解题专家:数学教师成长的一个方向
当前,数学课程改革正在深入进行,数学教师的专业要求越来越高。数学教师要注重课程设计;掌握多样的教学方法;提供各类数学活动的机会;熟练运用现代信息技术;开发丰富的学习资源;建立方法多样的评价体系;等等。这些要求无疑十分必要,有待加强。与此同时,我们也不能降低对数学教师解题能力的要求。事实上,解题是数学教师的立足之本。一位数学教师,如果他的解题能力有限,他将难以胜任正常的数学教学任务,遭受来自学生、家长、领导、同行等各方面的压力。
此外,数学教学中题海战术愈演愈烈,如此效率低下的重复劳动,损害了师生身心健康,造成了大量学生厌倦数学。因此,研究数学教师如何成为解题专家,有着现实的意义。
一、 数学解题与解题专家
1.数学问题与数学解题
对某人来说,如果一个系统中至少有一个元素、性质或关系是他所不知道的,那么这个系统对于他就是问题系统。如果这个问题系统的元素、性质或关系都是有关数学的,那么它就是一个数学问题。
涂荣豹指出,数学解题是按照一定的策略进行的一个逻辑思维过程,其每一步都是有一定根据,并且是一步一步地靠近目标,最后达到目标。数学解题作为一个思维过程,其最大的特点在于它是一个渐进的、曲折的过程。
波利亚强调:“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练……掌握数学就是意味着善于解题。”单墫教授指出,解题是数学的一大特点,其他学科,例如语文,也需要习作,需要命题作文,但其数量与种类均不能与数学的习题相提并论。至于物理、化学、生物等学科,培养动手做实验的能力,比培养解题能力更为重要。即各门学科的学习既有共同规律,又有各自特点。数学学习者通常的活动形式是,动手动脑不动口,采用纸笔演练,独立地解足够数量的题目,以达到熟悉数学知识、掌握解题技巧、提高思维能力的目的。
2.数学解题专家
所谓专家就是指在特定领域中具有专业知识的人,他们能够有效地思考该领域的问题。自然地,数学解题专家就是指熟练掌握数学解题技能、能够有效指导数学解题的人。研究表明,专家能识别新手注意不到的信息特征和有意义的信息模式;专家获得大量的内容知识,知识的组织方式反映专家对学科的理解深度;专家能够毫不费力地从自己的知识中灵活地提取重要内容;专家应付新情境的方法灵活多样;专家围绕核心概念或“大观点”组织知识。专家将精力集中于运用策略,完成需要高水平思维方面的任务。在解决常规问题时,专家比新手快得多。但在解决困难的新问题时,专家用于表征问题的时间比新手要长一些。
刚刚接触数学新知识的学生无疑是一名解题新手,对数学知识理解未必熟练,数学基本技能掌握未必扎实,数学思想方法掌握未必深刻。数学教师为了提高学生的解题能力,遵循“熟能生巧”的古训,通常采用大运动量的解题训练。固然,解题是数学学习的特色,解一定量的数学题目必不可少,搞题海战术在短期内确实可以巩固数学知识,提高数学成绩。然而从长远来看,题海战术并不能确实提高学生的数学素养,当学生面临新的情境或现实问题时往往不知所措。更为严重的是,这种训练要耗费学生和教师大量的时间与精力,损害师生身心健康,导致大量学生厌恶数学。
相比而言,数学教师是解题能手。一般来说,数学教师学习数学的年限较长,解过的数学题目较多,数学解题能力较强,解题理论的学习较系统。但要成为解题专家,还需要不断地学习、实践与反思。数学教师成为解题专家,能够深刻把握解题规律,有效指导学生的解题活动,确实提高学生解题水平,避免盲目的大运动量的解题训练。教师解题是为了学生不解题,即避免学生盲目解题、解不必要的题、解太多的题。让大多数学生既提高数学解题能力,保持对数学的兴趣,又提高学习效率,拥有身心健康,这是我们追求的目标。
二、 解题专家与教师专业成长
1.数学教师专业成长
教师专业成长,是指教师在所从事的教育工作中,把握各种进修机会,不断学习成长,增强专业知识,调整专业态度,振兴专业精神的过程;并透过某种互动形态,使教师们彼此激发各方面的专业发展。
数学教师应该适应不断发展的社会要求,努力提升自己的专业化水平,力争成为某个领域的专家。例如,数学教师可以成为解题专家、课程设计专家、教学专家、课件制作专家、课程开发专家、课程评价专家,等等。
数学教师的专业素养是教师质量的集中体现,数学教师专业化的构成大致包括三个方面:专业知识、专业技能和专业情意。
专业知识是教师在认知领域的素养,比如,普通文化知识;数学内容知识;数学思想方法等。专业技能是教师从事数学教学工作的基本技能和能力,比如,教学设计技能;课堂教学技能;教学研究技能;应用教学媒体技能等。专业情意是数学教师情感领域的素养,比如,工作动机;自我价值观;教学观等。专业知识是数学教师专业化的基础,解题主要反映了解题者的数学知识掌握情况和数学思想方法应用情况,解题能力是专家教师必备的基本素质。
2.数学教师成长为解题专家
“核心竞争力”是美国著名管理学家布罗哈德和哈默共同提出的,应用于各个领域。作为数学教师,数学解题能力就是一种核心竞争力。目前,很多学校招聘数学教师的时候,往往要纸笔测试应聘者的初等数学解题的能力。如果没有较强的解题能力,很可能第一轮就刷下来,失去试讲的机会。一位数学教师在走上工作岗位后,如果他的解题能力有限,他将难以从容面对学生提出的疑难问题,难以在学生中树立必要的威信,遭受来自各方面的压力。反之,如果他拥有较强的解题能力,就有可能在教学工作中如鱼得水,建立良好的师生关系,获得更多的进修、升迁等机会。作为数学教师,提高自己的解题能力,力争在解题领域有所作为,直至成长为解题专家,不论是对学生发展还是对自己的专业发展,有百利而无一害。
三、 数学教师如何成为解题专家
数学解题专家既是解题实践家又是解题理论家。他们一般会自觉学习数学解题理论,寻求理论支撑。他们对于解题有着持续的热情,善于解决一些高难度的数学题目。他们往往注意搜集各种层次的数学习题,能够自行命制题目。他们有比较强的表达能力,善于展示自己的解题过程。他们有比较强的反思能力,而不仅仅是解题机器。我们认为,数学教师可以从如下几个方面着手,努力成为解题专家。
1.学习解题理论
没有解题理论的指导,解题实践变成盲目的、低效的行为;有了解题理论的指导,解题实践变成自觉的、迁移的行为。国内外数学家、数学教育家对数学解题理论进行了卓有成效的探究。波利亚撰写的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》等堪称数学解题理论经典之作。罗增儒撰写的《数学解题学引论》,对数学解题学的创立颇有建树。单墫撰写的《解题研究》,娓娓道来,深受启发。除此之外,英国开放大学数学教学中心主任梅森、前苏联数学教育家奥加涅相、美国数学教育家舍费尔德等,对于解答数学问题都曾作过深入的研究,发表过精辟的论述。学习这些解题理论,无疑会使我们站在更高的平台,指导我们的解题活动,提高我们的解题能力,使我们的解题活动由盲目行动转向自我控制。
2.经历解决难题
一般来说,数学教师解过为数不少的授课范围的题目,不妨再找一些课外习题特别是数学竞赛题目做做。初等数学中有大量未解决的问题,数学教师可以一试身手。现在数学课程标准倡导“研究型学习”,数学教师应该率先垂范。当然,并不要求数学教师解太多太难的数学问题,只是期望他们对数学保持适度的兴趣。波利亚指出:“有一条绝对无误的教学法假如教师厌倦他的课题,那么,整个班级也将毫无例外地厌倦它。”
另一方面,因为闻道有先后,在你看来很容易的题目,而对学生而言却是难题,你没有面临难题的心理体验,怎么能准确地把握学生特别是学习困难学生的心理活动,从而顺利地传道授业解惑呢。没有多少人愿意不厌其烦地去解决早已烂熟于心的问题,它几乎是条件反射式的自动生成过程,其间没有多少豁然开朗的体验,缺乏挑战性和启发性。数学教师通过解决难题,洞悉解题的心理活动规律,更好地服务于教学。
3.回顾解题过程
波利亚的“怎样解题表”的最后阶段即回顾。他指出:“通过回顾完整的答案,重新斟酌、审查结果及导致结果的途径,他们能够巩固知识,并培养他们的解题能力。没有任何一个题目是彻底完成了的,总还会有些事情可以做。”涂荣豹指出,回顾解题即在进行了必要的解题活动后,回过头来对自己的解题活动加以分析研究。回顾解题是解题学习的最重要的环节,包括检验解答、讨论解法、推广结果和思维活动反思等方面。
当然,我们不会解完每个题目后都进行回顾。当解完一个自己感觉是全新的、与众不同的、富有价值的题目时,要不失时机地回顾:这样解正确吗?我为什么会这样解?有没有更好的解法?这种解法是普适的吗?解题过程中用了哪些知识点?知识和方法是如何巧妙地融为一体的?它能引发我进一步的思考吗?等等。数学教师有了这样的回顾经历,在教学中会自然而然地引导学生进行解题回顾,从而有利于学生深化数学知识的认识,领悟数学思想方法的真谛,促进思维结构的优化。
4.展示解题过程
数学教师如果将整个思维过程,尤其是解题方法的搜索过程讲述出来,其实就是将许多头脑内部的活动变为可传递的信息,用语言展示出来,渗透在教学行动中,这对学生今后的解题活动无疑具有十分重要的指导意义。
解题过程的展示的最好舞台当然是在数学课堂。在这方面,单墫是我们学习的典范,他经常在课堂上将一个没有做过的数学难题,现场在黑板上进行演练,使学生能够领略到解题大师的风采。数学教师不必每个问题在课前预先演练,生怕挂一漏万。事实上,我们认为数学教学具有生成性的一面而非事事预设。我们可以选择某些与课堂教学内容相关的问题,事先不形成解答思路,而在课堂上尽情展现自己思考的角度、方法和策略。诚然,我们也可能有思维卡壳的时候,我们也可能犯学生同样的低级错误,但这并不要紧,重要的是我们享受到了解题的妙趣,提供给学生青出于蓝而胜于蓝的机会。可能有的教师怕在学生面前丢面子,在顾及自己面子和提高学生解题能力二者之中,显然后者更加重要。
此外,数学教师可以把自己解决问题的过程写成论文或日记,及时保留解题过程,特别是其中稍纵即逝的灵感闪现。由于不是课堂上的即时展现,所以有充足的时间进行梳理与反思。笔者曾经撰写两篇小论文,在展示解题过程方面做了一些尝试。罗增儒撰写过一系列展示解题过程的论文,值得我们借鉴。
5.尝试编制命题
爱因斯坦曾经指出:“提出一个问题比解决一个问题更重要”。我们不应该把提出问题与解决问题割裂开来,而应看成紧密相连的两个环节。提出数学问题,编制数学命题是提高数学解题能力的一条有效途径。我们首先要对一道好的陈题(课堂讲解的例题、课本上的习题、历年的高考题、中考题、各级各类竞赛题等)细心把玩,研究题目的条件和结论、解决问题采用的策略和方法。在此基础上,或者进一步推广、或者增加条件、或者减少条件、或者改变条件、或者改变结论等,编制出新的题目。事实证明,改造陈题,推陈出新,是编制数学命题的一条重要途径。《数学通报》、《中等数学》、《数学教学》等数学期刊都刊登编制的数学题目,为数学教师提供了展示的平台。我们平时鼓励师范专业学生尝试编制习题。例如,学生在学习了一道2000年国家集训队测验题后,进一步探讨四边形的轨迹问题,并在教师的指导下,解决了该问题。
2000年国家集训队测验题:△ABC是正三角形,在此三角形内部求满足条件∠QAB+∠QBC+∠QCA=90°的点Q的轨迹。
编题:四边形ABCD是正方形,在此正方形内部求满足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°的点Q的轨迹。
6.扩展解题范畴
单墫认为,解题是广义上的数学解题,不仅包括常规意义上的解题训练,也包括以问题为形式而开展的公式、定理的教学。数学课程标准中提出的开放题、探索性题、大型作业题、数学建模等新的题型,显然也要纳入解题的范畴。例如在学习一元二次方程这一章节内容时,以前只是要求会解一些一元二次方程,而在新课程下解题教学的性质发生了转变,会出现利用一元二次方程模型来解一些建模题和大型作业的题目以及与一元二次方程有关的开放题。
数学教师可能认为,中考、高考又不考数学建模、大型作业等题目,我们没有必要掌握。数学教师应该具有超前意识,着眼于学生的发展,不能一切围绕考试转。事实上,在上世纪80年代没有多少人知道的开放题,现在大家耳熟能详,并且已经进入考试命题范围。数学教师要加强新题型的理论学习,经历解决这类问题的实践活动,尝试编制这类命题,以适应新时代数学教学的要求。
数学是需要智力参与的一门学科,不是每个人随随便便就能成为解题专家,但这并不能妨碍数学教师将解题专家作为自己的奋斗目标。当我们朝着这个方向努力行动时,不知不觉中会发现自己的数学解题能力上了一个台阶,数学教学水平上了一个层次。
参考文献
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[10] 刘凯峰.“算两次”的偶然一试.中学数学教学参考,2005(8).
[11] 钟志华.数学思想方法的理解探索.教学与管理,2009(4).(责任编辑刘永庆)
作者：刘凯峰 钟志华
摘要：解题能力是数学教师必备的业务技能与基本素质，其特点可概括为独创性、灵活性、合理性与简明性，教师掌握数学解题能力有助于提高其运算能力、拓展空间想象能力、培养逻辑思维能力，能够更好地分析和解决实际问题。为了提高数学教学水平，数学教师需要树立学以致用的观念、形成严密的数学思维、积累丰富的数学知识、激发创新思维和拓展发散思维。
关键词：数学教师;数学思维;解题能力
要培养学生的解题能力，教师也应具备相应的能力;解题能力是数学教师必备的业务技能与基本素质。然而，对数学教师解题能力的特点、意义和培养策略等，无论是理论层面还是实践层面，都还没有形成系统研究。因此，应对这些问题进行深入关注与探讨。
一、创新视野下数学教师解题能力的特点
创新视野下数学教师解题能力与其他专业能力相比，有其显著特点，主要表现为以下几方面。
1.独创性。解题能力的独创性是指教师在数学教学过程中，深刻理解教材，对所教知识有明确的认知与深刻的理解，具有独创性的见解。因此，独创性主要也表现为不照本宣科，不教条主义，能独立思考，能同中求异，异中求同，善于运用类比和归纳的方法探寻出新的解题方法。
2.灵活性。所谓解题能力的灵活性，是指数学教师掌握扎实的数学知识，活学活用，能在数学教学过程中，抓住重点和难点，善于把握数学的核心问题，能快速、准确地找到解决数学问题的途径，顺利破解难题，高效及时地完成教学任务;对其他数学问题能超脱于传统的解法，结合客观条件，产生一种乃至多种创新的解题方案等。
3.合理性。解题能力的合理性是指教师能依照数学规律，科学与艺术地解答数学问题。“科学”有准确性的含义，就是教师的解题过程、结果应该是准确无误的，最终能推导出题目所要求的结论，结论经得起历史的检验，在某个时空范围内具有相对稳定性。“艺术”有巧妙之意，即教师的数学解题方法比较新奇巧妙，能想到别人想不到的方法，能用较为独特的方法，揭示条件与结论之间的因果关联，提高解题的速度与准确度。
4.简明性。解题能力的简明性是指教师在教学中对数学问题的陈述和讲授清楚明了，语言、文字、符号等简明扼要、条理清晰。在分析问题时能抓住问题的实质与全貌，能用最简洁的语言进行概括、推广、引申和归纳，阐述较复杂的数学问题，避免冗长、烦琐，能化难为易、化繁为简。通过运用归纳法、分析法等手段，简洁明了地推出解题思路，采用切实可行的方法推出解题步骤，用举一反三的解题方法迁移到同类问题的解决当中。
二、创新视野下数学教师解题能力的意义
培养数学教师的解题能力不仅是促进其专业发展的重要手段，也是教育发展的必然要求。
1.解题能力是教师数学素质的核心。解题能力得不到提升，数学教师的素质是不健全的，数学教学的改革也是不可能成功的。解题能力是教师的核心素养，也是培养学生数学解题能力的前提，是实施素质教育的基础。素质教育的核心是培养学生的能力。所以，教师的能力是教师素质的核心，是基础教育课程改革的关键。对数学教师而言，要顺利开展素质教育，必须要提高自身的素质。由于解题能力是数学学科的核心知识。近年来，各国普遍将培养教师的数学解题能力放在数学教育改革的突出地位，持续改进数学教学原则与方法，促进数学教育现代化运动，将解题能力的培养放在比数学知识的学习更为重要的地位。
2.有利于提高数学运算能力。作为一名数学教师，运算能力是其必备的基本能力之一。基础教育的数学内容一般包括运算、估计、等差数列求和、逻辑推理等方面的知识，其知识原理虽然简单，但形式丰富、变化多端。因此，数学教师应努力提高解题能力，以便胜任教学工作的需要。在中小学数学思考题中，常常出现一些难度较大的计算题，它们乍一看都十分繁难，似乎需要大量的运算工作，有的题目用一般的方法甚至不能立即算出结果。针对这样的计算题，需要教师具备较强的解题能力，如需要教师快速找出题目中各要素之间的特殊联系，运用巧妙的计算方法，简化计算过程，使问题得以化解。
3.有利于拓展空间想象能力。拓展空间想象能力有赖于解题能力的提升。对环境的观察、抽象和分析需要空间想象能力。例如图形的处理和图形的变换都需要教师具备识图能力，即能看懂纸上画的图形，能从复杂的图形中区别出基本元素之间的基本关系，能根据题目叙述和要求，按正投影原理，依最佳投影方向，绘制出规范形象的示意图，对空间图形仔细观察并对空间图形进行解析，由二维翻转换成三维问题。解题能力不仅需要分析和观察能力，更需要抽象能力。教师空间观察、分析和抽象能力的形成需要从感知大量的直观原型开始，需要充分利用直观手段，提供足够的实物、模型或图形作为感知的对象。教师可从观察图形开始，认识图形的特征和图形间的相互关系，然后建立空间概念，学习计算规则图形的面积与空间体积，从而促进自己空间观念的形成，进而发展空间想象能力。
4.有利于逻辑思维能力的培养。思维是人脑对客观事物的认知过程，正确的认知能力，逻辑思维即是合理，通过解题能力的培养，可使教师做到一题多解，训练教师思维的广阔性，使他们弄清分析问题和解决问题的思路，掌握解决问题的方法，提高运用技能和解决实际问题的能力。通过一题多解的训练，提高解题能力，可使教师从不同的角度去思考、分析同一个问题，从而使教师的思维更加灵活、视野更加开阔，解题速度更快。
5.培养解题能力有利于分析和解决实际问题。培养解题能力有利于分析并解答现实问题。当今教育改革的目标是大力开展“素质教育”，这就需要强调数学教师解题能力的养成，强调教师学以致用，将所学的数学知识，用于解决生活与工作的实际问题。所谓“解决问题”的能力，实际上就是把数学应用于现实世界，用数学理论指导现实生活，解答数学科学前沿问题。教师学习数学不仅是指学习数学知识本身，而且包括把数学思想和工具用于解决实际问题。为了提高学生应对实际问题的能力，教师需传授学生解答实际问题的常用方法与过程，如教师在教学某些典型的奥林匹克数学问题时，常需如此。
三、创新视野下数学教师解题能力的培养
1.树立学以致用的观念。《荀子·儒效》里说：“知之而不行，虽敦必困”，意即虽然知道了，却不加以实践，必然会遇到很多困难。所以，我们学数学也如此，如果仅掌握数学知识而不用数学知识，不过是“纸上谈兵”，“花拳绣腿”，无大用处。陆游在《冬夜读书示子聿》中曾说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，”说的就是书本上学到的知识还是很浅薄的，如果不亲自参加实践，没有亲身体验，获得经验教训，要领会和掌握书本上的知识还是很难的。在当今这个知识经济一体化、信息化和数字化的时代，培养优秀的数学人才，是现代教育的一个重要目标，也是数学教师的光荣使命。因而，数学教师需要从生活实践与客观现实中挖掘数学根基、汲取数学养份，用科学的逻辑与理性的思维，在日常工作和生活中，有意地把生动活泼的理性思辨技能，通过各种数学实践，将数学知识应用于实践中，能动地推动数学知识和实践的结合，在实践中求发展，在应用中提高数学技能。
2.丰富数学知识。数学能力的获得必须以一定的数学知识为基础，没有丰富的数学知识，要想熟练掌握数学解题能力是比较困难的。简单地说，数学知识就是数学各要素及其相互之间的关系与联系。从古到今，人们把数学知识看作一个系统，认为数学知识就是那些历经时间长河考验而累积的系统的知识体系，是经缜密的逻辑推理铸就的行为范式，是一个“现实世界的空间形式和数量关系”(恩格斯)。数学世界的形式丰富多样，充满奇妙和传奇。根据数学的沿革史，学界对数学的认识有一个逐步加深的过程。所以，需要教师在日常生活和学习中，积极进取、努力学习，不断积累丰富的数学知识，形成严密的数学时空观，在生活中学习数学，在数学中学习生活。
3.激发创新意识。创新意识即遇到阻碍能够“另辟蹊径”，是一种求异思想，是有效解决问题的保证。数学教师创新意识的培养需要在已有知识的基础上，通过对问题进行全面地、深刻地理解与反思，最终形成新颖独特的解题方法和思路。激发数学创新意识，需要教师加强练习。在已有的数学解题方法上，通过对数学知识的精心加工和逻辑重组，激发创新思维，提炼创新的解题思路。
4.拓展发散思维。发散思维能力对数学教师而言至关重要。发散思维即称多点思维，即能从不同的视角看问题，或能从一个问题，看到所有相关的问题。发散思维可拓展自己的视界，使自己不“钻牛角尖”，不走进“死胡同”，最终目的是能够快速解决问题。教师可以通过持续锻练，培养发散思维能力。以下几种方法可供参考：一是重新编排教学内容，使课本的教学内容更加系统、更符合逻辑和学生的认知规律，也更符合自己教学的需要，促进数学知识的内在联结与有机整合，有利于教师在教学中过度自然、衔接得当。二是教师可扩大数学知识点与点之间的范围，增加数学的知识背景，扩展数学解题的信息量。三是教师要经常预习新知，复习旧知，对未学的知识进行补充，对学过的知识进行回顾，能将旧知与新知联结、串联与融合，最终达到举一反三、触类旁通。教师在数学教学中，也可通过教学反馈和学生的反映，及时调整自己的教学方法，更新自己的解题思路。
参考文献：
[1]刘凯峰，钟志华.解题专家：数学教师成长的一个方向[J].教学与管理，2010，(4).
[2]叶建红.新形势下数学能力及其培养[D].福建师范大学，2003，(8).
作者：韦宏 韦家朝
【摘要】文章主要从目前数学教师的解题能力有所下降的现象谈起，分析其原因，并指出教师要努力学习解题理论、经历解决难题、回顾解题过程、展示解题过程、尝试编制题目、站在学生的角度思考问题等几方面来提高教师的解题能力.
【关键词】解题能力;解题理论
一、提出问题
波利亚曾经说过，学习数学意味着解题.这句话不仅适合学生，同样也适合教师.好的教师始终是一个学习者，同时也应是一个解题专家.
事实也是这样，解题是数学教师的立足之本.一位数学教师，如果他的解题能力有限，他将难以胜任正常的数学教学任务，也会遭到来自学生、家长、同行等各方面的压力.
现象一：在前不久举行的县高中理科教师专项能力测试，即做题说题比赛中，我们部分教师对自己抽到的题目在规定的时间内，既缺少思路，又无法给出正确的解答，含糊其辞.
现象二：在这次市数学教师基本功大赛中，规定在两个小时内完成一张难度略高于高考水平的试卷，当时参赛的都是嘉兴地区各所高级中学的数学骨干教师，约100人左右，结果考出来只有四位教师的成绩在90分以上(注：满分为100分)，其余大部分在六七十分，甚至有几人是三四十分的.
现象三：在开学前8月28日县里举行的高中教师教学能力测试中，考试内容是本学科的专业知识以及一些教学理论，而专业知识很重要的内容就是解题——不超过高考内容的题目，内容和难度都不超过竞赛考试，结果全县高中教师中还是有约50%的教师成绩在C，D级水平.
所以，种种现象都在逼问我们一线教师，怎样看待这个解题?如何提高教师的解题能力，并更好地促进教学?数学教师解什么题好?本文想做个探索，期望引起老师们的关注和思考.
二、分析问题——为什么教师的解题能力在下降
我们认为究其原因有以下几点：
1.各所学校都非常重视理科教学，尤其是数学，所以数学课时多者每周超过十节(我校每周十一节)，许多数学教师要担任两个班教学任务，而且数学教师中当班主任的又有不少，时间紧，课时多，批改任务重，辅导时间长，大大挤压了做题的时间.甚至一些教师第一轮复习时手拿一本教师复习用书就进教室上课，讲评试卷报报答案，天长日久，教师的解题能力急剧下降，离开答案无法上课，不会总结解题规律，不会归纳题型解法等等.
2.各种教师用书上有非常详细的解答，为我们教师提供了参考，方便了教师备课.但是如果教师不加分析地采取现成的解法，既不思考解答是如何想出来的，受何启发，为什么要这样做，可不可以有其他解法，也懒于思考假如我做这个题目应该怎样突破，从何角度寻求解题灵感，只是不断地照搬答案，长此以往，教师的解题思维会僵化，解题能力也会退化.
3.现在许多考试题目(包括高考)都是原创题，也有由一些竞赛题改编而成，或是技巧性很强，或是计算很复杂，或是可能涉及的知识很生僻，所以有些题目就连我们一线教师求解出来也要花很长时间，或是想不到其他方法，把解题答案一成不变地“复制”给学生，结果导致教师教得苦，学生学得累，能力也得不到提升.
三、解决问题——提高教师解题能力的策略，让教师成为解题专家
我们认为，数学教师可以从以下几个方面着手，努力成为解题专家.
策略1 学习解题理论
没有解题理论的指导，解题实践就变成盲目的、低效的行为;有了解题理论的指导，解题实践就变成自觉的、迁移的行为.国内外数学家、数学教育家对数学理论进行了卓有成效的研究.波利亚撰写的《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》等堪称数学解题理论经典之作.罗增儒教授撰写的《数学解题引论》，对数学解题学的创立颇有建树.单墫老师撰写的《解题研究》，娓娓道来，深受启发.除此以外，英国开放大学数学教学中心主任梅森、苏联数学教育家澳加耶相、美国数学教育家舍费尔德等，对于解答数学问题都曾经作过深入的研究，发表过精辟的论述.学习这些解题理论，无疑会使我们站在更高的平台，指导我们的解题活动，提高我们的解题能力.
策略2 经历解决难题
(1)数学教师可以选择性地研究一些教材上的例题和习题，特别是教材中打*号的题、拓展题、思考题等.课本上的很多习题都是高一级数学知识的一般化问题.通过对这些问题的研究，我们可以探寻到问题的更高一级知识背景.(2)数学教师应及时关注并解答一些考试的试题，如高考题、模拟题等.这类试题在一定程度上对我们的教学有一定的导向作用，解答这些试题，对提高我们的解题能力大有裨益.(3)数学教师应解答一定数量的竞赛试题.数学竞赛试题更多的是一些非常规的问题，这些问题之所以难，原因往往与数学思想方法的综合运用、思维的跳跃性有很大关系.这些问题的解决过程往往是问题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程.通过解答这些问题，既可以深化对数学思想和方法的理解，又可以从解题过程中体会到数学问题的美妙，感受到创造性思维活动的快乐.我们常常要求学生要开发智力，其实教师也要开发智力，加强解题训练.
策略3 回顾解题过程
波利亚的“怎样解题表”的最后阶段即回顾.他指出：“通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力.没有任何一个题目彻底完成了的，总还会有些事情可以做.”涂荣豹教授指出，回顾解题即在进行了必要的解题活动后，回过头来对自己的解题活动加以分析研究.
当我们解完一个自己感觉是全新的、与众不同的、富有价值的题目时，要不失时机地回顾：这样解正确吗?我为什么这样解?有没有更好的解法?这种解法是普适的吗?解题过程使用了哪些知识点?知识与方法是如何巧妙地融为一体的?它能引发我进一步的思考吗?有了这样的回顾经历，在教学中会自然而然地引导学生深化数学知识的认识，领悟数学思想方法的真谛，促进思维结构的优化.
策略4 与学生同步解题
在一些模拟考试、综合练习中，与学生同步考试，体验学生在规定时间内答题的心理状态.面临紧张的考试，怎么才能沉着冷静，思维快捷，思路自然，灵感勃发，产生原创性的解法，发现平时课堂教学中教师的解法、学生的解法与考试中答题的差异.因为时间限制，平时解题时遇到难题可以多想一会儿，可以讨论，还有老师、同学暗示，考试时必须自己独立完成，平时解题时推理不严密、书写不规范往往无所谓，但考试必须规范就有可能不适应.与学生同步解题后在讲评时才能想学生所想，急学生所急，解学生所惑，纠学生所误.
策略5 尝试编制命题
提出数学问题，编制数学命题是提高数学解题能力的一条有效途径.我们可以对一道好的陈题(课堂讲解的例题、课本上的习题、历年的高考题、各种竞赛题等)细心研究，探讨解决问题的策略和方法.在此基础上，或者进一步推广，或者改变条件，或者改变结论等，编制出新的题目.
俗话说“高素质的教师造就高素质的学生”.善学习，会解题就是高素质.一名好的教师始终是一个学习者，同时也应是一个解题专家.学习解题，应该成为数学教师的一个重要学习内容.以此共勉!
【参考文献】
[1]涂荣豹.数学教学认识论[J].南京：南京师范大学出版社，2003.
[2]罗增儒.数学解题学引论[J].西安：陕西师范大学出版社，2004.
[3]刘凯峰.记一次难忘的解题经历兼谈解题研究的新思路[J].中学数学教学参考，2001(9).
[4]钟志华.数学思想方法的理解探索[J].教学与管理，2009(4).
[5]赵小平.创新并非处处“优先”[J].数学教学，2010(11).
作者：沈峰
近10天的宁大浙江省初中数学90学时解题能力培训已圆满结束，本以为这次培训是走走过场，形式而已，可没想到本次培训给我所带来的教学观念上的洗礼和震撼，是我从教这么多年来未曾经历过的，这么多专家和名教师(他们中有年过60的一辈子从事数学研究的老教授、有50多岁还奋战在教学第一线的特级教师、有宁波市重点中学的一线骨干数学教师、也有从事教学研究指导的数学教研员)，他们的解题分析都是结合教学实践，来自于课本，源于学生在解题实践中所暴露出的一些问题，他们的报告都是真金白银，没有虚的东西，他们精彩的解题分析给我们参加培训的老师深深的启迪，不断地敲及我们的灵魂深处。本次培训之旅是一次心灵之旅，是一次教学观念的大洗脑，培训虽然已经结束，但我仍在回味，本次培训也带给我很多感想，一吐为快。
感想一：这么多专家和名教师的共同点都是对数学研究充满激情，他们爱数学，喜欢研究习题，沉浸在自已的研究世界里，其乐融融。即使是一道很普通的习题，也可以研究到极致，他们通过对习题的研究，可以得出一系列的变式和拓展问题，(这里我在前面的文章中都有所分析，就不一一展开了)引导学生通过做一题从而达到会一片的目的，以此来减轻学生的解题负担，让学生跳出题海。
感想二：他们都有较为先进的教学教学观和学生观，都能设身处地为学生考虑，都是一再呼吁要让学生远离题海，必要的练是要的，但大量重复低效的练习他们都是很反感的。要减轻学生解题负担，唯一的办法是教师加强对习题的研究与分析，通过对习题的研究归类，对学生进行一题多解，多题一解，多解归一的科学指导，以及解题策略的梳理与分析，从而通过典型性一定量习题的训练，就可以达成学生轻负高质的教学效果。
感想三：这些名教师都有一个共同点，他们在习题研究上很勤奋，但在学生的作业布置和批改上都显得很”懒惰”,他们不太喜欢布置作业，也不太想去批改作业，他们更多的是想办法去引导学生，充分调动学生的学习积极性，让学生互相批改，有问题互相问一下，集体研究一下，我想这才是真的体现以教师为主导，以学生为主体的一种先进的教育教学观，我们要走“学生路线”，只有真正的把学生调动起来了，我们的老师才会有更多的时间去研究，去享受我们的教学，提高我们的生活质量。反观我们现在的教育教学现状，有很多青年教师，每天都把大量的时间花在布置作业和批改上，每天都很忙，那里会想到要去做习题研究和分析，长此以往，把自已搞得很累，学生也基本上搞死了，初
一、初二还好，一到初三学生就越显疲惫了，这样的学生到了高中，潜力基本上没有了，很多教师30多一点，就失去了应有的朝气与活力，失去了教学的热情。
感想四：“轻负高质”的教学效果能否实现，以前我还不敢肯定，最多只是提轻负中质的这一目标，但现在听了他们这些名师的报告，以及他们的现身说法之后，我想这肯定是可以做到的，因为他们这些名师在教学实践中确实做到了(这个不是他们自吹的，有据可查的)。我想要做到学生的轻负高质，首先你教师自身的工作状态要做到轻负高质，要做到教师的轻负高质，唯一的办法是研究、研究、再研究，没有对习题的大量研究，谈何轻负高质，谈何跳出题海。真正的这些名教师也不是我们所想象的这么累，他们在成功的初期搞研究可能会累一点，但积累到了一定的阶段之后，已形成了自已的研究思路和方法，也很轻松了，实际上和他们交流的过程中，我感觉他们的心态都很好，生活质量也挺高的，<莲~山 课件 >知识面也很广，并不是除了数学之外，其它方面就不懂了，他们的工作状态真的是轻负高质，你想有这样的教师，在他们班学习的学生也不会吃多少苦头。
感想五：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。这么好的思想报告，这么精彩的解题分析，我想在以后的教学实践中，要加以领会运用，在以后的教学实践中，我可能研究不到他们这种深度，但我想哪怕是尝试性、小范围、浅层次的研究，也可以在一定程度上减轻学生的学业负担，即使做不到轻负高质，就算是能实现轻负中质，对自已而言，也算是做了一件积累功德的事情。
一、数学解题教学的含义
数学问题解决的过程包括思路探索和思路整理，以及逻辑性的表述解答等三个阶段。数学解题教学指的是，教师指导学生完成数学问题解决的过程，并且，在探求思路和整理思路过程中，教师不能直接告诉学生问题解决思路，而是根据学生实际水平，通过启发诱导，帮助学生自己找到问题解决的思路。
二、开展数学解题教学的意义
探索解题思路的过程可以充分体现数学思维水平，具体地说，体现了解题者对数学思想方法和解题策略的掌握程度，因此，通过展露数学解题思路的探索过程，可以说明解题者的数学思维水平。通过这项活动，可以促进教师对数学问题解决的重视，促进教师对数学思想方法和解题策略的研究，进而，在教学中做到授人以渔。
三、数学解题教学评比内容：
1. 说思路。
根据所给问题，分析解题思路，并说出解题思路的探索过程和整理过程。 例：请写出22011-1的个位数(不能借助计算器)
第一种解法：直接计算。根据题目的约束条件，直接计算量，计算量很大，因此，该解法不可操作性不强。
第二种方法：从简单情形入手，即先考察2-1，2-1，2-1，2-1，2-1，2-1，---，观察个位数的情况，看看这个过程中是否能够发现某种规律。
从特殊到一般，从简单到复(繁)杂，是数学问题解决的基本思想方法。22011-1是一个比较复(繁)杂的问题，因此，我想到从简单情形入手。
2. 说启发
说启发，就是在日常教学中，如何引导学生探索解题思路，而不是教师直接把自己的思路告诉学生。引导的过程体现为教师提出启发性的问题。
例：请写出22011123456-1的个位数(不能借助计算器)
引导：大家回想一下，在探索有理数乘法法则时，我们是经历了怎样的过程?对解决这个问题有怎样的启示?(北师大版教材为例，该过程体现了从特殊到一般的数学思想)
四、数学解题教学评比标准
1.解题思路清晰
2.能够富有逻辑性地阐释解题思路的探索过程，充分体现其中蕴含的数学思想方法。
3.根据题目的具体要求，能够从学生的现有实际水平，设计恰当的启发性问题。
2003广州初中数学青年教师解题竞赛试卷
一、填空(本题共有8小题，每小题5分，共40分) 21.把多项式xyxyy分解因式所得的结果是___________________. 9
2.如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13，那么这样的三角形共有_________个. 3.函数y32xx2中，自变量x的取值范围是_____________.
4.若关于未知数x的一元二次方程(m1)x2xm22m30有一个根为0，则m的值为____. 5.条件P:x1或x2，条件q:x1(填充分不必x1中，P是q的_______________条件.
要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个)
6.两个等圆相交于A、B两点，过B作直线分别交两圆于点C、D.那么 △ACD一定是 ____________三角形.(要求以边或角的分类作答)
7.一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的_________. 8.不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是_____________.
二、(本题满分12分)
9.如图，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外，
求作一个圆，使它经过点B，并且与⊙O相切于点A.
(要求写出作法，不要求证明)
三、(本题满分12分)
10.一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少?
四、(本题满分13分)
11.有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米?
五、(本题满分13分)
12.正实数a、b满足ab=ba，且a<1，求证：a=b.
六、(本题满分14分)
13.已知m为整数，且12
x22(2m3)x4m214m80有两个整数根.
七、(本题满分14分)
14.如图，已知A、B是锐角α的OM边上的
两个定点，P在ON边上运动.问P点在什么位置
时，PAPB的值最小?
八、(本题满分16分)
15.已知抛物线yax2bxc的顶点在直线yx上，且这个顶点到原点的距离为2，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于1，求此抛物线的解析式.
九、(本题满分16分)
16.已知△ABC是锐角三角形.
⑴求证：2sinA>cosB+cosC;
⑵若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小? 22MN
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初中数学知识点归纳总结
一、基本运算方法 ...................................................................................................................................................... 2
1、配方法............................................................................................................................................................. 2
2、因式分解法 ..................................................................................................................................................... 2
3、换元法............................................................................................................................................................. 2
4、判别式法与韦达定理 ..................................................................................................................................... 2
5、待定系数法 ..................................................................................................................................................... 3
6、构造法............................................................................................................................................................. 3
7、反证法............................................................................................................................................................. 3
8、面积法............................................................................................................................................................. 3
9、几何变换法 ..................................................................................................................................................... 4
10、客观性题的解题方法 ................................................................................................................................... 4
二、基本定理 .............................................................................................................................................................. 5
三、常用数学公式 .................................................................................................................................................... 10
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一、基本运算方法
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等
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5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯
一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
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用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。
下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是
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解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。
二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
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25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
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54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 6
1、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 6
3、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 6
4、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 6
6、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2 6
7、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 6
8、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6
9、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 7
1、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 7
4、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 7
5、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形 7
7、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 7
9、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80、推论2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 8
1、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82、梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2
S=L×h
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3、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果 ad=bc ,那么a:b=c:d 8
4、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 8
5、(3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 8
6、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87、推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88、定理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90、定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 9
1、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA) 9
2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 9
3、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) 9
4、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)
95、定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 9
7、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 9
8、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 10
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
10
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 10
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 10
4、同圆或等圆的半径相等
10
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 10
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 10
7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
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8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
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9、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 1
11、推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 1
12、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 1
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
1
14、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
1
15、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
1
16、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
1
17、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 1
18、推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 1
19、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120、定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 1
21、①直线L和⊙O相交
d﹤r ②直线L和⊙O相切
d=r ③直线L和⊙O相离
d﹥r 1
22、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1
23、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 1
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 1
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
1
26、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 1
27、圆的外切四边形的两组对边的和相等
1
28、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
1
29、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
1
31、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
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32、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 1
33、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 1
34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
1
35、①两圆外离
d﹥R+r
②两圆外切
d=R+r③两圆相交
R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切
d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含
d﹤R-r(R﹥r) 1
36、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 1
37、定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 1
38、定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 1
39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 1
41、正n边形的面积Sn=pnrn/2
p表示正n边形的周长 1
42、正三角形面积√3a/4
a表示边长
1
43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 1
44、弧长计算公式：L=n兀R/180 1
45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 1
46、内公切线长= d-(R-r)
外公切线长= d-(R+r)
三、常用数学公式
公式分类
公式表达式 乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
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|a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
注：韦达定理 判别式
b2-4ac=0
注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0
注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0
注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
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考试前，尤其是面临重要考试时，老师都会谆谆告诫莘莘学子们一条非常重要的答题方法--------会答的先答，不会答的后答。事实证明，这个方法是使考试获得成功、出奇制胜的法宝。但到了今天，这件法宝在许多同学身上不灵了，考试居然达不到平时写作业的水平，让同学们确实倍感困扰。三轮解题法就是解决怎样在考试时发挥出自己最佳水平的一种方法。它的理念是以我为主，以发挥出考试最佳状态为本，按照分轮次解题的要求，构建自信、有序。可控的机制平台，拓展自我进步、成功的轻松空间，实现应试能力的跨越。三轮解题法要通过以下七点实现：
1.对考试成功的标志要有明确的认识
初中生身经无数次的考试，有成功也有失败，有考顺之时，也有别扭之日。那么什么是考试成功的标志呢?有人说是分数，有人说是名次，还有人讲只有超过某人才算……其实分数也有绝对值和相对值，绝对值是拿你自己的分数与及格线、满分线等比较的结果。相对值是将你自己的分数放在个人、班级、年级、全市等参照系中衡量其相对位置的结果。正是由于选择的参照系不同，有的同学越比信心越足，越比干劲越大，越比越乐观;而有的同学则越比越没信心，越比对自己越怀疑，越比热情越低。我的观点是，考试成功的标志有两条：一是，只要将自己的水平正常发挥出来了，就是一次成功的考试。二是，不要横向与其他同学比，要纵向自己与自己比。按着前述《良性循环学习法》中提到的，只要将第一类问题消灭到既定目标，就是一次成功的考试。
2.确定考试目标
有资料显示，每年中考考砸的考生约占25%。因此考试前确定目标时，虽然你心中有了上述两条考试成功的标志，但是对于第一条，你千万不要以为我可以100%的将自己的水平发挥出来，这才叫正常发挥，更不要幻想超常发挥。而应该按三层递进模式实施你的目标。三层递进模式就是：第一要保证不考砸。第二要正常发挥。正常发挥就是将自己的水平发挥出80%，发挥出80%已经很不简单了，发挥出80%无疑是没考砸。第三要向更高标准迈进，就是在保证已发挥出80%以后，再向发挥100%努力，再向超常发挥进发。虽然看似简单的三层，但我提出的是：不砸→80%→100%→超常。你若考试一上来，就想100%发挥，超常发挥，就可能出现全盘皆输的惨局。那么保证实施三层递进模式的一种最佳方法就是——三轮解题法。
3.第一轮答题要敢于放弃三轮解题法的第一轮是，当你从前往后答题时，一看这题会，就答。一看这题不会，就不答。一看这题会，答的中间被困住卡壳了，就放。这是非常关键的一点。为什么。“会答的先答，不会答的后答’到了考场就做不到呢?要害在会与不会之间，难在会与不会的判定上。你想，会的题这很清楚。不会的题也很明了。但恰恰有些题是你乍一看会，一做起(此_资_料_转_贴_于_学_习_网]hTtP://wWw.gZu521.cOm来就卡壳，或者我不能立即得出结论，我需要看一看，思考思考、演算演算、琢磨琢磨……真是欲行不能，欲罢不忍。每每都是在这不知不觉中丧失了宝贵的时间，每次考试都觉得时间不够用，稀里糊涂地败下阵来。“会答的先答，不会答的后答”作为一条原则是颠扑不破的真理。但若同时将它当作考试方法，因为它仅是定性地指出了方向，定量分析不清楚，缺乏可操作性，所以出现有人用它灵，有人用它不灵;有时灵，有时就不灵的现象。尤其是重要的考试，每题必争，每分必夺，哪道题都不想轻易放弃，哪一问都想攻下来，哪一分都不想丢的时候，就往往失灵。而“三轮解题法’是一种定量的方法，量化清楚，可操作性强。当第一轮做完，有一个重要的环节——
4.敢于休息30秒
当按着会做的则解，不会做的则放，卡壳的也放的方法，从前做到最后一道题之后，要敢于休息30秒。而且这个休息一定是老老实实地休息。比如，可以看看窗外的自然景观，树在摇曳，鸟在飞翔等。也可以想想自己喜欢的流行歌曲、电视剧等，当然不能想得太远，如果你想出十集去，考试早结束了。还可以采取一些深呼吸放松法、自我深度松驰法、积极的自我暗示法等。当然也可以什么都不想，就是闭目养神。在休息过程中要注意一点，采用什么休息方法悉听尊便，但千万不要想自己没做上来的某道题。
为什么要用敢于休息30秒的“敢于”两字呢?是因为绝大多数同学每每都觉得时间不够，哪还敢挤出时间休息呀!其实恰恰相反，因为考试是高度的耗氧活动，对脑力、体力消耗很大，经过一段时间便会出现疲劳的现象，此时若*意志力来坚持，效率自然不高。经过休息就会使脑力得到恢复，使体力得到补充，经休息后再投入到解题过程中会高效发挥，所以敢于休息的同学反而时间就够了，这就是辩证法。这也正是俗话所说“磨刀不误砍柴工”的道理。敢于休息30秒也是心理状态提升的体现。考试时有的同学一听到其他同学快速翻页的声响就着急，眼睛的余光一看别的同学答得较快就发慌……现在我能做到不为所动，不被所引，我还敢于主动休息。急答出现差错，稳答一次成功，孰优孰劣是不言自明的道理。心理状态的提升需要一个磨炼过程。敢于休息30秒，就是心理状态走向成熟的开始，因此一定要敢于休息。休息后进人第二轮。
5.第二轮查缺补漏
第一轮将会做的题都做了，休息后还有没有会做的题了呢?回答是肯定的。依据有两条：一条是实践的依据;一条是理论的依据。
任何一名考生几乎都曾有过这样的考试经历，在考试过程中某道题不会，不得不放弃了，但当答到后边某处时，忽悠一下想起前边那道题该怎么做了。或者是答到后边某道题，或者看见一道题的某句话、某个符号等，立刻唤醒了记忆，产生了顿悟，激发了灵感等，前边那道题就做出来了。这就是实践的依据。
考试时，从答题开始到达到考试最佳思维状态即图中①点处需要一个上升过程，但是达到最佳思维状态后，有些人还能下来，如碰到一道4分左右的小题，自以为能做出来，但抠了半天就是做不出来，心情一团糟，这时绝不是最佳状态了，这时思维状态就下降了。有人一落千丈，如图中①点至②点沿虚线至④点处所示。也有人下降后还能升上去，再度达到最佳思维状态，如图中②点至③点处。而我们希望的理想状态是，角大点，尽快达到最佳思维状态，当达到最佳思维状态后，一直持续到考试结束。由于第一轮将会做的题做了，这时你的思维状态在0~①点之间，而决不会是①~②~④点之间。因此，经休息后仍旧有会做的题。
实践和理论都证实，做过第一轮后仍旧会有能解出来的题。那么这时如第一轮所述，一看这题会，就答。一看这题不会，就不答。一看这题会，答的中间卡壳了，就放。这样从前做到最后一道题，接下来要再次敢于休息30秒。怎样休息前文已有详述不再赘述。
6.第三轮换思路解题
休息以后，要从前到后检查一遍自己做过的题。检查通过后，从理论上讲，你已经将自己的水平100%的发挥出来了，但实际上是80%。因为你检查虽然通过了，可还存在你没检查出来或检查错了的可能性，所以说是80%。虽然是80%，但已经很不简单了。在一次考试中，能将自己的水平发挥出80%就是一次成功的考试。你看体育竞赛，你观奥运会，有多少运动员，有多少运动队积多年训练之精华，蓄埋藏4年之心愿，只为了场上一搏。这一搏往往是发挥出平时训练水平的80%就可以取得胜利，就可以拿牌。对发挥出80%，你一定认识到，我的水平已经发挥出来了，我就是这个水平。我对得起自己，对得起父母，对得起……但如果这时考试还没结束，还有时间，也没有必要检查第二遍，这时决不能满足80%，要向100%进发，向超常发挥努力，做那些没做上来的题。但是做是做不出来了，已经做过两轮都没做出来，说明是难点，是“硬骨头”。对于难点和“硬骨头”采用常规做法已经不行了。这时要攻，要向难点和“硬骨头”发起总攻。那么如何攻呢?可用换思路解题法来攻。
换思路解题法是基于这样的思考，当你解题时，仅仅将题做对是远远不够的，只有知道此题有几种解法，哪种是优化的解法才算优秀。许多人都曾有过这样的经历，解题时想起了这题出自哪章哪节，老师讲这点时是如何强调的，此题是考哪个或哪几个知识点，老师出这题想考什么……此时答这题感觉非常有把握，解题非常顺。这就是灵感。其实灵感也没有什么神秘，谁都曾经在考试过程中迸发过灵感的火花。当然如果你甚至能看透某题的陷阱和迷惑在哪里，你就是顶尖高手了。总之，此时已是不攻白不攻，不得白不得，攻一步进一寸，得1分是1分的时候了。但要换思路，看看哪题能攻下来攻哪题，哪点能拿下来拿哪点。想想它是出自哪章哪节?老师想考哪个知识点?各点之间是什么关系……这时要放飞你的记忆能力、领悟能力、多向联想能力、逆向思维能力、发散思维能力、创新能力等，多方位、多角度、多层次地思考。这时新的思路就有可能被打开，兴奋点就可能被激活，灵感的火花就可能如年三
十的礼花一样在空中绽放。同学们，大胆尝试吧!你曾经有过的灵感定会一次次再现。
7.变三轮解题法为自定理
三轮解题法是一种全新的考试答题方法，是经过实践验证的科学、合理、有效的考试答题方法。认识掌握并运用了三轮解题法的同学都取得了不同程度的进步。但应用三轮解题法却要因人”而异，因科而异。若想灵活运用三轮解题法，第一要认识它的科学性、合理性、有效性;第二要实践，没有多次的实践是不能掌握这样一种全新的方法的;第三要总结，看看自己究竟是三轮好，还是二轮妙，或是四轮高。中间的两次休息，多长时间为宜。总之，绝不是一轮到底，不管会不会的题都要跟它拼上
三、五回合的从小学沿用至今的考试答题方法了。这是一种全新的分轮次解题方法。对不同的科目，应用三轮解题法也应有所差异。比如数、理、化等是这样的三轮。而语文则应该是阅读题之前是一轮，做完就要检查结束。然后阅读题是一轮，最后一轮全身心地写作文。理想状态是作文写完，剩余时间少于5分钟。如果剩多了，说明你前边的时间分配不合理，要改进。英语、历史。政治、地理等的三轮也要因科而异。
这样，经过实践一总结一再实践一再总结循环往复，什么时候形成一套你自己得心应手运用自如的分轮次解题法，什么时候你用自己的名字将其命名为某某定理，这时你才是真正掌握了三轮解题法。此时你的精力主要用于过程的完善，过程的完成，忽略结果，你就能取得胜利。这时你才会感到考试是无憾的、考试是轻松的、考试是愉快的、考试是幸福的。考试会使你信心越来越强，考试会使你思维越来越活跃、考试会使你的精神面貌焕然一新、考试会使你的应试能力实现跨越。
一、问题的提出
1.学生解题过程中普遍存在的问题
著名的数学教育家波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”但目前学生在解题过程中还存在一些问题：
基本概念理解不深刻，基本运算易失分。
审题阅读有待加强，对应用题、文字量大的试题有恐惧心理。
书写格式不规范，数学语言表达不严密。
对陌生题束手无策，尽管有些学生做题不少，一旦碰到没做过的，失误较多，甚至有些题找不到解题思路。
2.当前解题教学设计存在的误区
对于学生解题中存在的问题，我们要反思自己的解题教学设计.在数学解题教学设计中，常见的形式是“例题讲解、学生模仿、变式训练” .即教师通过思考，发现了解决问题的逻辑思路，将这种逻辑思路传递给学生，然后由学生进行模仿训练和变式训练.这种一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破，对问题的“提出“和“应用”研究不足。
现代意义上的“解题教学设计”注重的是解决问题的过程、策略以及思维方法，更注重解决问题过程中情感、态度和价值观的培养。
基于此，本文旨在以新的视角重新审视解题教学设计，想方设法将这种逻辑环节转化为学生发现问题思路的心理环节。
二、基于心理取向的解题教学设计
基于心理取向的教学设计，重在对学生探究发生问题思路的认知结构分析，针对学生思维活动的序列展开，适应学生的心理需求，通过不断地提出问题，研究问题，在此过程中，针对具体问题的特征，萌生具体的数学观念，并检验这些观念正确与否，从而决定再生观念等的多伦循环过程 。
那么如何实现解题教学设计的心理取向呢?我们看一个具体解题教学的例子。
例1如图，已知抛物线y= x2+bx+c(b，c是常数，且c<0)与x轴分别交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)。
(1)b= ，点B的横坐标为 (上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y= x2+bx+c交于点E.点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S。
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个。
(1)(2)学生很容易解答出来，结论为(1) +c，?2c;(2)y= x2? x?2.关于(3)的思路：①分两种情况进行讨论：(Ⅰ)当?1
教师设计这道解教学的思路可以划分为以下几个环节：(1)从教师自己获得的解题思路中定位关键环节;(2)追踪获得解题思路时处理关键环节的数学观念的源头;(3)揣摩并模拟学生萌生处理关键环节的数学观念指令的心理活动过程 。
针对例1的思路，教师需要确定教学设计的关键环节在于两个“数学观念”的形成：
(1)①中面积的求法由于点P位置的变化需要进行分类讨论;
(2)由①中求得的S的范围为基础，获得△PBC的个数，不妨称为“枚举”的数学观念。
师：要求△PBC的面积取值范围，大家有什么想法?
生1：如果能够获得面积S的一个表达式，就能求出范围，可是，我不知道如何获得这个表达式.我尝试过割和补的方法，都不行。
生2：我在尝试求面积时发现如果点P在抛物线AC段运动时，面积S
即0
生3：如果能找到△PBC这个三角形的底和高就好办了?
师：如果我们单纯地以PC、PB、CB为底，好像没法找到相应的高，怎么处理呢?
生4：既然以以PC、PB、CB为底，没法找到相应的高，那么我想能不能过点P作 轴交 于 ，把它分成三角形 和三角形 。
师：真是好想法!大家试探生4同学的这种想法能否实现。
生5：我发现了。
当0
生6：我得到了，当?1
师：很好!生4的创造性观念的贡献已经由生5和生6解决.那么当 为整数时，这样的三角形有几个呢?
生7：由0
生8：当0
这种设计的最大特点就是教师没有将自己精心思考得到的解题思路按照整理好的逻辑表达过程直接提供给学生，而是利用学生已经生成的关于求面积的想法，打破思维定势，将解题思路的逻辑表达转化为学生从自己的心理发展过程，提高了解题教学的有效性.
三、结语
数学解题思路表达的逻辑过程要求简练合理，数学解题思路发生的心理过程要求自然流畅，这两者的合理整合是教学设计的理想状态.在我们的教学设计中，力求达到两者的平衡，将知识产生的逻辑过程利用学生已掌握的数学观念进行心理解释.如果教师在解题教学设计时如果能创造性地提出环环相扣又不道明的提示语，让学生养成这样的习惯，掌握这样的方法，形成这样的意识，那么学生的心灵就能从眼睛的专制中解放出来.于是这种依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识生成的心理过程，整合这两者的优势，促进数学教学的高层次目标的实现的基本保证.
参考文献：
张昆.整合数学教学设计的取向――基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究 .中国教育学刊，2011(6)：52.
张乃达.过伯祥.张乃达数学教育――从思维到文化 .济南：山东教育出版社，2007：186.
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