不变。)也可以有 f (x)-f (x0) = f ′(ξ)(x-x0)，ξ 在 x 与 x0之间，
(潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”， ξ=ξ(x) ) 即 f(x)= f(x0)+ f ′(ξ)(x-x0) ，ξ 在 x 与 x0之间， 3. 泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数
f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2)(x-x0)² ，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x-x0) ，0<θ<1 一般情况下，我们无法知道
ξ=ξ(x)的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。
如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项(皮阿诺余项)
f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(x0) /2)(x-x0)²+ ο(|Δx| ²) 泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f(x)n+1 阶可导，则有泰勒系数 f(x0) ，f ′(x0) ， f ″(x0) / 2! ，f ′ ″(x0) / 3! ，„„
可以写出， f(x)= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项
4. 泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f(x)无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数
f(x)= f(0)+ f ′(0) x +(f ″(0) /2)x²+(f ′ ″(0 ) / 3!)x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f(x)呢?不一定!
(画外音：太诡异了，f(x)产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数 ，它的和函数却不一定是 f(x)。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。)
关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0 ，f(x)一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f(x)的泰勒展开式。 验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。
美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。
exp(x)= 1 + x + x²/2!+ x³/3!+ „„ -∞
(逐项求导， cos x = 1- x²/2!+ „„
-∞
泰勒公式基本应用(1)—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。 关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有 ，x → 0 时， exp(x)- 1 ~ x ， exp(x)-1-x ~ x² / 2
sin x ~ x ， sin x - x ~ - x³ / 3! ， cos x -1 ~ - x²/2 ln(1+x)~ x ， ln (1+x)-x ~ -x²/2 (1+x)的μ次方- 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3) -A-B(x -1)-(x -1) ² )/(x -1) ² = 0 ，试确定常数，A，B，C 分析
已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。
题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有
常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。
于是 A = y(1) = 2 ，B = y ′(1) = 3/4 ， C = y″(1) / 2 = 39/64 (画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。 如果只有两个参数，可看讲座(9)。)
泰勒公式基本应用(2)—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限
例88 若 x→ 0 时 ，极限 lim ( sin6 x+ f(x))/ x³ = 0 ，则
x→ 0 时，极限 l im ( 6 + f(x))/ x² = ? 分析
分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x ， (潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。)
这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”， sin 6x = 6 x - ( 6x)³/3!+ ο(|Δx| ³) 代入已知极限，移项得 lim ( 6 + f(x))/ x² = 36
例89 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f (0)≠0 ，f ′(0)≠0, 记 F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ
f (3h) 一 f (0)，
试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3 ，使 h → 0 时，F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。
3 分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f(x)= f(0)+ f ′(0)x + (f ″(0) /2)x²+ ο(|x| ²)
这是函数 f(x)的一个新的(微局部的)表达式，当然可以表示 f (h) ， f (2h)， f (3h) f (h) = f(0)+ f ′(0) h + (f ″(0) /2)h ²+ ο(| h | ²)
f (2h) = f(0)+ f ′(0)2 h + (f ″(0) /2)(2h)²+ ο(| h | ²) f (3h) = f(0)+ f ′(0)3 h + (f ″(0) /2)(3h)²+ ο(| h | ²) (潜台词：常数因子不影响尾项。) 将各式代入F(h),整理得
F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f(0)+ ( λ1+2λ2 + 3λ3) f ′(0) h + ( λ1+ 4λ2 + 9λ3) f ″(0) h ²/2 + ο(| h | ²)
要让 h → 0 时，F(h) 是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0 ，这就得到未知量
λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0 ，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用(3)——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式
如果函数 f (x) 二阶可导且二阶导数定号，(称为凸函数)，则应用泰勒公式可以得到不等式
f (x)≥ f(x0)+ f ′(x0)(x-x0) (或≤)
实际上 f(x)= f(x0 )+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x-x0)² ，ξ 在 x 与 x0之间
设 f ″(x)> 0 ，自然有(f ″(ξ) /2 ) (x-x0)² > 0 ，舍掉此项就得到不等式。
*例91 函数 f (x) 在 [-1，1] 上有连续的三阶导数，且 f (-1) = 0 ，f (1) =1，f ′(0) = 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ ，使得 f ″′(ξ) = 3 分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式
f(x)= f(0)+(f ″(0) /2)x²+(f ′ ″(η ) / 3!)x³ , η在0与x之间 既然这是 f (x) 的又一个表达式，当然可以代入x = -1 , 1 ，它们分别相应有 ξ 1，ξ 2 0 = f(-1)= f(0)+(f ″(0) /2)(-1)²+(f ′ ″(ξ 1 ) / 3!)(-1)³ , -1<ξ 1<0 1 = f(1)= f(0)+(f ″(0) /2)1² +(f ′ ″(ξ 2) / 3!)1³ , 0 <ξ 2 < 1 到了这一步，仔细观察发现，两式相减，能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。 f ′″(ξ 2) + f ′″(ξ 1 ) = 6 或着两个三阶导数值都等于3 ，本题得证。或者它们一大于3 ，一小于3 ，而函数 f ″′(x) 连续，可以应用介值定理完成本题证明。
综合理解是在基础知识点基础上进行的,加强综合解题能力的训练,熟悉常见的考题的类型，下面是小编为你带来的考研高数知识点总结，希望对你有所帮助。
高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学
一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法
由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。
凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。
1.制定详细周密的学习计划。
这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。
方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们
贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。
方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。
方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。
2.分配好各门课程的复习时间。
一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。 方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。比如：把英语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英语试题;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。
方法二：按学习进度分配。考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。
方法三：交叉分配。在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。
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