高数第一学期期末考试复习提纲
第一学期《工科数学》期末考试复习提纲
一、 基本概念要求
(1) 理解并熟练掌握函数的四种特性,即单调性、奇偶性、有界性和周期性;
(2) 熟悉分段定义函数;
(3) 理解极限的εN,εδ,εX定义,理解极限的唯一性、有界性、保号性;
(4) 理解无穷小的概念、等价无穷小的性质;
(5) 理解极限存在的两个准则并会应用这两个准则证明极限的存在性;
(6) 理解并熟练掌握函数的连续性定义、间断点的分类;
(7) 熟悉闭区间上连续函数的性质
(8) 理解导数、左右导数的定义;
(9) 理解函数微分的定义及其近似公式;
(10) 理解微分中值定理并熟悉三个定理的条件、结论;
(11) 熟练掌握函数的单调性与极值、凹凸性与拐点的判定定理和方法;
(12) 理解并掌握原函数与不定积分的概念和性质;
(13) 理解定积分的定义、定积分存在的必要条件和充分条件;
(14) 理解并掌握定积分的性质特别是估值定理和积分中值定理;
(15) 理解并掌握变限积分的定义和性质,理解并掌握牛顿—莱布尼兹公式;
(16) 理解并掌握定积分应用的元素法;
(17) 理解两类广义积分的定义及其敛散性。
二、 基本运算和论证能力要求
价无穷小代换、洛比达法则等; (1) 熟练掌握求极限的基本方法,如四则运算法则、极限存在法则、两个重要极限、等
(2) 熟练掌握求导的基本方法,如复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数的
求导、对数求导法、高阶导数等;
(3) 熟练掌握分段定义函数在分段点可导性的讨论方法;
(4) 能够运用微分中值定理和函数的单调性证明某些不等式,运用微分中值定理证明某
些方程的根的存在性和唯一性;
(5) 能够运用导数的知识对函数的性态进行分析,熟练掌握函数图形的描绘;
(6) 熟练掌握函数的极值、最大值、最小值问题的求解方法;
(7) 熟练掌握不定积分的基本求解方法,特别是第
一、二类换元积分法、分部积分法等;
(8) 熟练掌握定积分的基本求解方法,熟练掌握变限积分有关问题的求解方法;
(9) 熟练掌握定积分的几何应用,特别是在直角坐标系下的面积、体积的计算。
(10) 理解并掌握广义积分的定义、审敛和计算方法。
重点:会求多元函数的定义域、极限、偏导数(注意复合函数链式法)、全微分;会判断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件;会求多元函数的极值(特别是条件极值)、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线(向量)以及方向导数及方向余弦。
一、单项选择题
1.设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在,则fx(x0,y0)()。
A.limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)B.lim x0x0xx
f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)C.limD.lim xx0xx0xx0xx0yy0
2.函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的()条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的
3.设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().
A.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点
C. f(x,y)在(x0,y0)有定义D. (x0,y0)为连续点
4.设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().
A.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5. 若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续,则()。
A.limf(x, y)必不存在;B.f(x,y)必不存在; xxyy
C.f(x, y)在点(x,y)必不可微;D.fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的()
A.必要非充分条件;B.充分非必要条件;
C.充分且必要条件;D.既非充分又非必要条件。
7.考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质:
①函数f(x, y)在点(x,y)处连续; ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续;③函数f(x, y)在点(x,y)处可微; ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是()。
A.②③①B.③②①C.③④①D.③①④。 8.下列极限存在的为().
x2x11A.limB.limC.limD.limxsin
x0xyx0xyx0xyx0xyy0
y0
y0
y0
x2y
9.二元函数极限lim为()。
(x,y)(0,0)x4y
2A.0B.;C.2D.不存在 10.设f(x,y)xyex,则fx (1,x)()。
A.0B.eC.e(x1)D. 1+ex 11.函数zLn(x3y3)在(1,1)处的全微分dz=()。
A.dxdyB. 2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)
2z
12.设zesin3y,则。()
xy
2x
A.e2xsin3yB.e2xe2xsin3yC.6e2xcos3yD.6e2xsin3y 13.设yxey0,则
dy
()。dx
eyey1xeyxey1A.B.C.D.xey11xeyeyey
14.设函数zfx,y在点(0,0)的某邻域内有定义,且fx0,03,fy0,01,则有().
A.dz0,03dxdy.
B.曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1.
C.曲线
zfx,y
在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3.
y0
zfx,yD.曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1.
y0
15.设函数 f(x,y)x8y6xy5,则f(x,y) (D)。A.在(0,0)点有极小值B.没有极值
C.在(0,0)点有极大值D.在(1,16.函数fx,y4xyx2y2的极值为()。
)点有极小值2
A.极大值为8B.极小值为0C.极小值为8D.极大值为0 17. 函数z2xy在点(1,2)沿各方向的方向导数的最大值为()。A.3B.C. 0D.
5二、填空题
1.函数zln(1x)
yx2xy1的定义域是______________________。
2.极限lim
sinxy
__ _______。
x2yy0
lim
3.二元函数的极限
(x,y)(0,0)
x2y2cos
。 2
2xy
4.设ze
x2y
,则dz。
5.设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定,则
z
= ______________ 。x
6.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),
在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。
x0
7.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线
zf(x,y),
在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。
x0
8. 若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9.旋转抛物面zxy1在点(2,1,4)处的切平面方程为 10.曲面ze
x2y
2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。
11.曲面 zxy3上点(1,2,2)处的单位切向量为_________________ 12.求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。
13.函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数
u
=。 l
14.uxyz在点M(5,1,2)处沿点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数为。
三、解答题 1.
计算极限:
。
(x,y)(0,0)lim
(x,y)(0,0)lim
(1,1)
.计算极限:
3.设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定,求dz4.设zeusinv,而uxy,vxy求
。
zz和.xy
zz2zx
5.设函数zz(x,y)由方程ln所确定,求 。 ,
zxxyy
y22z
6.设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数,求。
xxy
7.设函数u(xy)z,求du
(1,2,1)
。
8.设x,y均是z的函数,且
xyz0dxdy
,。 ,求22
2dzdzxyz1
8.已知两点A(2,2,2)和B(1,3,0),求向量的模、方向余弦和方向角. 9.求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10.求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。 11.求函数fx,yx3y33x23y29x的极值.
12.将一个正数a分为三个正数x,y,z之和,当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大. 13.求函数zxy1在y1x下的极值。
14.求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。 15.求表面积为a而体积最大的长方体。
17.求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭
2
222
矩形区域D上的最大值和最小值。
19.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告,据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式: 。 R(x,y)1514x32y8xy2x210y2,求最优广告策略(利润=收入-成本)
四、证明题
x2y2
1. 证明极限lim不存在。
(x,y)(0,0)x2y2(xy)2
2.证明极限lim(1
xy
1)x
x2xy
不存在。
xy
,x2y2022
3. 设函数f(x,y)xy,证明:函数在(0,0)点不连续。
0,x2y20
4.设zx
y),求证x
zz1y。 xy2
5.设zxyyF(u), 而u
xzz,F(u)为可导函数,证明xyzxy yxy
zz
b1。 xy
6.设f为可微函数,且xazf(ybz),证明:a
2u2u2u
7.函数u(xyz),证明:2220。
xyz
2
8.证明:曲面xyzc3(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.
定积分
1、 变上限定积分求导数
dxf(t)dtdxa,
2、 定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式(用到不定积分主要公式tdt、1dt、edt、tt, sintdt、costdt,凑微分法)
3、 对称区间奇偶函数的定积分,
4、 定积分的几何意义,
5、 a0,a1dxx收敛、发散的充要条件,
6、 定积分应用:求平面曲线所围成图形的面积,已知边际收益,求平均收益。
多元函数
1、 求已知多元函数的偏导数及全微分,
2、 半抽象函数的一阶偏导数,
3、 求一个已知二元函数的极值,
4、 直角坐标系下f(x,y)dxdy的计算及交换
D二次积分的顺序。
微分方程
1、 一阶微分方程,
2、 可分离变量微分方程求解,
3、 一阶线性非齐次微分方程的求解(公式法、常数变易法)。
无穷级数
记住e、sinx、cosx展开式,并理解展开式中的x可以换元。
线性代数部分
1、 计算行列式,
2、 矩阵乘法,
3、 利用行变换求矩阵的秩,
4、 方阵可逆的充要条件,矩阵可逆时求逆矩阵,
5、 非齐次线性方程组AXB无解、有解、有唯一解、有无穷多解的充要条件,一个具体的线性方程组的求解,
6、 求一般二阶方阵和特殊三阶方阵(对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵)的特征值及特征向量。 xmnn1m1
10级下学期高等数学(3)本科考试内容及要求
第五章 定积分及其应用
1. 理解定积分的性质、几何意义。
2. 掌握积分上限函数的求导、能用洛必达法则计算积分上限函数的极限。
3. 掌握微积分基本公式,能计算分段函数的积分,能用换元积分法和分部积分法计算定积分。能够用换元法证明有关定积分的等式。
4. 在直角坐标系下,能用定积分计算平面图形的面积,能计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体的体积。
第六章 常微分方程和差分方程简介
1. 理解微分方程的基本概念,方程的阶、方程的通解、方程的特解。
2. 能辩别齐次方程、可分离变量方程、线性方程的不同特点。
3. 能求可分离变量方程、一解 线性微分方程的通解、特解。
第九章多元函数微分学
1. 理解多元函数极限、连续的概念,会求函数的定义域。
2. 能求简单多元函数的极限,掌握证明多元函数极限不存在的方法。
3. 掌握偏导数的计算(一阶、二阶、混合偏导数)。掌握复合函数的链式求导法则(包括抽象函数的一阶偏导数)。
4. 会计算隐函数的一阶偏导数。
5. 会求函数的全微分,理解函数连续、偏导数存在、全微分存在之间的关系。
6. 理解多元函数极值的概念,会求多元函数的驻点,能运用定理9。10对极值点进行判断。
第十章多元函数的积分学
1. 掌握在直角坐标系下二重积分的计算。
2. 在直角坐标系下能交换积分秩序。
参考习题
第五章 P1825 (1),(3);P,(4); 6 (1),(3),(6),(11),(14); 7815 (3)
8;P1931 (3),(8),(11),(12),(15);6;8;10 (2),(5),(6),
(10);P2111(2), (4); 2; 8; 9
第六章 P,(4),(9),(10),(12);2 (2),(3),(4); 101 (3)
第九章 P1294 (4),(7);5 (1),(3),(6);6 (1),(2);P,(3); 731 7(2)
10 (3),(4);17 (2),(5);P 341 1,2,5,9;P152 1,2,4;5;P169 3,4;
第十章 P1892,4 (1),(2);
试卷结构
判断题15%,选择题15%,填空题30%,计算题30%,证明题10%。
三角函数基本公式(如积化和差,和差化积,二倍角公式等等)
反三角函数的值域与其对应三角函数的关系
数列的极限——注意数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件
函数极限的部分性质(唯一性,局部保号性,局部有界性)
无穷小与无穷大(后者是重点)
极限运算法则(不会直接考察,但题目中一定会用到,所以说是重点)
夹逼准则,几个重要不等式,两个重要极限(都是重点)
理解高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,等阶无穷小的联系及区别
函数的间断点(第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,其他的统称为第二类间断点)
导数的求导法则(重中之重!)
反函数,复合函数的导数的求法,及隐函数的求法(必考,重点)
微分与积分的联系与区别(微分=积分dx)
罗尔定理,拉格朗日中值定理的应用(必考)
洛必达法则的使用条件及如何使用
函数的极值与最值,驻点与拐点的区别
不定积分,定积分之间的联系(重点是其中的公式,要熟记)
河北科技大学2003级
高等数学(下)期末考试试题1
一、填空题(共15分)
1. (5分) 微分方程y3y2y0的通解为2. (5分) 设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.
D
3. (5分) 设zf(exy),其中f可微,则dz
二、选择题(共15分)
1. (5分) 若anxn在x2处收敛,则此级数在x1处().
n1
(A)条件收敛;(B)绝对收敛;
(C)发散;(D)收敛性不确定.
2. (5分) limun0是级数un收敛的(). nn1
(A)充分条件;(B)必要条件;
(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.
3. (5分) 已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元
函数的全微分,则a = ().
(A)0;(B)2;(C)1 ;(D) 2;
三、解答题(共56分)
1.(7分)已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于 平面x2yz4,求P点的坐标.
2.(7分)设zf(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求xy2zxy2.
3.(7分)计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为 xx
由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周yaxx2(a0).
4.(7分)将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数. 5.(7分)判别级数(1)n
n1
lnnn
n
的敛散性.
6.(7分)求幂级数
n1
(x3)n3
n
的收敛域.
7.(7分)计算曲面积分
I
(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy
333
其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.
8.(7分)试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.
四、应用题(8分)
在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.
五、证明题(6分)
证明:曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行,
其中函数g可导.评分标准(A卷)
一、(每小题4分)
1.yC1e
x
C2e
2x
;2.
323
;3.f(exy)exy(ydxxdy).
二、(每小题4分)1.(B);
二、解答题
2.(B);3.(D).
2
1.(7分) 解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分
已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分
1
令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分
于是
111
P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分
3927
解
2.(7分)
zxy
zx
23
3xfxyf1xyf2, ┄┄┄┄3分
34
yf22┄┄┄┄7分 4xf12xf2xyf11
3.(7分) 解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分
C(esinyy)dx(ecos1)dydxdy
D
xx
a212
()a.┄┄┄4分 228
而
OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分 1
a0a.┄┄┄┄7分
88
11x
xx
I
4.(7分) 解 f(x)
(1)x
n0
n2n
(x1),┄┄┄┄3分
f(x)(1)
n0
n
12n1
x
2n1
┄┄┄┄6分
x[1,1].┄┄┄┄7分
n
(1)
5.(7分) 解lim
n
lnnn
limlnn,
n
1n
(或当n3时,
(1)lnn
n
n
lnnn
1n
)┄┄┄┄2分
而
n1
1n
发散,
n1
(1)
n
lnnn
发散.┄┄┄┄4分
令un
lnnn
,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分
n
由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分 6.(7分) 解lim
an1an
n
lim
n3
nn1
n
(n1)3
,R3, ┄┄┄┄3分
3又当x33,即x0时,级数
n1
(1)n
n
收敛; ┄┄┄┄5分
当x33,即x6时,级数
n1
1n
发散┄┄┄┄6分
故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分 7. (7分)解利用高斯公式及球坐标有
I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分
30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分
2a2
2
12a
5.┄┄┄┄7分
8. (7分) 解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分 特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分
f(x)x
12
12
cos2x,┄┄┄┄3分
12
0 是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分
*
的一个特解形式为
又02i不是特征根, 2y5y
*
12
cos2x的一个特解形式为
y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故 原方程的一个特解形式为
yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分
四、 解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x),┄┄┄┄1分 点(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx),┄┄┄┄2分 令Y0,得切线在x轴的截距Xx
***
yy
,┄┄┄┄3分 y
梯形的面积为S
12
(xX)y
12
(2x
y
)ya,
即2(xya)yy,┄┄┄┄4分
化为一阶线性方程
dxdy
2y
x
2ay
,┄┄┄┄5分 2a
代入公式或用常数变易法求得通解:x
3y
Cy.┄┄┄┄7分
将初始条件y
xa
a代入通解得C
2a
13a
,
故所求曲线方程为x
3y
y3a
.┄┄┄┄8分
五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分
取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分
故原结论成立. ┄┄┄┄6分
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