作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。如何把教案做到重点突出呢？下面是小编整理的《函数与方程公开课教案》，仅供参考，希望能够帮助到大家。
函数与方程教案
27.3实践与探索(第二课时) 二次函数与一元二次方程的关系 晋城四中 李前进 【教学目标】
1、知识与技能: (1)体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法; (2)理解二次函数图象与x轴(横轴)交点的个数与一元二次方程的根的个数之
间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数 图象特征; 22(3)理解一元二次方程ax+bx+c=0的根就是二次函数与y=ax+bx+c图象与x轴交
点的横坐标。
2、过程与方法: (1)由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间
的联系; (2)经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学
思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观: 培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验 探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。 【重点与难点】
重点:经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探
索过程。
难点:准确理解二次函数与一元二次方程的关系。 【教法与学法】
教法:采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为
基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用” 的探究过程。 学法:探究式学习。
appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged. 7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance. 7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade. 7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores. 7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch. The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible. B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 【教学过程】
一、 诗词导入
教师投影:我国著名数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时少直观，形少数 时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”(学生齐读) 师:数学家的寥寥数语就将数与形之间的内在联系表达的淋漓尽致。今天， 我们通过研究二次函数中的数形结合来体会“数形结合百般好”的奥妙～ 设计思路:从学生熟悉的小诗入手，激发学生探究学习的积极性。
二、 温故知新 y3那些年，我们一起做过的题: 2(1)解一元一次方程x+1=0; 1(2)画一次函数y=x+1的图象，并指出函数y=x+1的图象 x –2–11O 与x轴的交点坐标。 –1(3)你会不画图象求函数y=3x,3与x轴的交点坐标吗, 师生共同总结:一次函数y,kx，b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx，b,0的根
设计思路:这一环节让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质
三、 类比猜想
22你觉得一元二次方程ax+bx+c=0的根与二次函数y=ax+bx+c之间有联系吗,
四、 问题探究
教师分配研究的任务，然后小组合作完成，教师提问，学生展示研究成果。 设计思路: 学生画函数图象比较慢，分配任务既可以节约时间，又可以使 每个学生都有事可做，能够很好地完成学习任务。
appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged. 7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance. 7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade. 7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores. 7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch. The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible. B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 表格一: 二次函数 函数图象 图象与x轴方程的根 一元二次 方程 的交点坐 标 22 y=x+2x x+2x=0 22y=x-2x+1 x-2x+1=0 22y=x-2x+2 -2x+2=0 x
五、 归纳结论
2(1)从“数”的方面看，当二次函数y=ax+bx+c的函数值y=_0_ 时，二次函数 x2-2x+ 2 变为一元二次方程ax+bx+c=0,此时相应的_自变量的值即为二次方程 2ax+bx+c=0的_根_; 2=0 (2)从“形”的方面看，当二次函数的y值为0时，从图像看指的是二次函数图
2 像与_x轴_的交点，此时二次函数y=ax+bx+c与x轴交点的_横坐标_即为二x2-2x+ 2次方程ax+bx+c=0的_根_。 表格二: 2=0 2一元二次方程二次函数y=ax+bx+c的图象一元二次方程根的判别式 222b,4ac ax+bx+c=0的根的个数 与x轴交点的个数
x-2x+ 22=0 b,4ac>0 2 b,4ac=0 2 b,4ac<0 教师和学生一起总结: 2二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一 2个交点、没有交点。当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横 2坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax+bx+c=0的根。 appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged. 7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance. 7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade. 7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores. 7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch. The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible. B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 设计思路:通过教师引导学生完成表格，使学生对命题的内涵理解，“学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解，发现并知道各部分间的内在联系。”填空使学生从“形”与“数”的角度体会数形结合思想，以及方程与函数互相转化的思想，从而归纳出具一般性的结论。 y22y = x x 6
1六、 基础练习 x–3–2–1123O2–1(1)已知二次函数y=x-x-6的图象如图所示: –2 –3图象与x轴有2个交点，交点的横坐标 –42 是______,则方程x-x-6=0有__个根，
方程的根是________ 2(2)函数y= x-5x+6的图象与x轴有___个交点,其交点坐标为_________、 __________。 (3)自命题
每个小组按照教师的要求，小组内通过讨论写出一个一般式的二次函数关系式，用关系式出一道有关二次函数和一元二次方程的简单的题，(七个大组分三种情况布置有目的性的布置，各小组只知道自己小组的任务)。教师通过在教师内观察学生活动情况，选两个代表性题由其他小组来做。
设计思路:小组活动，激发学生的学习热情，巩固对上面总结结论的认识。
七、 例题讲解 2 例1:已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的对称轴是x=2,它与x轴的一个交 2点坐标是(4，0)，则方程ax+bx+c=0的两个解是__________ 设计思路:鼓励学生自主思考，然后小组讨论，派代表上讲台讲解。
八、 巩固练习
2(1)抛物线y=ax+bx+c(a?0)的图象全部在x轴下方的条件是( ) 22 (A)a,0 b,4ac?0 (B)a,0 b , 4ac,0 22 (C)a,0 b , 4ac,0 (D)a,0 b , 4ac,0 (2)下列函数中其图象与x轴有两个交点的是( ) 11112222(A)y=()x23+155 (B)y=()x+23+155 (C)y=()x23155 (D)y=()x+23+1554444 appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged. 7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance. 7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade. 7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores. 7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch. The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible. B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening
七、拓展提高:
21、已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象 如图所示，根据图象回答下列问题: 2(1)方程ax+bx+c=0的两个解是__________ 2(2)方程ax+bx+c=4的两个解是__________ 设计思路:让学生对二次函数和一元二次方程的关系的认识上升高度。
22、你会利用二次函数的图象求出一元二次不等式x,x,2，0的解集吗, (看课堂时间情况决定是否出示)
八、课堂小结，提高认识
函数 方程 22ax+bx+c=0(a ?0) y=ax+bx+c(a?0) 横坐标的
值 图象与x轴交点 根 个数
一个关系:二次函数图象与一元二次方程根的关系: 两种思想:函数与方程互相转化的思想;数形结合思想( 设计思路:用精炼的语言，使得学生记忆简便，而且印象加深，同时让学生在 总结中反思，完成升华。 学生再次齐读华罗庚名言，下课。
九、布置作业， 巩固提升
十、板书设计
课题:„„. 课题:„„.
方程与函数转化 例1: 方程与函数转化 例1: 函数 方程 22y=ax+bx+c(a?0) ax+bx+c=0(a ?0) 横坐标的
值 图象与x轴交点 根 个数 数形结合 数形结合
appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged. 7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance. 7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade. 7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores. 7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch. The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible. B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening
第四章：函数应用
§1：函数与方程
教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。 教学目标：
1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。
2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念。 复习引入：
同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=-.②ax2+bx+c=0(a0) 这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2-4ac来判断方程是否有实解。当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△<0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=
bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0
- 1函数的零点。
说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。
②零点是一个实数，并不是一个点。 ③函数的零点就是相应方程的根。
④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。
学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。
2. 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。
那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢?
观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x) = x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5>0,f(0)=-3<0, f(-2)×f(0)<0; f(2)=-3<0, f(4)=5>0, f(2)×f(4)<0.可以发现f(-2)×f(0)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(-2,0)内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根;同样地，f(2)×f(4)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(2,4)内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：
3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲
- 35，一个小于2。
分析：转化判断函数f(x) =(x-2)(x-5)-1在区间(-∞，2)和(5, +∞) 内各有一个零点。
解：考虑函数f(x) =(x-2)(x-5)-1，有f(2) =(2-2)(2-5)-1=-1<0，f(5) =(5-2)(5-5)-1=-1<0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在(-∞，2)内存在一点a，使f(a)>0;在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)>0，所以抛物线与横轴在(a，2)内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。
四、 零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)>0时，
问题：如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)>0，那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内是否有零点?可能有几个零点?
解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。
1、教学设计的理念
本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。
2、教学分析
在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.
3、教学目标
(1)经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系;
(2)经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点;
(3)积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。
4、教学重点、难点
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
5、教学过程
环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题
环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系
环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件(即函数的零点存在性定理)
环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点
教学过程与操作设计： 环节
教学内容设置 师生双边互动 创
设
情
境
《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程与函数 方程与函数 方程与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念.
组
织
探
究
二次函数的零点： 二次函数
.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
环节
教学内容设置 师生双边互动 组
织
探
究 函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标. 即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
函数零点的求法： 求函数的零点：
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法.
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
代数法;
几何法.
环节
教学内容设置 师生互动设计 探 究 与 发 现
零点存在性的探索：
(Ⅰ)观察二次函数的图象：
在区间上有零点______; _______，_______, ·_____0(<或>).
在区间上有零点______; ·____0(<或>).
由以上探索，你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点.
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论.
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系. 环节
教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究
例1.求函数的零点个数. 问题：
1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
《方程的根与函数的零点》教学设计
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数.
6、小结与反馈：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤.
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 高考数学总复习第一讲：函数与方程
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.
在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题.在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案.
一、例题分析
例1.已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小.
分析：一般情况下，F(x)可以看成两个幂函数的差.已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在(1，+∞)上，或是在(0，1)上，或是在(0，1)内的常数，于是F(x)成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β.
例2.已知0
分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a
比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂，于是可以利用指数函数
是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α.
由于a
综上，
.
解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单.
例3.关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围.
分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0
，
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高考网 现要求0
，又因为x≠1，在图(1)中，过(1，3)点的.
若将ax=3变形为
，令
，现研究指数函数a=3t，由0
，如图(2)，很容易得到： .
通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利.
例4.函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是( ).
(A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x
(C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=3+|x+1|
解法
一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有(A)、(C)可能正确.
又∵f(0)=f(2)=2，∴(A)错，(C)对，选(C).
解法
二、依题意，在区间[2，3]上，函数的图象是线段AB，
∵函数周期是2，
∴线段AB左移两个单位得[0，1]上的图象线段CD;再左移两个单位得[–2，1]上的图象线段EF .
∵函数是偶函数，
∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得[–1，0]上的图象线段FC.
于是由直线的点斜式方程，得函数在[–2，0]上的解析式：
即
由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，
所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0].
解法
三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，
∵函数周期是2，
8 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 ∴f(x+4)=f(x).
而f(x+4)=x+4，
∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1).
当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，
且-x+2∈[2,3].
∵函数是偶函数，周期又是2，
∴
，
于是在[–2，0]上， .
由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，
根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|.
本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题.
例5.已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ).
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(0，2) (D)[2，+∞]
分析：设t=2-ax，则y=logat，
因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用.
解法
一、由于a≠1，所以(C)是错误的.
又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以(D)是错的. 当0
故y=loga(2-ax)是x的增函数，所以(A)是错的.
于是应选(B).
解法
二、设t=2-ax，y=logat
由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，
因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在[0，1]上才是减函数;
又x=1时，y=loga(2-a)，
依题意，此时，函数有定义，故2–a>0
综上可知：1
故应选(B).
例6.已知则g(5)=_____________-
，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称， 解法
一、由 去分母，得 ，解出x，得 ，
故 ，于是 ，
设 ，去分母得， ，解出x，得 ，
8 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 ∴ 的反函数 .
∴ 解法
二、由 ∴ ，∴
.
，则
.
，
即 根据已知： 的反函数为
，
∴ .
解法
三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称.
故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，
∴ .
本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出
二、巩固练习
(1) 已知函数值.
在区间 上的最大值为1，求实数a的(1)解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得， ，得，故此解舍去.
，而顶点横坐标 ，最大值在顶点外取 当最大值为f(2)时，f(2)=1，合理.
，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解
8 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 当最大值在顶点处取得时，由 ，解得 ，当 ，此时，顶点不在区间内，应舍去.
综上，
.
(2)函数 的定义域是[a，b]，值域也是[a，b]，求a.b的值.2)解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论.
当a
解得， 当0≤a
，由于b>0，应舍去.
有 ，解得：a=1，b=2.
当a<0
当a
解得， 当0≤a
，由于b>0，应舍去.
8 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 有 ，解得：a=1，b=2.
当a<0
， ，所以最小
，解得： ，
综上，
或
(3)求函数 的最小值.
解(3)分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求 的最小值.
(3)解法一：∵ ，∴x>2.
设 ，则 ，
由于该方程有实根，且实根大于2，
∴ 解之，μ≥8.
当μ=8时，x=4，故等号能成立.
于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3.
解法二：∵ ，∴x>2
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高考网 设 ，则 =
∴μ≥8且 ，即x=4时，等号成立，
∴log2μ≥3且x=4时，等号成立.
故 的最小值是3.
(4)已知a>0,a≠1，试求方程 有解时k的取值范围. 4)解法一：原方程 由②可得：
③，
当k=0时，③无解，原方程无解;
当k≠0时，③解为 ，代入①式，
.
解法二：原方程 原方程有解，应方程组
，
，
即两曲线有交点，那么ak<-a或00)
∴k<-1或0
8 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 (Ⅰ)解不等式f(x)≤1
(Ⅱ)求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数.
5)解(Ⅰ)，不等式f(x≤1)，即 由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，
∴原不等式 即
∴当0
(Ⅱ)在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1
，
(ⅰ)当a≥1时，
∵
∴ 又 ∴
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数.
(ⅱ)当0
满足f(x1)=1,f(x2)=1 ，即
教学准备
1. 教学目标
1.知识与技能
①理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件.
②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2.过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.
②让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
2. 教学重点/难点
重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定.
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
方程的根与函数的零点
教学过程 (一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程的图象有什么关系?
(a≠0)的根与二次函数2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： (用投影仪给出) ①方程②方程 ③方程
与函数与函数与函数
1.师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和关系，引出零点的概念.
轴交点坐标的生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流. 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
(二) 互动交流
研讨新知 函数零点的概念： 对于函数
，把使的零点.
成立的实数
叫做函数函数零点的意义：
函数的零点就是方程轴交点的横坐标. 即：方程有实数根有零点. 函数零点的求法： 求函数的零点：
的实数根;
的图象联
函数
的实数根，亦即函数
的图象与
的图象与轴有交点函数①(代数法)求方程②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数系起来，并利用函数的性质找出零点. 1.师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法. 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法;
②几何法.
2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论.
二次函数的零点：二次函数
轴有(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与两个交点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0，方程二次函数无零点. 3.零点存在性的探索： (Ⅰ)观察二次函数① 在区间上有零点______;
_______，·② 在区间·
_______,
图象：
无实根，二次函数的图象与
轴无交点，_____0(<或>=). 上有零点______; ____0(<或>=).
的图象 (Ⅱ)观察下面函数
① 在区间上______(有/无)零点; ·② 在区间·③ 在区间·_____0(<或>=).
上______(有/无)零点; _____0(<或>=).
上______(有/无)零点; _____0(<或>=).
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考.
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系.
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析.
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用.
(三)、巩固深化，发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题
例
1、求函数f(x)=㏑x+2x -6的零点个数。 问题：
(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
(2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例2.求函数
，并画出它的大致图象.
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数. 2.P88页练习第二题的(1)、(2)小题
课堂小结
1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些;
2. 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出.
课后习题
板书
因式分解法解一元二次方程
备课人：张友 时间：2017.3.6 教学目标：
1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想; 2.能用因式分解法解一些一元二次方程; 3.学会选择合适的方法解一元二次方程. 教学重点：因式分解法解一些一元二次方程. 教学难点：能够正确选择因式分解的方法. 教学过程： 一.复习回顾
1.同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，那么总共学习了多少种解法呢?
学生回答：直接开平方法、配方法、公式法
2.今天我们要学习因式分解法解一元二次方程，你还记得因式分解有哪几种方法吗?下面三题如何因式分解?各用了什么方法?
(1)xx (2)x9 (3)x5x6
学生回答：(1)x(x1)，提公因式法;(2)(x3)(x3)，公式法;(3)(x2)(x3)，十字相乘法. 二.新课学习
1.首先，我们来看这个问题x5x60，你有几种方法求解呢?
师生共同讨论：无法用直接开平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法吗? 学生回答：(x2)(x3)0 ①
x20或x30 ②
x12,x23
教师提问：从①到②，依据是什么?
学生回答，教师总结：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0.化为符号语言为：AB0A0或B0
这种利用因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
这种降次的方法体现了化归的数学思想方法. 2.试试水
用因式分解法解下列方程. (1)xx (2)x90 222222三.巩固提高 1.例题解析
(x4)(x1)6 解：原方程可化为 x3x100 (x5)(x2)0
x50或x20
x15,x22. 2.总结因式分解的一般步骤
(1)方程化成一元二次方程一般形式; 右化零
(2)方程左边分解成两个一次因式相乘; 左分解
(3)得到两个一元一次方程; 两方程
(4)求解。 各求解 四.课堂练习
1.课本第三十页练习 2.解方程：x6x110
启发：如何选择合适的方法解一元二次方程? 化为一般形式后，左边易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法适用于所有一元二次方程. 五.课堂小结
通过本节课的学习你有什么收获? 六.作业
课本第三十一页习题 第
五、六题
板书设计
复习回顾 新课讲解 例题解析 学生板演 小结作业 22
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