在结构力学中, 用图乘法进行结构的位移计算是一种简便常用的手段。公式如下:, 后一项就称为图乘法。在满足一定的条件下, 应用图乘法求结构位移, 可免去积分的繁琐计算。公式中竖标yc只能取自直线型弯矩图, ω则为另一弯矩图图形的面积。本文论及的就是当另一弯矩图为二次抛物线时如何用图乘法进行位移计算的问题。
为什么会提出这个问题呢?
在现行的教材上, 都会给出标准二次抛物线图形, 以及形心面积公式, 以供图乘时查用, 并指出标准二次抛物线是指含有顶点在内并且顶点必须在中点或端点的抛物线。如果某一抛物线不符合这个条件, 就是非标准二次抛物线, 这时就不能套用教材中给出的公式, 其面积、形心也需重新计算。由于教材中对顶点没有明确指出一个简单实用的判定方法, 面对各种各样的二次抛物线弯矩图, 很多学生在判定是否为标准二次抛物线时经常出错, 甚至教材中的习题也由此给出错误的解答。如图1, 此题是吕学模主编《结构力学》中的一个习题, 求E点线位移。
从画出的弯矩图Mp看出, 由于BC段的弯矩图是非标准二次抛物线, 图乘时却按标准抛物线来做, 结果得出错误的答案。
那么怎样解决这个问题呢?
首先解决判断问题。在教学中, 我发现利用内力的微分关系, 加上高等数学中关于导数几何意义的概念, 从理论上能很好地予以解决。依据弯矩和剪力的微分关系, 即, 我们知道标准二次抛物线在顶点处切线斜率为零, 只要对照标准抛物线, 查看弯矩图的中点或端点的切线斜率是否为零, 若是顶点, 则成立, 否则就不是顶点。显然, 在顶点处Q=0, 这是曲线顶点的充要条件, 也就是说顶点处剪力一定为零。又从剪力与荷载的关系知道, 某一点剪力为零, 即这点稍左或稍右剪力为零时, 这点肯定没有集中力作用, 因为集中力左、右的剪力值有突变, 即一边为零时另一边肯定不为零。据此, 我们就可以用很简单的方法判断所画出的弯矩图是否是标准的二次抛物线, 判定方法是:二次曲线弯矩图形中拟为顶点处如有集中力作用就可确定不是标准二次抛物线, 若没有集中力作用, 就可确定是标准二次抛物线, 如图2。
图2中 (a) 图的弯矩图为标准二次抛物线, 因顶点B处无集中力作用。而 (b) 图的弯矩图是非标准二次抛物线, 因假设的顶点B处有集中力p作用。
用此方法也可判断图1中BC段的弯矩图, 只要取出AC梁, 如图3:从图3中看到C端有集中力PCD作用, 所以BC段的弯矩图一定是非标准二次抛物线。
再看图4:弯矩图为二次抛物线, 但拟为顶点的C处有集中力P作用, 故C处不是顶点, 此抛物线为非标准二次抛物线。至此, 我们已掌握怎样判别标准二次抛物线与非标准二次抛物线的方法。
对于非标准二次抛物线在图乘法中的应用, 我们采取叠加的办法来解决, 因为任意一个二次曲线都可以看成是一个线性图形和一个标准二次抛物线的叠加, 这样就可以查表进行图乘。
以图2b为例, 把弯矩图Mp分解为一个对称标准二次抛物线图形和一个线性三角形图形, 如图5: (a) 、 (b)
其他的弯矩图也可以进行这种分解变化, 这里不再一一列举。
通过解决图乘法中非标准二次抛物线弯矩图的判定, 以及如何将非标准二次抛物线转变成标准二次抛物线的问题, 使我们能够在位移计算中避免不必要的错误, 使同学们在学习中少受困扰。
摘要：通过解决图乘法中非标准二次抛物线弯矩图的判定, 以及如何将非标准二次抛物线转变成标准二次抛物线的问题, 可避免位移计算产生错误。
关键词：位移,图乘法,弯矩图,标准二次抛物线,非标准二次抛物线
