八年级数学勾股定理全章测试
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第十八章
勾股定理全章测试
一、填空题
1.若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______. 2.若等边三角形的边长为2，则它的面积为______.
3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm.
3题图
4.如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是______米.
4题图
5.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm.
5题图
6.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=______.
6题图
7.△ABC中，AB=AC=13，若AB边上的高CD=5，则BC=______.
8.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为______.
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8题图
二、选择题
9.下列三角形中，是直角三角形的是(
) (A)三角形的三边满足关系a+b=c (C)三角形的一边等于另一边的一半
(B)三角形的三边比为1∶2∶3 (D)三角形的三边为9，40，41 10.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
).
10题图
(A)450a元 (C)150a元
(B)225a元 (D)300a元
11.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=(
).
(A)2 (C)22
(B)3 (D)23
12.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，则AC+BC等于(
).
(A)5 (C)1313
三、解答题
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(B)513 (D)95 梦幻网络( http:// ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结
13.已知：如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长.
14.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m，求这块草地的面积.
15.△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想AP+PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.
16.已知：△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求BC.
17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
218.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都请登录 梦幻网络( http:// ) 免费下载此内容 梦幻网络( http:// ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结
为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图
1、图
2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.
图1
图2
图3 (1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图
1、图
2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合;画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹);
(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值;若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少;
(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值;若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.
19.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.
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参考答案
第十八章
勾股定理全章测试
1.8.
2.3.
3.10.
4.30.
5.2.
6.3.提示：设点B落在AC上的E点处，设BD=x，则DE=BD=x，AE=AB=6， CE=4，CD=8-x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程. 7.26或526.
8.6.提示：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，可得△ABE为Rt△. 9.D.
10.C
11.C.
12.B 13.2721.
提示：作CE⊥AB于E可得CE3,BE5,由勾股定理得BC27,由三角形面积公式计算AD长.
14.150m2.提示：延长BC，AD交于E. 15.提示：过A作AH⊥BC于H
AP+PB·PC=AH+PH+(BH-PH)(CH+PH) =AH2+PH2+BH2-PH2 =AH2+BH2=AB2=16. 16.14或4.
17.10;
2916n.
18.(1)略;
(2)定值，
12;(3)不是定值，862,8210,62210. 19.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6 由勾股定理得：AB=10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况.
①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6得△ABD的周长为32m. 2222
图1 ②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4
图2 由勾股定理得：AD45，得△ABD的周长为(2045)m..
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③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，
图3 由勾股定理得：x
253803，得△ABD的周长为m.
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2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试(1)
一、选择题(共13小题)
1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(
)
A.48 B.60 C.76 D.80 2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(
)
A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理
3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(
)
A.10 B.11 C.12 D.13 4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(
) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4
C.a=2，b=4，c=5
D.a=3，b=4，c=5 5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(
) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，
，
6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(
)
第1页(共20页)
A.5 B. C. D.5或
7.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(
) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (
)
A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(
)
A. B. C. D.
10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(
)
A.2 B.4 C. D.
11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(
) A.只有1个 B.可以有2个
C.有2个以上，但有限 D.有无数个
12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(
) A.1 B.1或 C.1或
D.
或
第2页(共20页)
13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(
)
A. B. C.2 D.
二、填空题(共15小题)
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 .
15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 .
16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S
1、S
2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= .
17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .
第3页(共20页)
18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= .
19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 .
20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 .
21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 cm.
22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .
第4页(共20页)
第14章 勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题(共13小题)
1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(
)
A.48 B.60 C.76 D.80 【考点】勾股定理;正方形的性质.
【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积.
【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE， =AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76. 故选：C.
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.
2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(
)
第5页(共20页)
A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理 【考点】勾股定理的证明. 【专题】几何图形问题.
【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明. 【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理. 故选：C.
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明.
3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(
)
A.10 B.11 C.12 D.13 【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长. 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△AEB是直角三角形， ∵D为AB中点，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE==12，
第6页(共20页)
故选C.
【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.
4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(
) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4
C.a=2，b=4，c=5
D.a=3，b=4，c=5 【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确. 故选D.
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.
5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(
) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可.
【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误; B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误; C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误; D、12+(故选D.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.
6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(
)
第7页(共20页)
，
)2=()2，能够组成直角三角形，故正确.
A.5 B. C. D.5或
【考点】勾股定理. 【专题】分类讨论.
【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析. 【解答】解：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5， (2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故选：D.
【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.
7.(2013•德宏州)设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(
) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
，
【考点】勾股定理. 【专题】压轴题.
【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.
【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5， ∴a+b+2.5=6， ∴a+b=3.5，①
∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3， 故选D.
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用.
8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (
)
第8页(共20页)
A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形.
【分析】首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可.
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AC=20m， ∴AB=40m， ∴BC=故选：B.
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(
) =
=
=20
≈34.6(m)，
A. B. C. D.
【考点】勾股定理;菱形的性质;矩形的性质.
【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系. 【解答】解：∵四边形MBND是菱形，
第9页(共20页)
∴MD=MB.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°.
设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，(x、y均为正数). 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=(2x﹣y)2， 解得x=y， ∴MD=MB=2x﹣y=y，
∴==.
故选：C.
【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理.解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.
10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(
)
A.2 B.4 C. D.
【考点】勾股定理.
【分析】连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解. 【解答】解：如图，连接AE，
在正六边形中，∠F=×(6﹣2)•180°=120°， ∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF=(180°﹣120°)=30°， ∴∠AEP=120°﹣30°=90°， AE=2×2cos30°=2×2×=
2，
第10页(共20页)
∵点P是ED的中点， ∴EP=×2=1， 在Rt△AEP中，AP=故选：C.
=
=
.
【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(
) A.只有1个 B.可以有2个
C.有2个以上，但有限 D.有无数个 【考点】勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【专题】分类讨论.
【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10;另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为.
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是第二种是故选：B.
【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题.
第11页(共20页)
，解得x=5; ，解得x=
.所以可以有2个.
12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(
) A.1 B.1或 C.1或
D.
或
【考点】勾股定理;平行线之间的距离;等腰直角三角形. 【专题】压轴题.
【分析】如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC;等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离. 【解答】解：①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E， ∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°， ∴四边形CDPE是正方形， 则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP， ∴AB=∴AP=; =，
，又AB=AP;所以，∴在直角△AEP中，(1+EC)2+EP2=AP2 ∴(1+DP)2+DP2=(解得，DP=
②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E， 同理可证，四边形CDPE是正方形， ∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，(EC﹣1)2+EP2=AP2， ∴(PD﹣1)2+PD2=(解得，PD=故选D.
第12页(共20页)
)2，
;
)2，
;
【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答;考查了学生的空间想象能力.
13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(
)
A. B. C.2 D.
【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形. 【专题】计算题.
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可. 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.设AB=AD=x. 又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=x.
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
第13页(共20页)
∴BE=AB=x， ∴DF=AE==x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x. 又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6， 解得 x=2 ∴△ACD的面积是： AD•DF=x×故选：A.
x=
×22=
，
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形.解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度.
二、填空题(共15小题)
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 (4，0) .
【考点】勾股定理;坐标与图形性质.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标.
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8)， ∴AO=6，BO=8， ∴AB= =10，
第14页(共20页)
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=10， ∴OC=AC﹣AO=4， ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为(4，0)， 故答案为：(4，0).
【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.
15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9
，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 6 .
【考点】勾股定理;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解. 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2， ∴CA=CB=9，
∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=3，
∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6. 故答案为：6.
，
【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大.
16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S
1、S
2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= 12 .
第15页(共20页)
【考点】勾股定理的证明.
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(KF﹣NF)2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12. 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF， ∴S1=(CG+DG)2 =CG2+DG2+2CG•DG =GF2+2CG•DG， S2=GF2，
S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF•NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12， 故答案是：12.
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点.
17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 .
【考点】勾股定理的证明.
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可. 【解答】解：∵AB=10，EF=2，
第16页(共20页)
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6. 故答案为：6.
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值.
18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= 3 .
【考点】勾股定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长.
【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AD=BE=4， ∵AB=5， ∴AE=故答案为：3.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单.
=3，
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19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 10 .
【考点】勾股定理.
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积.
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即S3=2+5+1+2=10. 故答案是：10.
【点评】本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积.
20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 2【考点】勾股定理. 【专题】计算题.
【分析】根据勾股定理列式计算即可得解. 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴AC=故答案为：2
.
=.
=2.
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【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观.
21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 4 cm.
【考点】勾股定理;矩形的性质.
【分析】设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的长.
【解答】解：设AB=x，则可得BC=10﹣x， ∵E是BC的中点， ∴BE=BC=，
)2=52，
，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+(解得：x=4. 即AB的长为4cm. 故答案为：4.
【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程.
22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .
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【考点】勾股定理的证明. 【专题】计算题.
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求得(a+b)的值;则易求b：a. 【解答】解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13， ∴设大正方形的面积是13，边长为c， ∴c2=13， ∴a2+b2=c2=13， ∵直角三角形的面积是
=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3， ∴ab=6，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25， ∴a+b=5.
∵小正方形的面积为(b﹣a)2=1， ∴b=3，a=2， ∴=. 故答案是：.
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.
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新人教版数学八年级 勾股定理的逆定理 测试试题
一、基础加巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(
)
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm(结果不取近似值).
图18-2-4
图18-2-5
图18-2-6 3.如图18-2-5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S
1、S
2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________. 4.如图18-2-6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=形状.
5.一个零件的形状如图18-2-7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗?
1AD，试判断△EFC的4
图18-2-7
6.已知△ABC的三边分别为k2-1，2k，k2+1(k>1)，求证：△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
- 1
12.已知：如图18-2-10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积.
图18-2-10
参考答案
一、基础·巩固
1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余;②两边的平方和等于第三边的平方;③一边的中线等于这条边的一半. 由A得有一个角是直角;B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
- 3
答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形;③△ABC是等腰三角形或直角三角形. 11.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方;(2)三个非负数的和为0，则都为0;(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0, 配方并化简得,(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0. ∵(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0.∴a-5=0,b-12=0,c-13=0. 解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形. 12.思路分析：(1)作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB(ASA);
(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3;(3)在△DEC中，
3、
4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC;(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB(ASA), ∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3. ∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,∴△DEC为直角三角形. 又∵EC=EB=3,∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2, ∴△BDA是直角三角形. 它们的面积分别为S△BDA=11×3×4=6;S△DBC=×6×4=12. 22∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
- 5 -
18.1 勾股定理
(二)
教学时间 第二课时
三维目标
一、知识与技能
1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.运用勾股定理解决一些实际问题.
二、过程与方法
1.经历用拼图的方法验证勾股定理，•培养学生的创新能力和解决实际问题的能力. 2.在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.
三、情感态度与价值观
1.利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，•借助此过程对学生进行爱国主义的教育.
2.经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值.
教学难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理.
教具准备 每个学生准备一张硬纸板;多媒体课件演示.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a+b)(a-b)=a-b;完全平方公式(a±b)=a±2ab+b是非常重要的内容.•谁还能记得当时这两个公式是如何推出的?
设计意图：
回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明.
师生行为：
学生动手活动，分组操作，然后在组内交流. 22
222 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，得出两个公式的几何意义.
在活动1中教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与活动;
②学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义;
③学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证明.
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导，如下：
(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b，
所以(a+b)(a-b)=a-b;
(a+b)=(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+b;
(a-b)=(a-b)(a-b)=a-ab-ab+b=a-2ab+b;
所以(a±b)=a±2ab+b.
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立.例如： 2
222
22
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
(1) (2) 图(1)中，阴影部分的面积为a-b，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a-b)和b•的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a-b).•而这两部分面积是相等的，因此(a+b)(a-b)=a-b成立.
生：(a+b)=a+2ab+b也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图: 22
2
2
2
2
2
(3)
我们用两个边长分别为a和b的正方形，两个长和宽分别a和b•的长方形拼成一个边长为(a+b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a+b)，也可以表示为a+2ab+b，所以可得(a+b)=a+2ab+b.
师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?
二、探索研究
活动2 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来. 22
2222
(4) (5)
(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c•为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?
(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，•你能用两种方法表示大正方形的面积吗?
大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________.
对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?
设计意图：
让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培养学生的动手操作能力和创新意识.
师生行为：
学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果.
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系.
在本次活动中，教师应关注：
①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系. ②学生能否积极主动地参与拼图活动.
生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为
(a+b)或4³ 化简得：a+b=c.
由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图(6)大正方形的边长是c，•小正方形的边长为a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理.•因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c，又可以表示为
222
22222
11222
ab+c，由此可得(a+b)=4³ab+c. 2212
ab³4+(b-a).对比两种表示方法可得 2c=212222
ab³4+(b-a).化简得c=a+b， 2同样得到了直角三角形的三边关系.
(6)
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，•我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理.命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧.
活动3 图(6)这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1•(即勾股定理)的基本思路如下，如图(7).
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a+b，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成.把图(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形.
因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等.
因此a+b=c.
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智.它是我国古代数学的骄傲.正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
设计意图：
了解我国古代数学成就，为我国数学未来的发展立志作出贡献，培养学生的爱国主义精神.
师生行为：
在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧.
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的.在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理.
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书.其实，•勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是默默地想让人注意，•勾股定理的证明简直到了每天一种的地步.
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样22
222吗?
师：是的.1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了提出的一个勾股定理的证明.据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗?
师：可以，如下图所示，这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系.
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半.
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理.
生：上面的图形整体上拼成一个直有梯形.所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为112(a+b)²(a+b)，又可以表示为ab³2+c.对此两种表示方法可得 22112222(a+b)²(a+b)=ab³2+c.化简，可得a+b=c. 22 师：很好.同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法.
活动4
议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a+b=c.
2
2
2 设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢?学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a+b=c.通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识.
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导.
此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动;
②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系.
师：上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形?
生：△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA>90°;△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形.
师：△ABC的三边上“长”出三个正方形，•谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子.
生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b=9•个单位面积;以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a=8个单位面积，以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c=29个单位面积.
a+b=9+7=16个单位面积，c=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a+b≠c.
师：锐角三角形A′B′C′中，如何呢?
生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a=5个单位面积;以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b=8个单位面积;以c为边长的正方形含9个小格子，所以a=9个单位面积.由此我们可以算出a+b=5+8=13个单位面积.在锐角三角形A′B′C′中，a+b≠c.
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，•c三边才有a+b=c(其中a、b是直角边，c为斜边)这样的关系.
生：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a+b≠c，但它们之间也有一种关系a+bc，它们恒成立吗? 22
222
2
2
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2 师：这位同学很善于思考，的确如此，同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小.
三、课时小结
活动5 你对本节内容有哪些认识?会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义.
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获.
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方面关注学生对课堂的整体感受.
师生行为：
由学生小组讨论小结.
在活动5中，教师应重点关注：
(1)不同层次的学生对本节知识的认同程序;
(2)学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，•树立学好数学的信心.
板书设计
18.1 勾股定理
(二) 1.用拼图法验证勾股定理
(1)
由上图得(a+b)= 即a+b=c; 222
212
ab³4+c 2(2)
由上图可得c= 即a+b=c
2.介绍“赵爽弦图”
活动与探究
如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，•上端恰好与木刘，问葛藤长多少?
过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系.但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现;这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边.
结果：根据题意，可得一条直角边(即高)长2丈即20尺，•另一条直角边(即底边)长7³3=21(尺)，因此葛藤长设为x尺，则有x=20+21=841=29，所以x=29•尺，即葛藤长为29尺.
备课资料
一、《原本》一书中勾股定理的证明
我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种.现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.
如图，在Rt△ABC各边上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH.连结CD，FB.
因为AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD， 作CL∥AD.•因为S△FAB=
2
22
2222212ab³4+(b-a) 21FA²FH.(FH为△FAB的AF边上的高). 2而S正方形CAFH=FA²FH.所以S正方形CAFH=2S△FAB.
又因为S△CAD =1AD²DL(DL为AD边上的高)，而S长方形ADLM=AD²DL， 2所以S长方形ADLM=2S△CAD;
综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM.
同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，
所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB=AC+BC.
其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.
二、勾股定理的推广
如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广.比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直径的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如图).证明如下：
2
2
2
222
c=a+b 444c2a2b2 即()=()+().
222 因为c=a+b.等式两边同乘，得222 所以111cab()2=()2+()2. 222222 如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为右图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积.”
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”.
课题：《勾股定理》
张窝中学 马宏跃
一、教材分析：
1、 人民教育出版社出版，人民教育出版社中学数学室编著，九年义务教育八年级教科书《几何》，第三章第五单元《勾股定理》 2、本节内容在全书及章节的地位：《勾股定理》是初中数学知识中非常重要的一个定理，在此之前，学生已经知道直角三角形两个锐角互余，会解方程，本节内容是直角三角形边与边之间的关系，它会为学生将来学习解直角三角形，四边形，函数等知识作好准备。
二、教学目标
1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的，初步会用它进行有关的计算。
2、通过对勾股定理的应用，培养学生方程的思想和逻辑推理能力
3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神。
三、教学重点难点
重点是勾股定理的应用。难点是勾股定理的证明;
四、多媒体计算机
五、新授课
六、教学方法与学法
采用直观的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生、启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习约兴趣和学习的积极性。
八年级的学生形象思维较好，理性思维欠缺，教师需及时引导，帮助学生形成结论。
七、教学过程
(一)、激发学生兴趣，引人新课
请同学以组为单位，利用事先准备好的三角形(边长为a,b,c),拼成边长为a,b,c的正方形。
(二)定理的探求，证明及命名
1、探求定理，猜想结论
教师用计算机演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，通过平移、旋转，变动ΔABC的形状、大小，以改变a、b、c的长度。在此过程中始终计算a
2、b
2、c2请同学们观察a
2、b
2、c2之间的数量关系，得到猜想。 再演示非直角三角形的a
2、b
2、c2 之间不具备这样的关系，得到a2+b2=c2 是直角三角形所特有的性质。
请同学们用语言叙述猜想，并画图写出已知、求证。
2、定理的证明
目前世界上已有几百种勾股定理的证明方法，而我国古代数学家用割补、拼接图形计算面积的方法也有了很多种证法。
(1)
(2)
3、定理的命名
(1).约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里
.人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.同样，有 ,„„即
.所以我国称它为勾股定理. (2).西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580—前500年 )是古希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求了证明方法.
(三)定理的应用
例1在 Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c. (1) 已知a= 6，b=8，求c;你能求出哪些量? (2) a=40，c=41,求 b; (3) b=15 ，C=25求 a; (4) a:b=3:4,c=15,求b.
(四)深入探索
在 Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.已知a= 6，b=8，你能求出哪些量? “知二求一” (1)面积(2)周长(3)斜边上的高(4)斜边被高分成的两条线段的长„„ 例3 已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=4cm,求AB，BC的长 例4 如图，A=60，AB=60CM，CD=30CM，求BC，AD的长
(五)小结
(六)作业：习题3.9 4题 八 教学评价
本节课从学生的实际情况出发, 由浅入深,层层递进. 教学设计的说明：
依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，应用数学思维方式观察、分析、探索、发现规律，并应用其解决生活中的实际问题，培养学生的实践能力，使学生学有所值，且能学以致用。通过观察、动手操作、合作研究发现规律，并尝试用学到的方法解决生活中的实际问题，使内容首尾呼应，知识完整、培养应用意识实践能力。
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2004/9/1 星期三
§1.1 探索勾股定理
（一）
教学目标：
1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点：
重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学方法：讲练结合。 教学过程
一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答：
1、 观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：
3、 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？
二、 做一做
出示投影3（书中P3图1—4）提问：
1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？
2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?
3、 从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结：
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
三、 议一议
1、 图1—
1、1—
2、1—
3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么abc
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定
1 22
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理的由来。
3、 分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）
四、 想一想
这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？
五、 巩固练习
1、 错例辨析：
△ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为
3、4 所以它的第三边的c应满足c34=25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题
△ ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足abc，题目中并为交待C 是斜边
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
2、 练习P6 §1.1 1
六、 作业
课本P6 §1.1
2、
3、4
七、教学反思
22222
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§1.1 探索勾股定理
（二）
教学目标：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2． 掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点：
重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学方法：讲练结合。 教学过程
七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？ （同学们回答有这几种可能：（1）(a2b2)
（2）
1ab4c
2 ） 2在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
a2b2=1ab4c2
请同学们对上面的式子进行化简，得到：
2a22abb22abc2
即 a2b2=c2
这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
八、讲例
1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的c90,AC4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得BCABAC549(千米）
即BC=3千米 飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为： 222223
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3600203540(千米/小时）
答：飞机每个小时飞行540千米。
九、 议一议
展示投影2（书中的图1—9）
观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2b2c2 同学在议论交流形成共识之后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
十、作业
1、
1、课文 P9§1.2 1§1. 1 、2
2、 选用作业。
十一、 教学反思
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§1．2 能得到直角三角形吗
教学目标： 知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论． 情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点
运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
会辨析哪些问题应用哪个结论． 教学方法：探索法。 课前准备
标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇 教学过程： 复习引入：
请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？ 已知△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13对吗？ 创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9页古埃及造直角的方法．
这样做得到的是一个直角三角形吗？
提出课题：能得到直角三角形吗 讲授新课：
⒈如何来判断？（用直角三角板检验）
这个三角形的三边分别是多少？（一份视为1）它们之间存在着怎样的关系？
就是说，如果三角形的三边为a，b，c，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时）
⒉继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13；
6, 8, 10；
8，15，17. （1）这三组数都满足a2 +b2=c2吗？ （2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ ⒊直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
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满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
⒋例1
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
CDABD54A3B
1312C
随堂练习：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
⑴9，12，15；
⑵15，36，39； ⑶12，35，36；
⑷12，18，22．
⒉已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形,
______是最大角. ⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．
13D4A312BC
⒋习题1.3 课堂小结：
⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
⒉满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
教学反思：
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§1.3蚂蚁怎样走最近
教学目标： 知识与技能
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 教学思考
通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．
解决问题
如何将数学知识应用于生活实际，如何选择适当的数学模型解决数学问题． 情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
重点和难点 重点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 难点
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 教学方法：讲练结合。 课前准备
圆柱体、绳子、刻度尺、三角板 教学过程： 复习引入：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
这个问题我们用勾股定理获得了解决，许多同学都能想到．但在日常生活中，针对某个问题应该怎样选择相应的数学知识去解决，不是很明显，就算你知道了用哪个定理去解决，怎样解决还是个问题？今天我们就来研究这个问题．
提出课题：1．3蚂蚁怎样走最近 讲授新课：
BB
A
⒈出示问题1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的
7 A
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最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
⒉出示问题2：如图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
随堂练习：
1．第14页，第1题（教师与学生共同完成画图，学生独立完成解答过程，并公布结果）
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
2．第15页，习题2； 3．第15页，习题3． 课堂小结：
⒈今天在解决数学问题时，我们用到了哪几个定理？ ⒉通过今天的学习，你有什么收获？
教学反思
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课题学习
拼图与勾股定理
教学目标
1．经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系，每一部分知识并不是孤立的。
4．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
5．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。
教学重点
1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
教学难点
1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。 2．利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学准备
剪刀、双面胶、硬纸板、直尺（或三角板）、铅笔、多媒体课件。 课时安排：2课时。
教学过程
第一课时
一、了解已有的知识和经验
1．你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？ 2．你知道勾股定理的内容吗？说说看。
3．你已知道的关于验证勾股定理的拼图方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。利用四个全等的直角三角形拼出的“弦图”和所示方法，并使之亲自验证勾股定理。教师可利用课件介绍“弦图”的历史，及“弦图”被定为2002年世界数学大会的会标等小知识。）
二、动手操作，合作探究
1．教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。 步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板
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拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形。你能验证勾股定理吗？（学生亲自实践，加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解，在此，对以“a”为边的正方形在直角三角形的内侧不易理解，教师要适当地引导，不要限制学生思维。）
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。）
三、相互交流，整理结论，加深理解
了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。
四、课堂总结
从这节课中你有哪些收获？
（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）
五、巩固
教科书第179页，习题第1题。
勾股定理的发现、验证过程蕴涵了丰富的文化价值，而它的验证方法非常之多，你想了解更多的勾股定理的验证方法吗？让我们下节课继续探讨“勾股定理”，一起走进神秘的勾股世界吧！
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拼图与勾股定理第二课时
一、引入
回顾上节课所学习的勾股定理的验证方法。
二、动手操作，合作探究
1．利用五巧板拼“青朱出入图”（教师利用课件介绍“青朱出入图”的历史）。你能利用“青朱出入图”验证勾股定理吗？（给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的方法，并与他人进行合作与交流。）
2．教师可以利用课件介绍一些国外的勾股定理验证方法，重点介绍意大利文艺复兴时代著名画家达·芬奇对勾股定理的验证方法。
步骤：
（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连结BC、FE。 （2）沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。 （3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其它的图形。
（4）比较两个多边形ABCDEF和
的面积，你能验证勾股定理吗？（给学生充足的时间，进行独立思考，鼓励学生交流合作，教师巡视帮助，引导学习困难的学生。最后，验证方法让学生进行讲解、板演、叙述，教师做简单的总结。）
你还想了解其他的验证方法吗？
三、课堂总结
1．从两节课的课题学习中你有哪些收获？ 2．你学到了哪些数学方法和数学思想？
（给出学生两个问题，让学生充分讨论、交流，得出结论，最后教师小结本课题。）
四、巩固
教科书第179页，习题第2题。 勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和中国人看出了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先验证了这个关系。同学们，你们对勾股定理感兴趣吗？你想尝试自己验证勾股定理吗？请发挥你的才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理吧！
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