拿破仑三角形证明

第1篇：拿破仑三角形证明

外拿破仑三角形的证明

设△ABC，它向外作的正三角形中心分别为D、E、F

设BC=根号3a,AC=根号3b,AB=根号3c

则AD=BD=c,AE=CE=b,BF=CF=a

易证∠DAE=60+∠BAC

cos∠DAE=cos(60+∠BAC)=cos60*cos∠BAC-sin60*sin∠BAC

cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc,sin∠BAC=根号3a/2R(R为△ABC外接圆的半径) cos∠DAE=(b^2+c^2-a^2)/4bc-3a/4R

由余弦定理得

DE^2=AD^2+AE^2-2cos∠DAE*AD*AE

=b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)/2+3abc/2R

=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

同理可得DF^2=EF^2=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

…………

第2篇：三角形的证明

全等三角形的证法

1：(SSS或“边边边”) 证明三条边相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若三条边相等，则这两个三角形全等。

几何语言：在三角形中因为ab=AB, ac=AC, bc=BC所以三角形abc全等于三角形ABC

2. (SAS或“边角边”)证明有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若有两条边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

几何语言：在三角形中因为ab=AB，bc=BC, ∠b=∠B，则三角形abc全等于三角形ABC

3. (ASA或“角边角”)证明有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠B,ab=AB, 则三角形abc全等于三角形ABC

4. (AAS或“角角边”)证明有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等

几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠Bac=AC则三角形abc全等于三角形ABC

5. (HL或“斜边，直角边”)证明斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等在两个直角三角形中，若斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等

几何语言：在三角形中因为ab=AB 直角c=直角C 则三角形abc全等于三角形ABC

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形.

提醒：在证明的图中可能出现，两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角相等

两直线平行，对顶角相等

通常在混合题，混合图，等等

第3篇：全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗?说明理由。

2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗?说明理由。

3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗?说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗?

A B

第4篇：全等三角形——基础证明

1. 把下列命题改写成“如果„„”“那么„„”的形式，指出它的题设和结论,并写出他们的逆命题.(1)同位角相等，两直线平行;

解：如果_______________________，那么_____________________;

题设为:________________________,结论为:________________________;

逆命题为:____________________________________________

(2)两直线平行，同旁内角互补;(3)对顶角相等;(4)全等三角形的对应边相等;(5)平行四边形对应角相等;

2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________

,________;

3.全等三角形用符号______来表示;其对应边_______对应角_________;

4.如图,在△

ABC中,ABAC,AD平分BAC,求证: △ABD△ABD

(第4题图)(第5题图)(第6题图)

5.如图,已知ABCD,ACBCBD,判断图中的两个三角形是否全等,并说明理由;

6.如图, △ABC是等腰三角形,

△

AD,BE分别是BAC,ABD和△BAE全等吗?请说明你的理由.7. 如图在ABCD中，求证ABDCDB

(第7题图)(第8题图)

8.如图,DEAB,DFAC,AEAF,你能找到一对全等的三角形吗?并证明你的结论.

(第9题图)(第10题图)

9.已知

AB与CD相交于O，AD,COBO。求证：AODO

10.如图,在ABC中,BD证:BE

CD,BEAB,DFAC,E,F为垂足,DEDF,求

CF

11.如图,在直线l上找出一个点P,使得点P到AOB的两边

第12题图)(第13题图)

12.如图,已知AE

CE,BDAC,求证:ABCDADBC

13.如图, 在△ABC中,ABC,ACB的平分线交于D,EF经过D,且EF∥BC,求证:EF

BECF

14.如图,E是AOB平分线上一点,EC证:EDCAO,EDBO,垂足分别为C,D,求

ECD

ABD(第14题图)(第15题图)

15.如图,AB∥DE,AC∥DF,BC∥EF。求证:ABCDEF

(第16题图)(第17题图)16.如图,

AEDB,BCEF,BC∥EF。求证:ABCDEF ABDF,ACDE,BECF,求证 17.已知.18.如图,ACBD,BCAD 。求证:ABCA

第19题图)

19. 如图12,BD。求证:ABC20. 如图AB,CE ∥DA,CE交ADC

AB于E。求证:D

(第20题图)(第21题图)

21. 如图,在△ABC中,AB求证:DE

AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,E,F是垂足,

DF

22.如图,BDACEA,AEAD。求证:ABAC

(第23题图)(第24题图) 23.如图,C

D,CEDE。求证:BADABC

全等三角形证明题

1、如图1：AB=BC，AD=DC。求证：∠A=∠C。

2、如图2：已知AD=BC，AC=BD。求证：∠A=∠B。

图

2图

3、如图3：D是CE的中点，AC=BD，AD=BE。求证：△ACD≌△BDE。

4、如图4：D是BC的中点，AB=AC。求证：∠BAD=∠CAD。

BDC

图

45、如图5：AE=DF，EC=FB，AB=CD。求证：△AEC≌△DFB。

6、如图6：AD垂直平分BC。求证：AB=AC。

7、如图7：AD=CB，∠1=∠2。求证：△ADC≌△CBA。

图

图6

图7

BCD

图8

8、如图8：A、B、C、D在一条直线上，AE∥BF且AE=BF，AB=CD。求证：△AEC≌△BFD。

9、如图9：A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，DE∥AF且DE=AF。求证：BE=CF。

10、如图10：A、B、C、D在一条直线上，AF∥CE且AF=CE，AC=BD。求证：BF=DE。

图10

图1

111、如图11：∠ACD=∠BDC，AC=BD。求证：∠A=∠B。

12、如图12：AB与CD交与点O，AD∥BC且AD=BC。求证：OA=OB，OC=OD。

BCD

图1

3图1

413、如图13：A、B、C、D在一条直线上，AF∥BE，CF∥DE，AB=CD。求证：AF=BE。

14、如图14：∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE。求证：CE=DE。

15、如图15：C、D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，BE⊥CF，AD∥BF且AD=BF。求证：AC=BE。

CDEF

图16

16、如图16：A、B、C、D在一条直线上，FB⊥AD，EC⊥AD，AF∥DE且AF=DE。求证：AB=CD。

17、如图17：AC与DE交与点B，B是DE的中点，AE⊥AC，DC⊥AC。求证：B也是AC的中点。

18、如图18：A、B、C、D在一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，BE=CF，AC=BD。求证△ABE≌△DCF。

图19

图20

19、如图19：A、B、C、D在一条直线上，FB⊥AD，EC⊥AD，AE=DF，AB=DC。求证：FB=EC。

20、如图20：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA。求证：AE=CE。

第5篇：全等三角形的证明

1.翻折

如图(1)，BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的;

旋转

如图(2)，COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的;

平移

如图(3)，DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到

的。

2. 判定三角形全等的方法：

(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边(直角三角形中)公理

(2) 推论：角角边定理

3. 注意问题：

(1)在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等;

(2)不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA;b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

(1) 证明线段(或角)相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

(2)证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

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(3)证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC+CD.

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。

例6. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

A B

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第6篇：全等三角形证明题1

证明三角形全等专项练习试题

1.在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是( )。

(A)两个角分别对应相等，一边对应相等 (B)两条边对应相等，且第三边上的高也相等 (C)两条边对应相等，且其中一边的对角也相等 (D)一边对应相等，且这边上的高也相等

2如图10，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法： ①△EBD是等腰三角形，EB=ED ②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④△EBA和△EDC一定是全等三角形,其中正确的有()

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 C

3.下列两个三角形中，一定全等的是()。 AD(A) 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形;

图10

(B) 两个等边三角形;

A B(C)有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形;

(D)有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形。

4. △ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图8

有()

A.5对B.6对C.7对D.8对

5. 等腰三角形的周长是10，腰长是x，则x的取值范围________。

6.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，

AD与BE相交于点F.(1)求证：ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.

D 图8

7.如图，在△ABE中，AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED;(2) OB=OE .E

8.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M.

(1)求证：△ABC≌△DCB ;

(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段

BN与CN的数量关系，并证明你的结论.

9.在⊿ABC中，∠B=60。，∠BAC和∠BCA的平分线AD和CF交于I点。试猜想：AF、CD、AC三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。

10. 在ABC中，AB=AC，DE∥BC.(1)试问ADE是否是等腰三角形，说明理由.

(2)若M为DE上的点，且BM平分ABC，CM平分ACB，若ADE的周长20，

BC=8.求ABC的周长.

11. 如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF. 求证:

(1) AE=BF;(2) AE⊥

BF.12. 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平

行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。

(1)求证：BG=CF;

(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。

13.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.

G D

14. 如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险?请说明理由。

北

15.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的

一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1)图(2)图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 直接写结论,可不说明理由。