数学思想转化应用论文

所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。它是数学思维方法中的一个重要组成部分。今天小编给大家找来了《数学思想转化应用论文 (精选3篇)》，仅供参考，大家一起来看看吧。

数学思想转化应用论文 篇1：

浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用

摘要：解题的过程实际就是转化的过程。应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。

关键词：转化与化归 高考数学应用

化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。数学中的转化比比皆是，常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。

1 利用等价转化的思想来实现转化

在数学中存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。

例1、(2003年全国高考)已知c>0。设P函数y=cx在R上单调递减。Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。

分析：“P和Q有且仅有一个正确”等价于“P正确且Q不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。

解：∵P：函数y=cx在R上单调递减?圳0

Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R

?圳函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上恒大于1。

∴函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上的最小值为2c。

∴不等式x+|x-2c|>1的解集为R?圳2c>1?圳c>■。

∴如果P正确且Q不正确，则0

如果P不正确且Q正确，则c≥1所以c的取值范围为(0，■]∪[1，+∞)。

2 利用反证法的思想来实现转化

如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决。如：证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现(如：不存在、不相交等)，并伴有“至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化。反证法是数学解题中逆向思维的直接体现。

例2、已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。

分析：此题若采用正面讨论，则必须分成“有且只有一个方程有实根”，“有两个方有实根”和“三个方程全部有实根”三种不同情况来讨论，求解过程将会非常复杂。所以，应采用补集和反证法的思想来求。

解：若方程没有一个有实根，则有

解之得：-■

∴满足三个方程至少有一个方程有实根的a的解集是{a|a≥-1，或a≤-■}。

3 用数形结合的思想来实现转化

数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决。

例3、如果实数x，y满足(x-2)2+y2=3，那么■的最大值是()

A.■B.■C.■D.■

分析：由于方程(x-2)2+y2=3表示的曲线以A(2，0)为圆心，以 ■为半径的圆(如右图所示)，满足方程的x，y是圆上的点P(x，y);而■是坐标原点(0，0)与圆上各点连线的斜率，所以题目可转化为求原点(0，0)与圆上各点连线的斜率的最大值。结合图像，易知直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3相切的时候，直线OP的斜率k就是所求斜率的最大值。

解：∴|AP|=■，|OP|=2?圯∠POA=■∴tan∠POA=■

即所求■的最大值是■，故选D。

4 利用函数与方程的思想来实现转化

函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法。一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式(组)(包括不等式(组))，则一般可使问题得到解答。

例4、已知平行四边形ABCD中，点A，C的坐标分别为(-1，3)，(-3，2)，点D在椭圆■+■=1上移动，求点B的轨迹方程。

分析：因为平行四边形的对边平行且相等，所以可以将本题转化为相等向量的性质来求解。

解：设B，D的坐标分别为(x，y)(a，b)则■=(a+3，b-2)，■=(-1-x，3-y)

∵在平行四边形ABCD中，■=■

∴(a+3，b-2)=(-1-x，3-y)

∴a=-4-x，b=5-y∵点D在椭圆上，

∴把D点坐标(-4-x，5-y)代入椭圆方程中，即得点B的轨迹方程：■+■=1

5 利用换元法的思想来实现转化

对结构较为复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，通过适当的引入新变量(换元)，往往可以简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。常用的换元法有代数代换、三角代换、整体代换等。在应用换元法时要特别注意新变量的取值范围，即代换的等价性。

例5、(2004年高考广西理科)解方程：4x+|1-2x|=11

分析：若令t=2x，(t>0)，则原方程可转化为求含绝对值的二次方程的解。

解：令t=2x，(t>0)，原方程可化为：t2+|1-t|=11

①当t≥1(即x≥0)时，方程可化为：t2+t-1=11?圳t2+t-12=0

解之得：t=3，或t=-4(不舍题意，舍去) ∴2x=3?圳x=log23

②当0

解之得：t=■+■>1或t=■-■<0(均不舍题意，舍去)。

所以，原方程的解为x=log23

6 利用特殊化的思想来实现转化

数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。

例6、(2001年全国高考)一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：

①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则()

(A)P3=P2>P1(B)P3>P2=P1 (C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1

分析：由射影面积公式(S射=S斜cosα)可知：S射与斜面和水平面所成角α有关与斜面内图形形状及图形放置无关。所以可以抓住“所成角都是α”及“射影面积(民房面积)不变”，取特值α=0，就将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的面积全部相同，从而得解。

解：令α=0，即可知选D。

当然，除了上述常用方法外，数学解题中还存在其它的转化方法，由于本文篇幅有限，这里就不一一举例。

总而言之，化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。

作者：曹太忠

数学思想转化应用论文 篇2：

例谈化归与转化的数学思想方法的应用

所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。它是数学思维方法中的一个重要组成部分。

1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。波利亚认为解决数学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻找解决问题的途径。弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。

下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。

例1.已知(x-2)+nf(2-3x)=■(m2≠n2)，求f(x)的解析式。

简解：若设辅助函数u=3x-2，则x=■，就可以将已知的等式转化为mf(u)+nf(-u)=u …(1)

再将(1)式中的u代换为-u，得mf(-u)+nf(u)=-u …(2)

由(1)(2)联立的关于f(u)和f(-u)的二元一次方程组，容易解出f(u)=■=■ 故f(x)=■。

注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。

例2.若关于x的方程x2-mx+2=0在区间[1，2]上有解，求实数m的取值范围。

简解：分离参数m，m=x+■ x∈[1，2]，因为y=x+■在[1，■]单调递减，在[■，2]上单调递增，所以x∈[■，3]。

注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。

例3.求函数y=ln(x2-2x+3)的值域。

简解：设t=x2-2x+3，则y=lnt，因为t=(x-1)2+2，所以，t≥2，又y=lnt在[2，+∞)上單调递增，所以函数单位值域是[ln2，+∞)。

注：通过换元法把问题转化成两个基本初等函数的单调性和值域问题。

例4.比较0.70.5和0.70.6的大小。

简解：因为y=0.7x在R上是减函数，又0.5<0.6，

∴0.70.5>0.70.6

注：构造指数函数，把两个静态的数转化为动态函数的两个值，用函数的单调性来比较大小。

例5.已知函数f(x)=x2-1+x2+kx。

(1)若k=2，求函数f(x)的零点;

(2)若关于x的方程f(x)=0在(0，2)上有2个不同的解x1，x2求k的取值范围，并证明■+■<4。

简解：(1)f(x)=2x2+2x-1，x<-1或x>12x+1，-1≤x≤1

若x<-1或x>1，令2x2+2x-1=0，得x=■或x=■(舍去)

若-1≤x≤1，令2x+1=0，得x=-■，

综上，函数f(x)的零点为■或-■。

(2)f(x)=2x2+kx-1，1

因为方程2x2+kx-1=0在(1，2)上至多有1个实根，方程kx+1=0，在(0，1]上至多有一个实根，结合已知，可得方程f(x)=0在(0，2)上的两个解x1，x2中的1个在(0，1]，1个在(1，2)。不妨设x1∈(0，1]，x2∈(1，2)，

法一：设g(x)=2x2+kx-1

数形结合可分析出k<0g(1)<0，解得-■0

x1=-■，x2=■

■+■=■，-■

令t=-k，t∈(1，■)，■+■=■在t∈(1，■)上递增，

当t=■时，■+■=4。因为t∈(1，■)，所以■+■<4。

法二：由f(x)=0，可知k=-■，0

作出h(x)=-■，0

可得-■

注：(1)函数的零点问题转化成解方程的问题。

(2)本问是已知方程的实根分布求参数的范围，法一：转化为函数的零点问题，数形结合列出不等式组求解，不等式用函数的单调性证明;法二简洁，归功于转化方向，即分离参数，通过新函数的图象性质来解决。

化归思想方法是数学的一种重要思想方法，在运用化归思想方法解决问题并非一成不变的模式，它具有灵活性和多样性的特点，需要结合问题本身的已知充分发散思维，去探求能够有效解决问题的途径和方法，所以学习并能熟练运用划归思想，有意识地对问题进行数学变换，从而灵活地去解决相关问题，有助于学生提高对待变化问题的应变能力，从而提高解决问题的能力，最终达到提高数学能力的目的。

作者：陈斌

数学思想转化应用论文 篇3：

例谈转化思想在数学解题中的应用

知识是思想的“躯体”，思想是知识的“灵魂”。 数学思想方法在中高考中占有非常重要的地位。常用的数学思想有1、函数与方程的思想2、数形结合的思想3、分类讨论的思想4、化归与转化的思想5、有限与无限的思想6、特殊与一般的思想7、或然与必然的思想等，其中转化思想是最为实用的一种方式。尽管数学的“转化思想”的形式多种多样，但转化思想的实质就是将要解的题转化为已经解过的题，将“转化思想”应用在数学教学中能够将学生陌生的问题转化为熟悉的问题，将较难的问题转化为学生已经见过的简单的问题。多年的教学实践证明：该种教学方式不仅愉悦、轻松，有效的激发出学生学习的积极性与主动性，亦能锻炼学生的创新思维，有效提高教学质量。

1.正确处理相等与不等之间的转化

通挖掘题设的条件背景，在相等与不等之间架桥铺路，使等式与不等式相互转化，则可达到"柳暗花明"之功效

例1，已知a、b、c均为实数，且满足a2+b2+c2+21≤2a+4b+8c，求a、b、c的值。

在解决这类型题目时，根据a2+b2+c2+21≤2a+4b+8c，移动之后就可以得到(a-1)2+(b-2)2+(c-4)2≤0，进而得到(a-1)2+(b-2)2+ (c-4)2=0 即得

(a-1)2=0，(b-2)2=0，(c-4)2=0，就可以得出a-1=0 ，b-2=0 ，c-4=0，这就可以解得 a=3，b=6，c=4.

2.抓住特殊与一般之间的转化

在解决有着任意条件的问题时，将特殊转化为一般，就能够快速准确的得出正确的答案.

例2 已知(a+1)x4-(3a+3)x3-2ax2+18a=0，对任何实数a均可以得到共同实数解，求该方程的实数解.

在解决这一类型的题目时，考虑到a是任意实数，那么就可以将a取0和-1，0与-1代入(a+1)x4-(3a+3)x3-2ax2+18a=0就可以得到两个方程，即x4-3x3=0与2x2-18=0，此时，可以求解出x=3.

3.巧用已知与未知之间的转化

在数学解题之中，已知量和未知量，常量和变量并不是完全绝对的，而是具备着相对性的特征，在解决某些问题时，将字母看作已知变量，将数字看作未知变量可以达到一个意想不到的成效。

例3： 如果x2+2x-4=0，求x5+2x4-5x3-x2+6x-5的值。

在解题这一类型的题目时，就可以将“转化思想”应用在其中，由已知5=(x+1)2，将5作为未知量，x作为已知量进行分析，问题转化为x5+2x4-(x+1)2x3-x2+[(x+1)2+1]x-(x+1)2=-1.

4.创新多元与一元的转化

在解决某类型的题目时，可以适当选定好主元，避开其他的干扰因素，该种解题方法在多元高次多项式、代数式的求解中较为常用.

例4 分解因式x4+x2+2ax+1-a2.

在解决此类型的问题时，如果直接将x作为主元来分解因式，不仅难度较大，也会浪费大量的时间，此时，就可以转换解题思想，将a作为主元进行分解，x4+x2+2ax+1-a2经过整理与分解之后，可以得到如下的因式：

-a2+2ax+(x4+x2+1)=-[(a2-2ax+x2)-(x4+2x2+1)]=

- [(a-x)2-(x2+1)2]=-(a-x+x2+1)(a-x-x2-1)=(x2+x-a+1)(x2-x+a+1).

以上是我在教学中应用“转化思想”的一些做法和体会。在应用“转化思想”时，要注意到该种解题方式是具备条件的限制的，在日常教学中，应该加强对学生的训练与指导，遵循先易后难的训练原则，帮助学生养成良好的思维定势，利用转化思维来联系知識与知识之间的结构，通过相互联系的方式不仅可以加强学生对基础知识的记忆与理解，也可以锻炼学生的创新思维能力，提升学生分析问题与解决问题的能力，从而有效提高教学质量。

参考文献：

[1]李继良.例谈初中数学解题中转化思维的有效应用[J].数理化学习(初中版)，2013(04)

作者：焦明日