函数值域

第一篇：函数值域

求函数的值域常见类型

求值域的几种常用方法

(1) 观察法、直接法、配方法、换元法：

对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

(2)基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

22

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数y2x133的值域[,] x22x222

(4)分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数y

(5)利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

(8)导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。(-48)

m，(m>0)的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：(1)如yx，求(1)单调区间(2)x的范围[3,5]，求值域(3)x  [-1,0 )(0,4],求值x(9)对勾函数法 像y=x+

域

(2)如 yx4求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间(x0或x4) x4，

1， (1)求[-1,1]上的值域(2)求单调递增区间 x3(3)如y2x

例1.

1、已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2. 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

3、已知函数f(x) ,x[1,).若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围。x

第二篇：求函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;

②逆求法(反求法)：通过反解x，用y 来表示 ，再由 x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围;

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域;

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

第三篇：用反函数法求值域

一、 反函数法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y2x的值域。 x1

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。 yy2xx反解得x即y x12x2y

故函数的值域为：y(,2)(2,)。(反函数的定义域即是原函数的值域)

ex

12、求函数yx的值域。 e1

解答：先证明yex1有反函数，为此，设ex1x1x2且x1,x2R，

ex11ex21ex1ex2y1y2x12x10。 e1ex21(e1)(ex21)

所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y1ln。此函数的定义域为1x

x(1,1)，故原函数的值域为y(1,1)。

第四篇：Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。 特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。

1. 伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数

思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。

2. 不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数

思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开;误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。

3. 指数积分

思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛;对于0

4. 不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布

思想：不完全B函数用连分式表示更为有效，学生分布、F分布和累积二项式分布概率函数可以用不完全B函数推导出来。

5. 整数阶贝塞尔函数

思想：贝塞尔函数满足递推关系：

Jn+1(x)=(2n/x) Jn(x)-Jn-1(x)

Yn+1(x)=(2n/x) Yn(x)-Yn-1(x)

计算整数阶贝塞尔函数的实用策略分成两步：第一步，如何计算J0, J1, Y0和Y1;第二步，如何使用稳定递推关系找到其他J和Y。

6球面调和函数

思想：数学上可以将调和函数与连带勒让德多项式联系起来。求解连带勒让德多项式的方法有很多，它满足很多递推关系。

7. Fresnel积分、余弦和正弦积分

思想：Fresnel积分当x较小时，对任意的精度要求，计算函数值最方便的方法是幂级函数;x较大时，则用连分式。余弦和正弦积分可以用幂级数和复连分式相结合的方法求函数值。

8. Dwason积分

略

9. 椭圆积分和雅可比椭圆函数

略

10. 超几何函数

思想：通过复平面上的直线积分求此函数值的方法。

这章太长了，而且我完全不知道在讲什么+_+

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

第五篇：高考数学解析几何最值问题常用技巧-分式函数值域问题分类导析

分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法. p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)的函数叫做分式函q(x)

数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次.下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论.

1. 一次分式函数

p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如axbf(x),xA,c0的函数. cxd

一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成xf1(y)，由于xA，则f1(y)A，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域.

2x3例1. 求函数y，x[3,8]的值域. x

22y32y38，解得解：改写成x，因为x[3,8]，所以3y2y2

1919y9，即原函数的值域是[,9]. 66

2.二次分式函数

p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2bxc,xA,a、d不全为零的函数. 即形如f(x)2dxexf

若A=，则可采用根的判别式法求值域. {x|dx2exf0｝

x24x

5例2.求函数y2的值域.

x4x

4解：化为关于x的方程(y1)x24(y1)x4y50.若y=1，则方程无解，即y1.因为xR，所以0，解得y1，即原函数的值域是(1,).

若A，则再分类讨论. {x|dx2exf0｝2.1.形如f(x)

c

，xA,d0且c0的函数.

2dxexf

先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域.

例3.求函数f(x)

,x[3,5]的值域. 2

x2x

3解：令g(x)x22x3(x1)24,x[3,5]，

1

1则g(x)[4,12]，所以函数f(x)的值域是(,][,).

412

bxc

2.2.形如f(x)2，xA,d0且b0(*)

dxexf

ax2bxc

或f(x)，xA,a0且e0的分式函数.

exf

下面就形式(*)讨论解法.

b

2.2.1.若c=0，则分子分母同除以x，得f(x)=.只要讨论

fdxe

x

f

函数g(x)dx,xA且x0的值域.

x

不妨设d0.若f0，则函数g(x)在(,0)和(0,)上分别是增函数;若f0，则函数g(x)在(0,

ff]和[,0)上分别是减函数，在dd

ff

]上分别是增函数.这样利用函数g(x)的单调性，先[,)和(,dd

求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域.

x

,x[1,)的值域. 2

x2x414

,x1.令g(x)x,x1，则g(x)4，所以解：f(x)

4xx2x1

函数f(x)的值域是(0,].

6例4.求函数f(x)

2.2.2.若c0，则换元，令tbxc，转化为2.2.1.形式的分式函数.

x1

例5.求函数f(x)2,x(1,3)的值域.

x2x3

t1

,t(0,4). 解：令tx1，则y2

4t4

tt

41

因为t(,3)，所以函数f(x)的值域是(,0)(,).

t3

ax2bxc

,xA,a0且d0的分式函数. 2.3.形如f(x)2

dxexf

2.3.1.若bc0或ef0，则分子分母同除以x，转化为求关于的

x

二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域.

x21

例6.求函数f(x)2,x[,1]的值域.

x4x13111

,[1,3].因为函数 解：f(x)

141x2

1(2)3x2xx

112

g(x)(2)3,[1,3]的值域是[3,2]，所以函数f(x)的值域是

xx

11

[,]. 23

2.3.2.若分子分母有一个是完全平方式，不妨设

a(xm)2

f(x)2,xA,a0且d0，则可令txm，转化为2.3.1

dxexf

形式的分式函数.

x24x4

例7.求函数f(x)2,x[1,0]的值域.

x4x5

t2111

解：令tx2，则y2,[,1].因为

1t1t212

t

151412[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]. t425

2.3.3.若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即

aeaf

(b)xca，转化为2.2形式的分式函数. f(x)ddx2exf

x24x5例8.求函数f(x)2,x[0,2]的值域.

x4x322

1,x[0,2]，解：f(x)12所以函数f(x)的2

x4x3(x2)1

值域是[

175

,]. 153

3.分式函数值域在解析几何中的运用

解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方

例9.已知直线l1：y4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小.

解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程

y4x6

是，直线PQ交x轴于点

4x04x06

5x0

A(,0).根据题意

x01

10

，

111()2x024

x01，所以SOAQ

10x02115x0

|OA|yQ4x022x01x01

x01，当x02时，SOAQ的最小值为40，Q(2,8).

此题的解法是将OAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值.

例10.设F

1、F2是椭圆3x22y26的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置.

解：设AB弦所在的直线方程是

ykx1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

SABF

|F1F2||x1x2||x1x2|. 2

ykx1

由方程组2，消去y， 2

3x2y6

得(2k3)x4kx40，则x1x221222

k32k3

4k2448(k21)22

SABF(x1x2)4x1x2(2)42， 22

2k32k3(2k3)

令t2k23,t[3,)，

SABF

24(t1)112111

24[()],0， 2

tt24t3

SABF当t=3时，

43

有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴.

此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值.

第六篇：类的构造函数 析构函数与赋值函数

构造函数 析构函数与赋值函数是每个类最基本的函数。它们太普通以致让人容易麻痹大意，其实这些貌似简单的函数就象没有顶盖的下水道那样危险。

每个类只有一个析构函数和一个赋值函数，但可以有多个构造函数(包含一个拷贝构造函数，其它的称为普通构造函数)。对于任意一个类A，如果不想编写上述函数，C++编译器将自动为A产生四个缺省的函数，如

A(void);// 缺省的无参数构造函数

A(const A &a);// 缺省的拷贝构造函数

~A(void);// 缺省的析构函数

A & operate =(const A &a); // 缺省的赋值函数

这不禁让人疑惑，既然能自动生成函数，为什么还要程序员编写?

原因如下：

(1)如果使用“缺省的无参数构造函数”和“缺省的析构函数”，等于放弃了自主“初始化”和“清除”的机会，C++发明人Stroustrup的好心好意白费了。

(2)“缺省的拷贝构造函数”和“缺省的赋值函数”均采用“位拷贝”而非“值拷贝”的方式来实现，倘若类中含有指针变量，这两个函数注定将出错。

对于那些没有吃够苦头的C++程序员，如果他说编写构造函数 析构函数与赋值函数很容易，可以不用动脑筋，表明他的认识还比较肤浅，水平有待于提高。

本章以类String的设计与实现为例，深入阐述被很多教科书忽视了的道理。String的结构如下：

class String

{

public:

String(const char *str = NULL); // 普通构造函数

String(const String &other); // 拷贝构造函数

~ String(void);// 析构函数

String & operate =(const String &other); // 赋值函数private:

char*m_data;// 用于保存字符串

};