抛物线和圆

第1篇：抛物线和圆

抛物线的定义

温宿二中

王蕊

一、教学目标

1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程; 2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程;

3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用;

4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点: 1.掌握抛物线的定义与相关概念; 2.掌握抛物线的标准方程;

教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.

四、教学问题诊断

本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是：

1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线. 2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫. 3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点不在直线上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性. 另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：

1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳. 2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程. 3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.

五、教学过程 教学过程 设计说明

一、课堂导入

1.生活中的抛物线：

(1)投篮时篮球的运行轨迹是抛物线;

2)南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线; (3)卫星天线是根据抛物线的原理制造的. 2.数学中的抛物线：

一元二次函数的图像是一条抛物线. 提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线? 通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性. 通过问题引入引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望.

二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 (1)介绍作图规则. (2)动画展示作图过程. 提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么? (3)分析作图过程

提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动?哪些动了? 提出问题：在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变?哪些量变了? (4)结论

点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离. 2.抛物线的定义

问题1：你能给抛物线下个定义吗? 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线(不过)的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2：为什么定点不能在定直线上?若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线. 3.抛物线的相关概念：

定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线. 设，焦点到准线的距离. 抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点

抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生很难完成.因此我运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程. 通过两个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础. 加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解. 这是教材的第一个思考交流，目的是对抛物线定义的应用，同时也给出了课堂导入时所给问题的一种解决方法.

三、抛物线的方程 .方程推导 1)建

请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系. (2)推导

问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好?请说明理由

提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好. ：焦点到准线的距离. 3.思考交流

问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程?

具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流. 教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并用投影仪展示. 通过问题3，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础. 部学生在推导方程时存在困难，故给出提示.

这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式，加深学生对抛物线标准方程的理解. 大部分学生解决问题4所用的方法都是图像变换法. 图像

抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式. 4.例题分析

例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1);(2);

2.根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)焦点：;(2)准线：. 课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式，无法达到巩固知识的目的.因此，我更换了教材的例题，例1是由方程求图像，例2是由图像求方程.并且两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式.

四、课堂小结

问题5：这节课你学到了什么?请谈谈你的收获. 1.知识内容：(1)抛物线的定义： (2)抛物线的标准方程： ①焦点在轴正半轴：; ②焦点在轴负半轴：; ③焦点在轴正半轴：; ④焦点在轴负半轴：. 2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程. 3.学习中用到的数学思想和方法：(1)直接法;(2)待定系数法;(3)类比的思维方法;(4)数形结合思想. 培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.

五、课后延伸 1.课后作业

书，P76，A组，2题，3题，4题. 2.课后思考

请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线? 3.课后延展

(1)抛物线型桥梁

通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁. 提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点?有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征?

(2)卫星. 提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质?

对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨. 是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化，也是为下节课作好铺垫.

感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.

第2篇：是圆还是抛物线

高中物理新课程改革已经进行了八年了，而且改革的力度也越来越大，许多新教师已经对新课标教材的教学有很深的理解，并熟练掌握了新课标物理教材的教学方法.高中物理新课标教学时教师应该多关注学生学习时存在的问题并善于自己在教学过程中总结经验.在高中物理学完选修3-1磁场时，粒子在有界磁场及复合场中的运动性质和运动轨迹到底是什么样的，又由哪些因素决定的呢?关于运动轨迹是圆周运动还是抛物线运动的轨迹学生经常混淆.所以本文基于新课标教材出发从复合场、有界磁场中粒子运动轨迹问题作系统讨论分类区分出粒子运动的规律特点.

1 复合场概念、分类、表现形式、各力特点

(1)复合场：是指电场、重力场、磁场三场复合

(2)分类：①交替的复合场是指电场、重力场、磁场三场分别出现独立的空间中

②交叠的复合场电场、重力场、磁场三场复合同时出现在空间某一特定区域(一般是正交形式并存)

(3)形式：粒子连续运动时，一般是两场或者三场同时出现或者分区存在(即交叠或者交替)一般受力时考虑重力、电场力、洛伦兹力的作用.

(4) ①重力场重力G=mg 方向竖直向下、功能特点做功与路径无关，重力做功只与始末位置高度差有关.重力做功等于重力势能的减少量.

②静电场F电=Eq方向为正电荷的受力方向，负电荷受力反方向 电场力做功的特点是与路径无关只于始末位置电势差值有关，电场力做功等于电势能的减少量.

③磁场 洛伦兹力特点F洛=Bqv方向根据左手定则来判断，功的特点是洛伦滋力不做功，洛伦兹力不改变粒子做圆周运动的动能.

2 关于带电粒子说明

粒子在场中运动性质直接由粒子的受力决定，所以研究粒子的原始属性对粒子的运动轨迹尤其重要.一般情况把运动粒子大致分为两类：

(1)忽略粒子重力型例如电子、质子、离子、α粒子等由于这些粒子所受电磁场力远远大于其所受的重力，这在选修3-1物理教材库仑定律习题中都做过说明，所以在无特殊说明情况下这些粒子忽略重力通常受力分析不研究重力――粒子型粒子.

(2)不忽略重力型即带电小球、液滴、油滴、圆环等宏观物体在复合场中运动时通常不能忽略粒子重力――实体型带电体.受力分析研究重力多种场力综合受力分析.

(3)研究对象受力分析的基本原则是

①首先确定是否考虑重力即确定带电物体是粒子型或者实体型.

②受力分析都先分析场力(按照重力――电场力――磁场力等非接触力次序.

③最后分析接触力例如(弹力――摩擦力等).

3 关于粒子运动轨迹说明

(1)直线运动

①当带电体所受合外力为零时，将处于静止或者匀速直线运动.

②当带电粒子，忽略重力沿电场线与电场线平行时粒子做匀变速直线运动.

③在外界约束下例如直杆(含有多个力)作用下变加速直线运动定性分析体.

(2)类平抛运动，典型特点是合外力大小恒定而且与初速度保持垂直关系

①当粒子只受电场力且粒子初速度方向与电场垂直

②当实体型带电体同时受电场力且与初速度方向垂直

(3)圆周运动

①合力始终与速度垂直即洛伦兹力充当向心力，粒子做匀速圆周运动，可以是粒子忽略重力只受洛伦兹力，也可能是受洛伦兹力外的其它力，但是其它力的合力为零

②可能在外界约束下做变速圆周运动，应用动能定理和圆周运动结题.

(4)几种常见的粒子运动轨迹示例

总之，高中物理中涉及到很多物体运动，运动轨迹的分类也很多，物体分类大到天体的运动小到微观粒子.运动形式分为直线和曲线运动，其运动的规律特点轨迹形式都是很难区分，学生学起来困难多、阻力大.所以本文针对这一情况对粒子在磁场及复合场的运动性质做了高度概括归纳和总结，有助于学生理解，而且粒子在复合场中运动轨迹分析是新课标高考物理压轴物理试题，也是学生要突破的高考难点.只有学生掌握粒子受力特点和轨迹特点才能有效解决问题，尤其是粒子运动轨迹是圆还是抛物线关于这两种轨迹运动学生在计算时间的时候张冠李戴，所以本文的论述和示例希望对学生解决该知识点时候有很大的帮助.

第3篇：高中数学-公式-抛物线

抛物线

1、抛物线的标准方程的四种形式:

ppy22px(p0)焦点坐标是F( ,0)准线方程是x=- 22

ppy22px(p0) 焦点坐标是F( ,0) 准线方程是x= 22

ppx22py(p0)焦点坐标是F(0, )准线方程是y=- 22

ppx22py(p0) 焦点坐标是F(0, )准线方程是y= 22

pp

2、抛物线y22px的焦点坐标是：，0，准线方程是：x。 22

若点P(x0,y0)是抛物线y22px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是：x0该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是：2p。

3、抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则PFx0<0)上任意一点，F为焦点，则PFx0p，过2p;y2=2px(p2p; 2

4、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论：(1)AB=x1+x2+p;(2)y1y2=

2p-p，x1x2=; 4

5、抛物线y2=2px(p≠0)的通径为2p，焦准距为p。 2

2y0

6、对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(，y0),以简化计算; 2p2

7、处理抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为y2=2px(p≠0)上不同的两点，M(x0,y0)

2p 是AB的中点，则有KAB=y1y2

8、直线与抛物线的位置关系

设直线l:ykxb,抛物线y22px(p0),直线与抛物线的交点的个数等价于方程组

个数,也等价于方程kx2px2bp0解的个数

①当k0时,

当0时,直线和抛物线相交,有两个公共点;

当0时,直线和抛物线相切,有一个公共点;

当0时,直线和抛物线相离,无公共点。

2②当k0,则直线yb与抛物线y2px(p0)相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设2ykxby2px2解的

xm,则当m0, l与抛物线相交,有两个公共点;当m0时,与抛物线相切,有一个公共点,当m0时,与抛物线相离,无公共点.

第4篇：高中抛物线知识点总结

平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。下面是关于高中抛物线知识点总结的内容，欢迎阅读！

高中数学抛物线知识点总结

（一）

抛物线方程

1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

注：①顶点

.②则焦点半径

;则焦点半径为

.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④（或）的参数方程为

（或

）（为参数）.

高中数学抛物线知识点总结

（二）

抛物线的性质（见下表）:

抛物线的焦点弦的性质：

关于抛物线的几个重要结论：

(1)弦长公式同椭圆．

(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部

P(x0，y0)在抛物线外部

(3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是

抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+

(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是

(5)过抛物线y2=2px上两点

的两条切线交于点M(x0，y0)，则

(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,

又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．

利用抛物线的几何性质解题的方法：

根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．

抛物线中定点问题的解决方法：

在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。

利用焦点弦求值：

利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。

第5篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。 媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

(一)复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系?

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点?若有公共点，怎样求公共点?

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点?

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解;抛物线C上的点方程y24x的解;L与21y(x1)C的公共点方程组的解。 2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决;同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

(二)分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论?

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点?m表示什么?抛物线C有什么特点?在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切?

3、当m很接近于零但不等于零时(在提问同时用图形表示)，L与C是否仅有一个公共点?

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况?(几何画板动态演示)<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

(三)小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C=0与抛物线C：y=2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0; L与C有两个不同的公共点22a0a0;L与C相切于一点  00L与C相离 a0

0

2、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误?从而总结经验教训。

(四)课堂训练(学生解答)

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个?

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数?

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值?

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论(即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点)，然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论(消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系)最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论(a0,1,

(五)总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

(六)布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个?求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224)后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，

y1k(x2)由方程组2， (*)

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0. ① (1)当k0时，由方程①得 y=1. 把y=1代入y4x，得x21. 414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1). (2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1). 21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，21. 2直线l与抛物线只有一个公共点. 22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解.这时，21。 2直线l与抛物线有两个公共点. 23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点. 综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点. 21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点. 21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点. 2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上(并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板)

“卷”——现在我将学生卷入课堂， 数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”.

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”.

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利;

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第6篇：抛物线的定义、性质及标准方程

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当01时为双曲线。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质(如下表)：

的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

的焦点

的直线与抛物线交于

，则有4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线，直线

与

的斜率分别为

，直线的倾斜角为，。

，，，，，说明：

1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】

例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆于，求此抛物线的方程。 解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点在，∴

上，

(y1>0) ，代入

在

得上

或

相交的公共弦长等∴或，∴或

。 ，经过

的直线交抛物线于

两点，点故所求抛物线方程为例2. 设抛物线在抛物线的准线上，且

的焦点为

∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得 设，则

∵∥轴，且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明注意到经过原点，只需证明，即证

经过原点。

知上式成立，故直线证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是过原点。

证法三：如图，

，知三点共线，从而直线经

设轴与抛物线准线交于点则∥∥，连结

，过交

作于点

，，则

是垂足

又根据抛物线的几何性质，

∴因此点是的中点，即

与原点

重合，∴直线

经过原点

。

评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】 【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是5分。 考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用; 层次二：考查抛物线标准方程的求法; 层次三：考查抛物线的几何性质的应用;

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】 例3. (2006江西)设，则点A. C. 答案：B

解析：解法一：设点坐标为

，则

，

解得或(舍)，代入抛物线可得点

的坐标为

。

为坐标原点，的坐标为( ) B. D.

为抛物线

的焦点，

为抛物线上一点，若解法二：由题意设，则，

即，，求得，∴点的坐标为。

评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. (2006安徽)若抛物线为( )

A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 答案：D

的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线的准线方程为

，则实数的值是( )

A. B. C. D.

轴上，又抛物线上的点

，与焦点

的距离2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在为4，则等于( )

A. 4 B. 4或-4 C. -2 D. -2或2 3. 焦点在直线A. C. B. D.

或或

上的抛物线的标准方程为( )

4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为( )

A. B.

C. D.

5. 正方体上的动点，且点的轨迹是( )

的棱长为1，点到直线

的距离与点

在棱到点

上，且，点是平面

的距离的平方差为1，则点

A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点是抛物线的距离为

上一点，设点，则

到此抛物线准线的距离为

，到直线

的最小值是(

)

A. 5 B. 4 C. 7. 已知点D. 是抛物线

上的动点，点

在

轴上的射影是

，点

的坐标是，则的最小值是( )

A. B. 4 C. D. 5 的焦点的直线交抛物线于

两点，为坐标原点，则

的值8. 过抛物线是( )

A. 12 B. -12 C. 3 D. -3 二. 填空题： 9. 已知圆10. 已知物线的焦点分别是抛物线，则直线

和抛物线

的准线相切，则

的值是_____。

的垂心恰好是此抛

上两点，为坐标原点，若

的方程为_____。

11. 过点(0，1)的直线与___。 12. 已知直线___。 三. 解答题： 与抛物线

交于两点，若的中点的横坐标为，则

交于两点，那么线段的中点坐标是__13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为抛物线的方程。 14. 过点(4，1)作抛物线

轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求

的弦点在

，恰被所平分，求所在直线方程。

。 15. 设点F(1，0)，M点在轴上，⑴当点⑵设在轴上运动时，求

轴上，且

点的轨迹是曲线

的方程; 上的三点，且

的坐标。

成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E(3，0)时，求点【综合测试】 一. 选择题：

1. (2005上海)过抛物线

的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. (2005江苏)抛物线

上的一点

到焦点的距离为1，则点

的纵坐标是( )

A. B. C. D. 0

，若它的一条准线与抛物线3. (2005辽宁)已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线A. B. C.

D. 21

的交点与原点的距离是( )

4. (2005全国Ⅰ)已知双曲线合，则该双曲线的离心率为( )

的一条准线与抛物线的准线重A. B. C. D.

的准线与轴交于点

，若过点

的直线与抛物线有5. (2004全国)设抛物线公共点，则直线的斜率的取值范围是( )

A. B. C. D. 6. (2006山东)动点取得最小值，则

是抛物线的最小值为( )

上的点，为原点，当时A. B. C. D.

7. (2004北京)在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积取值范围是( ) A. B.

C.

D. 的准线为，直线

与该抛物线相交于

的8. (2005北京)设抛物线点，则点及点

两到准线的距离之和为( )

A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空题： 9. (2004全国Ⅳ)设到

是曲线

上的一个动点，则点

到点

的距离与点轴的距离之和的最小值是_____。

10. (2005北京)过抛物线为，则圆

的焦点

且垂直于轴的弦为

，以

为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_____，圆的面积是_____。

的一条弦

，

，

所在11. (2005辽宁)已知抛物线直线与轴交点坐标为(0，2)，则_____。 的焦点在直线

移到点

上，现将抛物线沿处，则平移后所12. (2004黄冈)已知抛物线向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线得抛物线被轴截得的弦长

_____。 三. 解答题：

13. (2004山东)已知抛物线C：与抛物线交于⑴若以弦两点。

，求

的值;

的轨迹方程。

的焦点为

，直线过定点

且为直径的圆恒过原点⑵在⑴的条件下，若，求动点

14. (2005四川) 如图，点，是抛物线

的焦点，点

为抛物线内一定点，点

为抛物线上一动的最小值为8。

⑴求抛物线方程; ⑵若为坐标原点，问是否存在点，若存在，求动点

，使过点

的动直线与抛物线交于

两点，且

的坐标;若不存在，请说明理由。

15. (2005河南)已知抛物线抛物线交于⑴求⑵求满足 ;

的点

的轨迹方程。

，

为顶点，，使得

为焦点，动直线

。

与两点。若总存在一个实数