分类计数原理练习题

第1篇：分类计数原理练习题

分类计数原理与分步计数原理教案

课题: 分类计数原理与分步计数原理

授课教师:孙琼芳 班级:高二(2)班 时间:第十二周星期四第二节 ◆教学目标

1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容. 2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题. 3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用. 4.提高分析问题、解决问题的能力. ◆ 教学重点

分类计数原理与分步计数原理. ◆ 教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理. ◆ 教学方法

启发引导式 ◆ 教学准备

多媒体课件 ◆ 教学过程

一.由实际问题引入课题

2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛.它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第

三、第四名.问一共安排了多少场比赛?

要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识.排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理.

二.讲授新课 问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

图示：

(分析略)

引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m

2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 + m2 + „ + mn

种不同的方法.

问题二：

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

(分析略)

从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：

所有走法

火车1——汽车1;火车1——汽车2;火车2——汽车1;火车2——汽车2; 火车3——汽车1;火车3——汽车2

在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.

分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N = m1×m2ׄ×mn

种不同的方法.

下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.

[例1] 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架的第

1、

2、3层各取1本书，有多少种不同的取法?

(解答略)

教师点评：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。

[例2]电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果?

(解答略)

教师点评：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用.一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.

三、课堂练习

1、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

2、某人有两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束?

3 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

思考:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条?

四、小结：

1. 本节课学习了分类计数原理与分步计数原理。

2. 分类计数原理与分步计数原理的共同点是什么?不同点是什么?

3.解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用.一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.

五、布置作业：课本P87习题10.1 第

2、3题

六、思考题：将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可用,求不同的染色方法种数?

第2篇：分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理.

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用.

教学用具

投影仪.

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.

今天我们先学习两个基本原理.

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课.讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1.介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1).

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4+2+3=9

种不同的走法.

这个问题可以总结为下面的一个基本原理.

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2).

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9-1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法.

(教师要读一遍分步计数原理)

2.浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢?

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢?

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘.)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.

师：请看下面的分析是否正确.

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个;第二类办法是找含因数3的合数，共有2个;第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.

1～10中一共有N=4+2+1=7个合数.

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法?

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法.

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法.

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢?

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求.

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以.

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理.

也就是说：类类互斥，步步独立.

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了.请看例题1.(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法?

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法.根据分类计数原理，得到的取法种数是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.

故从书架上任取一本书的不同取法有14种.

师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法;第二步取1本语文书，有5种方法;第三步取1本英语书，有6种方法.根据分步计数原理，得到不同的取法种数是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90.

故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法.

师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是

N=3×5+3×6+5×6=63.

即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.

师：请大家再来分析和解决例题2.

(板书)

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?

师：每一个三位整数是由什么构成的呢?

生：三个整数字.

师：023是一个三位整数吗?

生：不是，百位上不能是0.

师：对!百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0.那么要组成一个三位数需要怎么做呢?

生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字;第二步确定十位上的数字;第三步确定个位上的数字.

师：很好!怎样表述呢?

(教师巡视指导、并归纳)

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.

答：可以组成100个三位整数.

(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.

教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

(四)归纳小结

师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢?

生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理.

师：应用两个基本原理时需要注意什么呢?

生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.

(五)课堂练习

P222：练习1～4.

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7.

补充题：

1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+…+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第

一、

二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.

(提示：需要按三个志愿分成三步.共有m(m-1)(m-2)种填写方式)

3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?

(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

课堂教学设计说明

两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过;或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题.对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的.基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题.

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的.

分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.教学中给出了例题

1、例题2.这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯.为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础.

考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪.要是有实物投影仪那就更方便了.

第3篇：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

教学目标

①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;

教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学过程

一、引入课题

引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式? ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法?

这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.

二、讲授新课：

1、分类加法计数原理

问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有3+2=5种方法

探究1：你能说说以上问题的特征吗?(分析要完成的“一件事”是什么.) 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。

发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.(也称加法原理) 知识应用

例1：(多媒体展示)在1，2，3，，200中能被5整除的数有多少个?

变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么

可以用：10+10+10+10+10=50(分成5类)

也可以直接得到50(分成2类——奇数与偶数) 分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 、分步乘法计数原理

问题2：从A村道B村的道路有3条，从B村去C村的路有2条，从C村去D的道路有3条，小明要从A村经过B村，再经过C村，最后到D村，一共有多

1

少条路线可以选择?

从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 第三步，从C村到D村有3种方法

所以从A村经 B村又经过C村到D村共有 3 ×2 ×3= 18 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗?(分析要完成的“一件事”是什么.) 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有3种不同的方法，在第2步中有2种不同的方法，第三步有3种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×3= 18种不同的方法.一件事就是：从A村到D村的一种走法

发现新知

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„„做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.(也称乘法原理)

知识应用

例2：有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加. (1)若只需1人参加，有多少种选法?

(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法?

变式：学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法? 分步乘法计数原理的特点：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点?要注意什么问题?

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法;

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

三、课堂练习 1.填空：

①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.

2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.

2

①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种. 4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法. 5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名? 6.乘积(a+b+c)( d+e+f+g)展开后共有多少项?

四、课堂小结

(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么?不同点什么?

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法;

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。 (2)分类加法原理、分布乘法原理的特点是什么? 加法原理：完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成. 乘法原理：完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.

3

第4篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(三)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3

1.1 分类计数原理与分步计数原理(3)

教学目标

1、进一步理解两个计数原理，会区分“分类”与“分步”，

2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.

教学的重点与难点

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

一.复习引入

1.什么是分类计数原理与分步计数原理? 二.举例应用

例

1、教材的P8面的例6。 例

2、教材的P9面的例7。 例

3、教材的P9面的例8。 例

4、教材的P9面的例9。 三.课堂练习：

1.已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是( C) A.2 B.12

C.22

D.25 2.从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少? 解：分三类：一位数，两位数和三位数. 第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外);

第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，共有8×9个符合要求;

第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有9×9种，而百位数字上是2的只有200符合. 所以，从1到200不含数字8的自然数共有N = 8 + 8×9 + 9×9 + 1 = 162 (个). 3.集合A、B的并集A∪B = {a1，a2，a3}，当A≠B时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)共有多少个? 解：按集合A分类. 第一类：A =时，B = {a1，a2，a3}，有2个;

第二类：A = {a1}时，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，有4个;A = {a2}或{a3}时，同理也分别有4个，共有12个;

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长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 第三类：A为双元素集合时，以A = {a1，a2}为例，B = {a3}，B = {a1，a3}，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，共有8个;当A = {a1，a3}或{a2，a3}时情况相同，共有3×8 = 24(个);

第四类：A = {a1，a2，a3}时，B =，{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}有7个，

∴共有14个. 共有2 + 12 + 24 + 14 = 52 (个). 4.用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法? 解：第一类办法：取白球、黑球，共有5×6 = 30(种)取法;

第二类办法：取黑球、红球，共有6×7 = 42(种)取法; 第三类办法：取红球、白球，共有7×5 = 35(种)以法. 由分类加法计数原理知，共有30 + 42 + 35 = 107(种)不同的取法. 5.某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与跳舞的各1人，有多少种不同的选法?

解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人. 第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3 = 15(种)不同的选法;

第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2 = 10(种)不同的选法;

第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有3×2 = 6(种)不同的选法;

第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法. 由分类加法计数原理知，共有15 + 10 + 6 + 1 = 32(种)不同的选法.

四.课后作业

《习案》与《学案》

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第5篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(一)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理

(一)

教学目标

1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，

2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.

教学的重点与难点

1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

(一)分类加法计数原理。

问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗?

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，

一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，

乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

图1

问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数?

归纳：

一般地，有如下原理：(出示投影)

分类计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 注意：分类适当不重不漏。

(二)分步乘法计数原理

问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图2)?

图2

这个问题与前一个问题不同.在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地;而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地.

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.

问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗?

归纳;完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 那么完成这件事共有m1×m2种不同的方法。

问题8：完成一件事，需要分成3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少不同的方法?如果完成一件事情, 需要有n个步骤做每一步都有若干中不同的方法，应当如何计数? 于是得到如下原理：(出示投影)

分步计数原理落千丈 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.

问题8：分类计数原理与分步计数原理有什么不同?

分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题， 共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。

它们的区别在于：

分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事; 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.

(三)举例应用 例1.第4面的例2 例2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法? 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2

(四)课堂练习

1.教科书第6面的第1，3题

2.(1)将4个信封投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法?

34 (2)4位同学参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法?

34 (3)4位同学参加3项不同的竞赛，每项限报一项，有多少种不同的报法?

43 (4)4位同学去3人参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法?

4×3×2 3.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?

解：由于

1、

2、

3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理N3333381

(五) 课堂小结

1、分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，

2、“合理分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,

3、“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;

4、在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,不重复、不遗漏

(六) 课后作业

《习案》与《学案》

4

第6篇：高二数学 分类计数原理与分步计算原理同步教案 新人教A版1

《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》教案

李应钊

2009212042

一、教学目标

知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题。

过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力;通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣;通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

二、重点与难点

重点：理解分类加法原理与分步乘法计数原理;并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理与分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，能根据具体问题的特征，正确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决计数问题。

关键：使学生从实例分析和例题学习中，正确认识分类和分步的特征。

三、教学方法：

本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式的教学方式。 教学辅助手段：多媒体辅助教学。

四、教学过程

1.创设情境，激发兴趣。

2011年10月16日，第七届城市运动会在南昌开幕，其中乒乓球比赛项目17日至24日在“乒乓球市”新余举行，共有25支代表队参加比赛。问:(1)在男单比赛中，若采用小组单循环赛，已知第一小组有A、B、C、D、四人，那么第一小组共有多少场比赛，你能一一列举出来吗?(2)比赛分循环赛、淘汰赛、交叉赛，总共有多少场比赛?

2、实例分析，归纳概念

问题

1、从天津到大连，有四种交通工具供选择：汽车、火车、飞机、轮船。已知每天汽车有1班，火车有4班，飞机有2班，轮船有2班。问共有多少种走法? 设问1：从天津到大连按交通工具可分____类方法?

第一类方法, 乘汽车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第三类方法，乘飞机，有___ 种方法; 第四类方法，乘轮船，有___ 种方法; ∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法

设问2：如果完成一件事有四类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第4类方案中有m4种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

设问3:如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢? 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn

种不同的方法.称为分类加法计数原理，简称加法原理。

问题2：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从C村去D村的道路有3条(如图所示)。李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，一共有多少条线路可以选择?

设问1：(1)整个行程必须通过几个步骤? 第一步, 由A村到B村有___种方法 第二步, 由B村到C村有____种方法, 第三步, 由C村到D村有____种方法, ∴从A村到D村共有_______种方法。 引导学生类比归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.称为分步乘法计数原理，简称乘法原理

这两个原理有什么联系与区别?(学生归纳，教师随机板书)

分类计数与分步计数原理的区别和联系：

联系

加法原理

乘法原理

“完成一件事”的计数方法

完成一件事共有n类办法，关键

区别 词是“分类”

每类办法中的每一种方法都能

完成一件事共分n个步骤， 关键词是“分步”

各步中的任何一种方法都不能独立完独立完成这件事情。(类类独立) 成这件事情，只有每个步骤完成了，才

各类方法数相加

能完成这件事情。(步步关联) 各步方法数相乘

3、合作学习，形成认识

例

1、在1,2,3，……，200中，能够被5整除的数共有多少个? 教师设置如下问题：

 在本题中“完成一件事”指的是什么?  完成这件事是分类还是分步?具体怎么做?  根据什么原理计算得出结果是多少? 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5;

因此，把1,2,3，···，200中能够被5整除的数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个。

第二类：末位数字是5的数，一共有20个。

根据加法原理，在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有20+20=4个。

例

2、有一项活动，需在3名教师，8名男生和5名女生中选人参加。(1)若只需1人参加，有多少种选法?(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法?

教师组织三位学生合作解决问题，其中甲问乙答丙补充，引导甲问如下3个问题：

(1)在本题中“完成一件事”指的是什么? (2)完成这件事是分类还是分步?具体怎么做? (3)根据什么原理计算得出结果是多少? 乙作答，丙完善补充：

第(1)问：选一人参加活动，分三类。第一类:选一名教师，有3种;第二类：选一名男生，

有8种;第三类，选一名女生，有5种。由加法原理，共有N=3+8+5=16种选法。第(2)问：需选三人参加活动，分三步完成。第一步:选一名教师，有3种;第二步：选一名男生，有8种;第三步，选一名女生，有5种。由乘法原理，共有N=3×8×5=120种选法。

4、自主探究，深化理解

练习1：课本第5页练习并组织学生作答。

练习2：①在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

②一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?

练习3：(课本练习拓展题)有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不科目同的书，有多少种取法?

5、总结反思，提高认识 你在本节课学到了什么? 一个中心问题：计数问题

两个基本原理：

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

三个思维关键:

1、明确完成一件事的含义;

2、分清分类(类类独立)与分步(步步关联);

3、分类、分步标准明确,分类不重不漏，分步步骤完整。

6、布置作业，知识拓展 P5习题1-1:第

3、

4、5题

附：板书设计

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理

例1

分步乘法计数原理

例2