为了有效地完成教学任务,教案是必不可少的重要部分,它包含了教师课堂教学的内容,教师要做好准备按照教案进行有序、有质量的教学,这样可以提高学习效率并达到预期的教学目标。下面是小编为大家整理的《免费下载圆复习课教案》，仅供参考，大家一起来看看吧。
课题：与圆有关的位置关系复习课教案
教学目标：
1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。
2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。
3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。
重点和难点：
1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。
2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。
教学过程：
一、导入：
1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。
2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。
二、讲解：
1、回忆、巩固以前学习的知识。
(以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。)
2、例题解析：
例题一： 已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.
解析：点P可能的位置有几种?作出正确的图形，通过图形解决这个问题。(限时4分钟，解决这个问题。完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。)
例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为(-3，-4)，则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
解析：通过直径，求出半径;作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。(限时3分钟)
演示解题过程，引导同学们纠正失误。
例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少?
解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。利用相交时数量关系解决问题即可。(限时4分钟)
教师作及时的讲解和订正。
3、巩固练习。(5-8分钟)
课堂总结：
1.知识总结。
2.思想方法总结。
3.反思站一节课自己的感受和体会。
达标测试：
1.基础测试，快速问答。
2.能力测试：教师给予适当的点拨，引导学生们深入思考，提高学习数学的兴趣。
艺术欣赏：
出示与圆有关的一些图片，感受圆所构成图形的艺术性，培养他们学习数学的兴趣。 然后布置作业，下课。
点、直线、圆和圆的位置关系复习课教案
湖北省巴东县民族实验中学 李萍
-、学习内容
有关点、直线、圆和圆的位置关系的复习。
二、学习目标
1、了解点和圆、直线和圆、圆和圆的几种位置关系 。
2、进一步理解各种位置关系中，d与R、r数量关系。
3、训练探究能力、识图能力、推理判断能力。
4、丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维，并能解决简单问题。
三、学习重点
切线的判定，两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R、r和的数量关系的联系。
四、学习难点
各知识点之间的联系及灵活应用。
五、学习活动概要
问题情景引入――基础知识重温――综合知识应用
六、学习过程
(一)、图片引入，生活中的圆。
(二)、点与圆的位置关系
1、问题引入：点和圆的位置关系有哪几种?怎样判定。
复习点和圆的位置关系，点到圆心的距离d与半径r的数量关系与三种位置关系的联系。
2、练习反馈
如图，已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米。
(1) 以点A为圆心、4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何?
(2) 若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么?
(三)、直线和圆的位置关系
1、知识回顾：直线和圆的三种位置关系及交点，三种位置关系与圆心到直线的距离d与半径r的数量关系间的联系。
2、分组活动：全班分为三组，各代表相交、相切、相离。当出示的问题是圆与直线的位置关系是哪组代表的，那组的同学起立，看那组同学反应最快。
已知⊙O的半径是5，根据下列条件，判断⊙O与直线L的位置关系。 (1)圆心O到直线L的距离是4 (2)圆心O到直线L的垂线段的长度是5 (3)圆心O到直线L 的距离是6 (4)圆心O到直线L上的一点A的距离是4 (5)(圆心O到直线L上的一点B的距离是5 (6)圆心O到直线L上的一点C的距离是6
3、要点知识重温：圆的切线
出示图形，同学们重温切线的有关性质及判定。
4、知识应用
1)、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B,OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线。
2)、在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是圆的线。 (四)圆与圆的位置关系
1、生活中处处有数学。列举反应圆和圆的位置关系的实例，以投篮为例。
2、知识回顾：
1)圆和圆的五种位置关系
2)两圆外切、内切时，圆心距d与半径R、r的位置关系。
3、抢答
1)两圆圆心距为4㎝，两圆半径分别是1㎝、3㎝，则两圆位置关系是---- 2)两圆外切，半径分别是1㎝、3㎝，则圆心距为――
3)两圆半径分别是1㎝、3㎝，圆心距是2㎝，则两圆位置关系是――
4)两圆相切，半径分别是3㎝、1㎝，则圆心距是――
5)两圆内切，圆心距为4㎝，一圆半径是5㎝，则另一圆的半径是――
4、活动与探究
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O
1、⊙O2的半径都是R，求⊙O3的半径。
关 于 复 习 教 学 的 认 识 及 作 法
湖北省巴东县民族实验中学
李萍
新课改中考要求：知识考查“基础化”，题材选择“生活化”，能力要求“综合化”。中考命题范围是以《课标》要求确定的。我们对课标中的“探索并掌握”、“能”、“会”、“灵活运用”等要求的内容，要进行较为扎实的复习、抓落实，并围绕课本的相关内容进行适当的变式。现在我就一节复习课谈一点认识及作法。
一、 问题情景引入
在复习课引入复习内容时，注重从学生的实际生活材料入手，要求学生列举生活的实例，力图为学生创设一个贴近生活实际的“生活化”问题情景。《新课标》指出：“数学教学要紧密联系学生得生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动„„”当数学和学生的现实生活密切结合时，数学才是活的，富有生命力的。
二、 基础知识重温
在第一轮复习中，注重对基础知识的复习巩固，全面复习基础知识，加强技术技能训练，做到全面、扎实、系统、形成知识网络。复习时要注意引导学生根据个人具体情况把遗忘的知识重温一遍，加深记忆，还要引导学生弄清概念的内涵和外延。但对于学生掌握较好的基础知识，可以让其中的某位同学带领大家一起回忆复习，对课本中的概念、性质等进行再理解、再识别、再重现。在复习过程中，适当地加入活动，调节课堂气氛，在宽松的环境下对知识要点进行理解。
三、 综合知识应用
在中考数学中会出现一两道难度较大、综合性较强的数学问题，解决这类问题所用到的知识都是同学们学过的基础知识，并不依赖于那些特别的，没有普遍性的解题技巧。所以要引导学生进行“思”和想，让学生学会思考。会思考是要学生自己“悟”出来，自己“学”出来的，教师能教的，是思考问题的方法和带有普遍性的解题技巧。然后让学生用学到的方法和策略，在解决具有新情境问题的过程中，感悟出如何进行正确的思考。复习课中，在基础知识得以理解的技术上，要有相应的巩固练习，活动探究。如复习直线与圆的位置关系相切后，安排两个证明直线是圆的切线的练习，让学生进一步掌握如何证明直线是圆的切线基本的思路与方法，以便能正确的思考、解决。如果在练习巩固的过程中，大多数学生遇到困难，不能正确解答时，可以让学生展开讨论，相互学习，取长补短，共同探究，共同提高。
总之，要切实提高复习实效，要因地制宜地拟定好复习计划，充分发挥备课组的集体智慧，群策群力，
认真探究有效的复习方法，及时反馈学生的掌握情况信息，做到对症下药，因人而异。让教师的教学内容得到全面的落实，学生的综合素质得到最大程度的提高。
圆的基本性质复习课
教学目标：
1、在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性;
2、在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论;
3、通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。
4、通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。 教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用
一、引入：
师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢?让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗?
生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。
师：非常好，两条折痕其实是圆的什么?对折后能完全重合，说明圆具有什么性质? 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。
师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗?为什么? 生：因为它们所对的圆心角相等。
师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。
二、圆的基本性质复习：
例
1、 (1)如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢?下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 (学生分组交流，一会后学生汇报成果。)
,ACOCOD组一：连接OC，AC//OD
ABOD
OAOCAACOCODDOB
CDBD
师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗?
AC//OD，组二：连接AD，OA=OD
CADODAOAD
弧CD=弧BD
CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等(或圆心角相等)，从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 (边总结，边在黑板上抽离基本图形)
去证
师：还有其他方法吗?
组三：连接BC，AB是直径
ACB90
0AC//OD
BCOD
由垂径定理可以得到弧CD=弧BD
CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。(同时在黑板上画出这个基本图形)
垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性。
而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角;而90的圆周角所对的弦是直径。(同时在黑板上抽离这个基本图形。)连直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。在圆中构造直角，还常作弦心距，弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用得较多。 师：还有其他方法吗?
组四：延长DO交⊙O于点E，连接AE。
AC//OD
弧AE=弧CD
AE=CD
AOEBOD
AEBD
CD=BD 师：这也是圆中的一种基本图形，由弦平行，可以得到所夹弧相等。这个结论我们书上证明过，可以证一对内错角又是圆周角相等得到。
若不添加任何辅助线，你能证明出来吗?(提示：已知的相等两角A、BOD的度数分别与弧的度数有什么关系?)
m1组五：A弧BC
BOD弧BD
21弧BC=弧BD=弧CD
CD=BD 2m0师：圆周角度数等于所对弧度数的一半，圆心角度数等于所对弧的度数。
同学们真是太了不起了，一道题目想出这么多种证法，同学们的思路很开阔。在圆中还有一对基本量，我们刚才提到过，是什么?——弦心距。弦心距于圆心角、弧、弦之间也有一定的联系。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，其余各对量都相等。(同时抽离出基本图形)而圆周角又与圆心角、弧之间有这样的关系，这使得弦心距与圆周角之间也有一定联系。这五种量的关系体现了圆的旋转不变性。圆的轴对称性和旋转不变性构成了圆的基本性质。这四个基本图形集中体现了圆的基本性质。同学们在平时的学习中要注意积累一些基本图形，它有时是解
题的关键。
(这个例题分析完后，黑板上出现这些量之间的关系图。)
(2)：延长AC、BD交于点E，连接BC，正确的是______________。
①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC ④
⑤△
ECD
∽△EBA
(3)过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四边形DGCF为什么四边形?为什么?
(4)移动点D位置，使点D在弧AB中点处，令点C在弧AD之间，过D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足为E、F，则四边形DGCF是什么四边形?为什么?
师：首先这个四边形已经是一个什么四边形?——矩形。
那再证一个什么条件，矩形就能成为正方形了?
由弧AD=弧BD，你能得到哪些结论?由弧你想到了什么?
请判断：下面结论中生1：连接OD，D是弧AB中点
BOD90
BCD01BOD450
DF=CF
2 矩形CFDG是正方形 生2：连接AD,BD
弧AD=弧BD
AD=BD
GADFBD,AGDDFB90
DAGDBF
DGDF
矩形CFDG是正方形
师：在圆中，我们不要忽视弧的作用，它是弦与角转化的桥梁。
三、小结：
师：通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢?你还有什么收获?
通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证明角、线段、弧相等的基本依据和方法。
四、圆的基本性质的妙用：
师：复习了圆的基本性质后，老师出了道思考题：
例：圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2，如图：AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八边形的面积。 师：九(3)班有几位爱探究的同学课后在一起讨论解决此题。
小慧觉得很困惑：“这个八边形又不是特殊的八边形，这能求出
0
它的面积吗?怎么求哦?“
同学们是否也有这样的困惑呢? 小聪有想法了：“但八边形是放在圆中，我们能不能利用圆的性质，把八边形的八条边重新排列一下，让它变成比较特殊的八边形呢?”
小聪的想法可行吗?对同学们可有帮助?你们有思路了吗? 生：把长边和短边间隔排列。
师：这样排列后，形状改变了，难道面积不变吗?为什么? 生：利用圆的旋转不变性。
师：现在如何来求这个八边形的面积呢?
生：向外补成一个正方形，因为这个八边形的一个内角是1450。 师：多边形的问题就可以转化为四边形和三角形的问题来解决。
这道题的解决完美体现了圆的旋转不变性的妙用。
圆的有关性质
本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
.
重点、热点
垂径定理及推论;圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题. 【典型例析】
例1.(1)如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD
的弦心距，若OE=OF，则 (只需写出一个正确的结论).
(2)如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= . [特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题. [解答](1)AB=CD或 AB=CD或AD=BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. (2)由三角形的中位线定理知OD=
1BC 2[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用. 例2.(1)下列命题中真命题是( ). A. 平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等
(2)如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ). A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm (3)已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100，则圆周角∠BAC的度数是( ). A. 50 B.100 C.130 D.200 [特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价. [解答] (1) D (考查对基本性质的理解). (2) D (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=
1CD=4，由勾股定理得OM=3，2而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍) (3) A (由圆周角定理可得) [拓展] 第(2)题中，涉及圆的弦一般作弦心距. 例3.圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 . [特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. [解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180， ∴x+3x=180， ∴ x=45. ∴∠A=45， ∠ B=90， ∠C=135， ∠ D=90. ∴ 最大角为135. [拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.
例4.已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E. (1) 求证：BE•BF=BD•BC (2) 试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.
[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力. [解答] (1)连结FC，则BF⊥FC. 在△BDF和△BCF中，
∵∠BFC=∠EDB=90 ， ∠ FBC=∠EBD， ∴△BDE∽△BFC， ∴ BE∶BC=BD∶BF. 即 BF•BE=BD•BC. (2) AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90. ∵AFAB, ∴∠1=∠2. 又∵∠2+∠ABC=90， ∠3+∠ABD=90，
∴∠2=∠3， ∠1=∠3， ∴ AE=BE. 在Rt△EBD中， BE>BD， ∴AE>BD. [拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系?
例5.如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G. (1)求⊙O的半径R;
(2)设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式(只需写出一个)，并证明你的结论.
[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力. [解答] (1)连结OE，则OE⊥AD. ∵四边形是矩形， ∴∠D=90, OE∥CD, ∴AC=AD2DC2=8262=10. ∵△AOE∽△ACD， ∴ OE∶CD=AO∶AC， ∴ R∶6=(10-R) ∶10， 解之得： R=
15. 4(2)∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC， ∵∠EGC=90+β，
∴α =90+β 或 ∵ β<90， α =∠EGC>90， ∴ β < 90< α. [拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.
精品讲义
贡献人：蜀道鹏
圆综合复习
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R，OP=d，则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
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4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d
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9.圆和圆的位置关系： 设(1)外离(2)含(3)外切(4)d
的每个点都在
内部的半径为R、r(R>r)，圆心距
.
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r. 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点，除这个点外，内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为
.
，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为
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，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
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【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
例2 下列命题正确的是( ) A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦.
例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D.
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm.
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例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距.
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1. 已知P为⊙O内一点，
，⊙O半径为
，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为 。 2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2. 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
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四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆. 【中考热点】
近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点.
例1 (·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5 例2 (北京市)如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于( )
A.35° B.90° C.110° D.120°
例3 (北京市)如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A. B.
C.
D.
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例4 (河南省A卷)如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，
(1)求EM的长.
(2)求sin∠EOB的值.
例5(山西省)如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD; (2)若，求∠A的度数.
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.
第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
(一)圆的有关概念
1、圆(两种定义)、圆心、半径;
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小; ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径;
4、圆弧(弧)、半圆、优弧、劣弧;
5、等圆、等弧，同心圆;
6、圆心角、圆周角;
7、圆内接多边形、多边形的外接圆;
8、割线、切线、切点、切线长;
9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
(二)圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心;Ⅱ、垂直于弦;Ⅲ、平分弦;Ⅳ、平分弦所对的劣弧;Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。(注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况)
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
(三)与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内d
点P在圆上d=r;
点P在圆外d>r.
2、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则： 直线l与⊙O相交 dr 直线和圆没有公共点。
3、圆与圆的位置关系
①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含; 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切; 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。
②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则： 两圆外离 d>r2+r1; 两圆外切 d=r2+r1; 两圆相交
r2-r1
(四)圆的切线
1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、性质：
①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、判定：
①利用切线的定义。
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。
(五)圆与三角形
1、三角形的外接圆
(1)定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
(2)三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点;②到三角形各顶点距离相等;③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
(1)定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
(2)三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点;②到三角形各边的距离相等;③都在三角形内。
(六)圆与四边形
1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。
*
2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。
(七)圆与正多边形
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形与圆的关系
把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。
3、正多边形的有关计算(11个量)
边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn
(Sn=1/2lnrn)
4、正多边形的画法
画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆;然后用量角器或用尺规等分圆;最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正
四、八边形与正
六、
三、十二边形。注意减少累积误差。
(八)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
l弧长nR180 nR21lRS扇形==
(其中l为弧长) 2360S圆锥侧=rl (其中l为母线长)
(九)直角三角形的一个判定
如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
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