具有Bernoulli反馈的Geom/Geom/1单重休假排队

Meisling[1]开创了离散时间排队研究的先河。王成全、朱翼隽[2]研究了带反馈且系统有二次可选服务的N-策略Mx/G/1(E,SV)排队,分析出了系统的性能指标。魏瑛源、唐应辉[3]讨论了Geom/G/1排队模型,文中顾客反馈的次数服从几何分布,针对此特殊模型,作者巧妙用全概率分解的方法,得到了稳态队长的随机分解和队长稳态分布的概率母函数,也研究了系统处于忙期状态时队长的瞬时分布和稳态分布。

1 模型的数学描述

将Bernoulli反馈引入到单重休假Geom/Geom/1排队系统,顾客的到达发生在(n-,n)上,服务员的休假和服务开始与结束均发生在(n,n+)上。假定顾客到达间隔、服务时间,休假时间相互独立的,服务原则是(FIFO)。对系统模型进行如下描述。

(1)系统是单服务排队系统,顾客到达间隔为T+,服从参数为的几何分布。

(2)顾客以概率σ离开系统,以概率重返系统接受下次服务。

(3)系统没有顾客时,服务员开始随机长度为V的休假,休假结束时,若系统内没顾客,就进入闲期,否则开始一个忙期,直到系统顾客数为零。休假时间V服从参数为几何分布。

(4)系统处于休假期间,服务台是不服务。服务时间服从参数的几何分布。

2 转移概率矩阵

设Ln+表示时隙分点n+处系统中的顾客数,Jn+为时刻系统所处的状态,在(n-,n+)内被抵消或离去的正顾客不计入Ln+,定义

则是一个MC,状态空间Ω={(k,j),k≥0,j=0,1},(0,1)表示系统处于闲期,(k,0),k≥1表示系统处于假期且有k个顾客,(k,1),k≥1表示系统处于忙期且系统有k个顾客,其状态转移矩阵如下:

其中:

3 系统稳态条件

定理1:若ρ<1,则矩阵方程:R2A2+RA1+A0=R是有最小非负解:

证明:A2,A1,A0是上三角矩阵,设,由R2A2+RA1+A0=R方程可得:

所以有ρ<1时,方程R2A2+RA1+A0=R有最小非负解。

定理2:MC{(Ln+,Jn),n≥0}正常返时的充要条件是ρ<1。

证明:由MC{(L n+,Jn),n≥0}正常返时,矩阵方程R2A2+RA1+A0=R0A=R最小非负解的谱半径SP(R)<1。由定理1知矩阵方程的最小非负解R的谱半径,故ρ<1。当ρ<1时,显然谱半径。

4 系统性态分析

令ρ<1,表示的稳态极限,平稳分布记为:

定理3:当ρ<1时,(Ln+,Jn)的联合概率分布为

证明:由(p0,p1)=(p0,p1)B[R],取π00为待定系数,由pk=p1Rk-1,k≥2,

由正规化条件p0e+p1(I-R)-1e=1,求得:π00

5 随机分解

L为稳态下系统忙期时顾客数,L={L+-1 J=1}。则系统处于忙期的概率为:

则L的母函数:

6 数据表格和数值例子分析

首先,取定其中三个参数值,得到系统指标受参数的影响,进而变换参数,得出结论。因此,稳态情况下系统忙期的平均队长随顾客到达率的变化的结果(见表1)。

利用二维图形分析反馈率、服务率和休假率对系统忙期平均队长的影响。

图1,设定系统参数,取定θ=0.5,σ=1。当µ相同时,随着p+的逐渐增加,E(L)是逐渐递增的,即系统在顾客到达率逐渐增大时系统内的顾客数也在逐步增多;然而在p+相同条件下,服务率µ越大,E(L)的上升趋势反而更缓慢一些。

图2,设定系统参数,取定µ=0.8,σ=0.5。当θ相同时,随着p+的逐渐增大,E(L)是逐渐递增的,即系统内的顾客数在逐渐增多;然而在p+相同条件下,休假率θ越大,E(L)的越小。

摘要：本文研究具有反馈的的Geom/Geom/1休假排队。完成服务的顾客以概率(0≤σ≤1)等待下次服务,以概率σ离开系统.运用拟生灭过程和矩阵几何解方法得到队长的稳态分布的存在条件和表达式,进而求出系统队长稳态分布的随机分解.此外,利用了数值例子进一步反映参数对平均队长的影响。

关键词：Bernoulli反馈,拟生灭过程,矩阵几何解

参考文献

[1] Meisling T.Discrete Time Queueing Theory[J].OperationsResearch,1958,6(1):96～105.

[2] 王成全,朱翼隽.具有第二次可选服务的带反馈的N-策略Mx/G/1(E,SV)排队系统分析[J].运筹与管理,2006(4):12～14.

[3] 魏瑛源,唐应辉,顾建雄.带有Bernoulli反馈的多级适应性休假的Geom/G/1排队系统分析[J].高校应用数学学报,2010,25(1):27～37.

[4] 田乃硕.休假随机服务系统[M].北京:北京大学出版社,2001:152～157.