“解题反思”在初中数学解题教学中的作用
摘 要： 解题反思是对知识的反向思考，是对解题过程的再认识。本文重点分析了解题反思在初中数学解题教学中的作用，以培养学生的各种能力，完善学生的知识结构。
关键词： 解题反思 初中数学教学 作用
所谓的“解题反思”，指的是对解题活动过程进行再认识，内容主要包括对题目所涉及的知识点，题意理解，解题方法和规律，解题结果的表述的反思。反思是学生自觉主动地对自己的学习行为，学习决策，以及由此而产生的结果记性审查和调控，有学者指出：数学思维活动的动力是反思。学生通过反思可以将现实的世界数字化。
1.培养学生的各方面的能力
1.1有助于培养学生辨析问题的能力
在日常的教学活动中，可以发现学生在解题过程中经常会出现这样或那样的错误，或者犯同样的错误。如果不搞题海战术，让学生在解答完一道题之后进行思考，思索解题过程中的困惑，思考题目中的隐含条件，思考问题中的一般与特殊情况，[1]那么学生就会在这些题目中认识到更多的问题，他们也能搞清楚错误的源头在哪里，从而提高分析问题的能力。
1.2有助于提高学生的应变能力
引导学生观察题型的演变情况，让学生从宏观上把握初中数学题型，在解法上进行反思，更深刻地理解所學的知识点及可能的出题趋势。学生在总体上对题型的正确认识，对数学知识规律的准确把握，不仅能够触类旁通，而且能够从一道题类比出一类题。不但能够拓展学生思维的深度、广度，而且能够提高学生的应变能力，提高他们的学习能力。
1.3有助于提高学生的概括能力
学生解题反思之后，能获取更多的知识，对知识驾驭的能力也不断增强。但是如果没有对这些知识进行提炼概括，知识体系就会比较松散，没有次序可言。这种混乱的知识结构不但不利于信息的提取，记忆的存储，而且不利于建构和发展知识。教师应当引导学生在深刻认识一定知识的基础上，揭示其间的逻辑关系，舍弃本质差异，最后形成明晰的“知识链”，经过浓缩“知识链”解决相关的问题。
2.对学生知识结构的帮助
反思教学是巩固知识的有效方法。教师应当充分地认识到这一点，鼓励学生对所接触到的问题进行积极正面的思考，同时引导学生在反思过程中注意找准规律，找出相关的经验和方法，并且将这些方法内化为自己独特的方法，从而养成解答完每一道问题后都进行反思的习惯。反思的过程是学生开动脑筋，发挥主观能动性的过程，这个过程不仅能加深学生对问题的横向和纵向的思考与探究，拓宽学生的知识面，而且能帮助学生将所学的知识形成体系，增强分析问题、解决问题及思考问题的能力。
3.对学生形成创造性思维的帮助
“解题反思”能加深学生对问题的认识，反思是锻炼思维的一种良好方式。通过反思，学生可以发现已学知识之间的相互联系，能够用已学的知识判断和推断将要或者正在学习的内容，从而对问题的认识产生自己的独到见解。举一反三是解题反思的重要体现，这种解题思维为培养学生的创造性思维带来了许多益处。
4.对提高学生学习效率的帮助
“题海战术”是一种传统的教学方式，它曾经在提高学生的学习成绩方面发挥了一定的作用。数学是一门应用型学科，学生需要靠练习才能巩固所学知识。但是“题海战术”抑制了学生对学习数学知识的兴趣，使他们觉得有压力，产生厌倦情绪，从而做出厌学、逃学等负面行为。“题海战术”虽然是由量变到质变转变的一种方法，但是一味地重复做题，只是徒劳无功，没有经过思考地重复动作将是现代教学的一个弊病。[2]通过解题反思，虽然解题量少了，但是学生可以对自己的所思所想做总结。经过探讨和思考，学生能够自己挖掘数学的奥秘，从中获得学习成就感，同时也能激励自己主动思考，不失为优化学习效果的好方法。
5.结语
“解题反思”，不仅有利于培养学生良好的思维习惯和辨析解决问题的能力，而且有利于帮助学生巩固其知识结构。解题反思在深化学生的认知，提高其数学素质与能力等方面都具有重要的作用。
参考文献：
[1]常旭东，杨永新.学生数学解题反思的途径与方法[J].上海中学数学，2010(10)：68.
[2]辛金飞.浅谈初中数学解题反思能力培养[J].中国校外教育，2012(04)：54.
作者：董云波
摘要：数学作为学生学习的重要科目之一，其思维抽象性和逻辑复杂性一直以来都是教师教学和学生学习的难点之一。但是在应试教育的现实压力和全面素质教育改革背景下，如何在提高学生成绩的同时培育学生的数学思维，帮助学生开阔自己的思维，形成高效的学习体系，是需要教师着重培养学生的解题反思能力的。通过对自己以往解题过程的反思可以让学生明白自己的学习漏洞，及时更正。帮助学生打好初中数学学习的基础，培养学生解题的兴趣和成就感。
关键词：初中数学;解题反思能力;教学培养
对初中数学来说，学生需要进行长时间的训练和学习才能螺旋式上升进步。初中数学的学习实际上就是一个认识，实践，再认识的过程。学生在对概念和定理进行理解后，再解题实践中又会有新的收获，因此，培养学生的解题反思能力就显得格外重要。
一、关于初中数学解题反思能力的基本认知
初中数学是学生学习数学的关键时期，对学生未来的学习十分重要。俗话说：苟日新，日日新，又日新。只有坚持反思才能认识到自己的缺陷，及时弥补提升自己。所谓的反思，是指学生有意识的努力地去发现自己所做事情与取得结果之间的特定连接。初中数学学习的过程中，解题反思能力是指学生在做完相应的数学题目后，根据自己的解答情况进行自我检查，理清自己的思维逻辑，通过自查自纠的方式不断更新自己，不断获取对该题目的新的收获。如此学生才能不断对数学知识产生新的理解，夯实自己的数学基础水平，数学成绩才能不断进步。教师可以通过培养学生进行做完题目后进行分享或者题后进行笔记反思等多种方式训练学生的自我反思能力。
二、当前初中数学解题反思能力的现状
1.教师缺乏专业理念，忽视学生的反思过程
由于初中数学作为中考的必考科目，理论知识的教学往往占据了课堂的大部分内容和时间。教师过于重视传授学生关于数学的基本原理，概念和方法，同时通过题海战术让学生产生思维映射，从而提高学生的学习成绩和解题能力。因此，在传统的初中数学解题教学过程中学生的反思能力往往是学生单个人的事情，教师是处于旁观者的角度。学生在解题过程中未能对自己解答的过程进行实时的反思，只顾着听从教师的教导，就导致了自身问题不能够及时发现，阻碍了反思教学的发展。同时，教师也不知道如何进一步刺激学生对自己解题过程的反思，教学方法比较单一，教学氛围比较枯燥。甚至学生有时的反思教师无法给予及时回应，也就导致学生的反思没有得到肯定，学生的成就感会大大消失，对数学学习的信心也会下降。
2.学生解题思路单一，缺乏科学的数学思维
在大多数初中生中，他们进行数学解题的方法具有惊人的相似性。都是拿到题目，读一遍后就匆匆下笔。做到一半题目无法进行下去就快速放弃或者死磕到底。解题上思路都比较单一，缺乏举一反三的能力和特殊的解题技巧。这种长久以来形成的解题习惯就导致了学生对反思过程的形式化。学生对自己如何进行反思并不清楚。同时在数学学习的过程中，并未养成科学系统的数学思维体系，对题目的解题也是完全凭借个人特质。处于无意识反思和被动反思的初中学生需要外界的监督，他们很难自己找到问题的真正原因，发现源头所在。而且反思内容比较表面化，浅层次并未触及到核心问题。再加上数学本身的困难性和挑战性，学生长期坚持反思的可能性大大降低。
3.解题教学过程枯燥，未能给予反思的情境
尽管现在处于全面素质教育改革的背景下，但是整体初中数学的教学模式还处于传统落后的形式。解题也是由教师进行主导，学生被动接受题目进行训练。在这种情况下，学生就很容易出现反思态度的懒惰和行动上的忽视。传统教学模式以讲练为主导，并没有给予学生充分的反思情境，学生的反思思考时间很少。有的教师尽管给予学生反思的时间，但是缺乏情境和活动的支撑的反思是比较枯燥的，学生的参与性和积极性都不是很高，反思的效果自然可想而知。实际情况下教师只是通过大量的布置练习题。让学生进行训练，而对反思性的内容，很少进行作业布置。长时间这样的解题教学过程对于处于青春期的初中生来说，不利于吸引他们的专注度，让他们反而产生了学习麻木的错误心理。
三、关于培养学生数学解题反思能力的教學策略
1.树立亲密的师生关系，加强与学生的反思互动
传统的数学解题教学课堂中，教师是权威的主导者，学生是被动的听从者。学生和教师之间并没有进行相应的反思活动，教师无法准确掌握学生的学习情况和学习疑惑，既帮助学生找准反思的点和反思问题的解答。因此，在学生数学学习的过程中，教师要有意识的培养与学生之间的亲密关系，让学生敢于直接向教师进行反思并且乐于进行反思互动。和教师共同推进自己数学成绩的提高。因此在初中数学的解题过程中，教师要通过和善的语言，平等的态度等多种角度加强和学生之间的互动，帮助学生树立反思重要性的理念。
以人教版初中数学《有理数的乘除法》相关题目的解题教学为例说明。首先教师在教学导入环节中，可以询问学生是否掌握上节课有理数加减法的原则，正数加正数，负数加负数，正数加负数。教师可以给予学生一定的时间，让学生通过自测，反思自己是否掌握上节课的基本知识，同时教师可以随机抽取学生，让学生根据自己的实际情况进行回答。同时教师可以对回答正确的同学进行奖励，对回答相对比较困难的学生要进行鼓励，让学生在教师引导下熟悉基本的原理知识。其次在具体的题目练习过程中，教师要当学生解题的旁观者，而不是缺席者。针对五道以上的练习题目，教师可以划分题目的难度等级，在学生做完一个梯度的相关题目练习后，教师可以是试一试的语气让学生进行思路分享。让学生跟教师，跟同学大胆分享自己的解题过程。教师针对该学生的解答，也可以进行细致耐心的点评，也可以让其他同学点评，在反思互动的过程中对该梯度的题目容易犯哪些错误有一个清醒地认识，教师一方面抛砖引玉提出自己的建议，然后邀请同学充当小教师，给自己的同桌讲一讲以后这种题目自己该怎么做。最后教师要根据同学的讨论交流及时进行答疑解惑。给大家讲一讲如何破题，解题过程中容易出现的问题，要求同学进行记录。
2.创设问题的反思情境，激发学生主动反思态度
要想真正激发学生主动对题目进行反思，必须借助于游戏活动或者是一定的教学情境。学生进行反思不是停留在教师口头上的让学生进行反思就反思的。这种反思往往是停留在表面的，无法直击学生学习的核心。而且对于处于青春逆反期的初中生来讲，往往是教师让做什么，他们反而不做什么。因此，教师可以在初中数学解题教学过程中通过问题创设情境或者是其他游戏活动。通过外在的情境形式让学生自然而然的产生反思的想法。
以人教版初中數学《一元一次方程》应用题的解答教学为例说明。教师在教学的导入环节可以提前告知学生本节课我们将要进入一元一次方程的世界中进行探险。一元一次方程世界发生暴乱，它们散落在地球生活的各个角落，今天我们的教学目标就是解答一元一次方程的现实问题，帮助他们回家。在解救之旅出发前，教师可以让学生自行组队，相互检查自己的知识装备，回答教师关于一元一次方程的相关问题。教师在题目准备的过程中通过学生日常生活引入题目。例如人物关系数量，时间关系数量。让学生根据题目反思用到了哪些一元一次方程的解题方法。其次教师可以准备10道一元一次方程的简便计算练习题，根据小组队伍，进行计算，小组三人的正确率一起计算，最高者获得教师准备的奖励。对于正确率高的小组，教师可以让其分享打怪经验，让学生对自己的计算过程进行反思总结。对表现较差的小组，教师同样要求他们把自己的攻关过程和同学们分享，自己反思自己可能存在的问题，其他小组也可以根据自己的经验对其进步进行建议指导，在这个攻关的过程中，真正掌握如何解一元一次方程的方法。最后教师以传承攻关经验的总结，要求学生根据自己的攻关经验写一份解题宝典，教师可以根据学生的书写总结经验，作为类型题目的解题方式让同学记录到宝典中。
3.拓宽学生的反思形式，帮助学生掌握反思方法
当前学生在初中数学的解题教育过程中，反思的形式比较单一，一般都是由学生自己进行无人监督无人分享的反思思考。单一的反思形式造成了学生对数学题目反思的形式化，无法产生真正有效的结果，反思被当做一件可以忽略甚至无需考核的事情。长此以往，学生对反思的态度和积极性逐渐消失，反思常态话的习惯更无从培养。因此教师在这种情况必须考虑学生的反思形式创新，让学生通过多样反思形式，真正掌握反思方法，树立反思信心。
以人教版初中数学《平面直角坐标系》相关题目的解答为例说明。首先教师在教学的导入环节，让学生围绕平面直角坐标系进行自我反思，自己首先给自己建立一个反思成长日记，记录此刻自己对平面直角坐标系相关概念和理论的记忆，让学生自己先梳理遇到平面直角坐标系的相关题目后，自己准备如何破题，如何解题?教师可以激发学生用数学语言或者思维导图等多种方式来进行反思内容的表达，在学生自己思考3～5分钟后，教师可以鼓励学生进行课堂展示，和同学们分享自己的解题思路，其他同学可以进一步补充该同学的解题思路或者完善自身的解题反思。其次教师可以进行小组合作，通过准备10道以上的题目，让学生根据自己的解题反思，进一步对该类型题目进行详细的分解。小组形成一份最终答案，教师要看哪一小组最快最准确。对表现优异的同学要及时进行表扬，解题过程中存在疑惑的同学教师要及时发现，帮助其理清思路，在学生回答例题结束后，教师可以让学生补充完善自己的反思成长日记，重点总结自己在解题过程中的经验与不足。最后，教师可以以设计学校的平面直角坐标系为例，要求同学从出题人的角度反思平面直角坐标系的考查点究竟是什么?让每一个学生进行单独思考，形成相关题目，教师带领学生实地反思看自己的学习结果。
综上所述，初中数学解题反思能力的培养是一个循环上升的过程。初中数学解题过程中培养学生的反思能力，可以体现在两个方面：第一，阅读题目;学生在阅读题目的过程中能够对其考查知识进行大致分析，因此教师可以加强对学生的提问，帮助学生对题目进行反思，找准学生应该反思的点，避免无效反思。第二，解答题目;学生在解答题目的过程中，教师应该鼓励学生对自己的解答过程进行深刻反思，为学生创造积极反思的氛围，在这个过程中，通过多种教学方式，多角度培养学生的反思能力。
参考文献：
[1]李见文.从教师角度浅谈初中数学反思能力培养[C].2019全国教育教学创新与发展高端论坛论文集(卷三)，2019.
[2]张帆.初中数学教师教学反思能力培养的研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2020.
[3]韦凯烽.初中数学教学中如何培养学生的反思能力[J].考试周刊，2019，(88)：95-96.
作者简介：魏艳(1994.08—)，女，福建厦门人，大学本科，中学二级，研究方向：中学数学。
(作者单位：厦门市云顶学校，福建 厦门 361000)
作者：魏艳
摘要：数学思想方法是初中数学教学的主要内容，也是帮助学生灵活解答数学问题的重中之重。初中数学的学习中，培养学生逻辑思维、归纳总结和演绎思维，而数学思想方法是这三种思维的学习体现。
关键词：数学思想;初中数学;解题
学习学习初中数学和高中数学时，会遇到许多自己没有做过的题型，很难去研究分析，提高掌握数学思想方法的运用，学习便按照一定的方法去解决同类型题，达到随心所欲的程度。
一 数学思想方法的概念
许多初中生学习了许多数学解题技巧之后，还是不理解数学思想和方法的定义、作用，不少数学老师大概知道数学思想方法是这么一回事，也不太能清楚地讲明白两者的联系和区别。
1.什么是数学思想。
数学家和学者把数学的理论等归纳总结出来的思想，目前的数学思想主要有函数思想、等价转化思想、分类讨论思想、数形结合思想。从数学思想中，表现出数学的做题方法的一般性和特殊性。
2.什么是数学方法。
数学方法是解决数学问题的具体方法，是人们在生活中总结出解答数学问题的规律和方法，对于同类问题，用同种数学方法便能轻易解决，如果按照常规方法去解答，就会特别费事，数学方法作为某类问题最简便解答方法的总结，帮助许多数学学生在短时间内解答某类数学问题。
3.数学思想和数学方法的联系。
数学思想和数学方法都是数学本质的不同方面的认识，同时，数学方法是数学思想的具体体现，一般习惯统称为数学思想方法。在中学数学当中，题型会不断变化，但是同类题解决方法是基本不变的，往往可以用相同的数学思想方法来解答。极大地方节约了学生做题的时间。
在学习数学思想方法之前，先对它们有个初步的了解，让初中生在今后的学习中，不容易感到混乱或陌生，有利于提高学生的对其理解。
二 数学思想方法的作用
数学思想方法的存在对数学学习和研究有着很大意义，主要是前人为了方便解决生活中数学题而总结出的思想方法，此外后人可以借助现有的思想方法，再度研究出更多方面的思想方法。
1.方便解题。
初中生接触数学时，很难要求他们进行创新、研究，同时初中生也不具备这些能力，在初中阶段，老师需要事先培养学生运用数学思想和方法解题的能力，以便在高中、大学解答数学题、做数学研究打下基础。中考数学经常有创新题型，然而，不管题型如何变化，解题的思想和方法都在这几种当中，只要初中生熟悉运用这几种数学思想和方法，解答初中数学题时都有思路，而不至于大脑空白。
2.数学经验的总结和演绎。
数学思想和方法是数学经验的总结，是数学学者们对无数次同类问题的解答方法进行总结，让初中生学习这些数学思想和方法，在解题时体会到它们的用处，从中出现新的感悟，学生就可以独自创新更多的数学思想和方法。同时学习数学思想和方法，可以解决复杂的同类型题，这就是演绎。
数学思想方法的作用体现在几乎每一次数学问题的解答，在初中数学学习中甚至解决生活中数学问题时，都能感觉出数学思想方法的作用。
三 数学思想方法在初中数学的运用
如何让学生在初中数学解题时运用上数学思想方法，是初中数学老师的教学要求，不同的思想和方法的运用也有所不同，下面从五种不同思想和方法的运用，来进行探讨数学思想方法在初中数学的运用。
1.方程思想。
方程解题在数字中占据大部分内容，初中生经常能够接触到方程解题。很多题目按照常规思维很难解决，一旦设置未知数进行方程解题，反而容易很多。例如很简单的一道题。Y=a+b，a与x成正比，b与x成反比，当x=2且y=6;当x=3，则y=5.问：y与x的函数关系?此题未知数太多，如果用正规思维去解答，即使数学老师也很难做出，不过可以利用方程思想进行解答。先设a=kx，b=a/x(a，b不为零)。然后把x=2，則y=6以及x=3，则y=5代入公式，便得出解析式。
许多含有未知数的数学问题，可以采用方程思想，方便地解决出来。
2.分类讨论思想。
在初中数学当中，有些问题需要分为几种情况去解答。同学们如果只回答一方面，那么解答就不全面，在生活数学当中，我们通常也会遇到一些问题存在多种可能，也需要用分类讨论思想去全面解答。一般情况下该怎么分呢?往往题目会问不同情况的结果，那么就按照题目的问题进行分类，有多少种可能条件就分多少类，并且每一类都分开作答。分类讨论是生活数学运用的重点，生活的事情很少只有一种可能，存在多种可能就需要我们多方面的去考虑，做到万无一失。
3.数形结合思想。
初中生接触数学中几何图形逐渐变多，而解答数学几何图形等问题时，由于图形存在直观性，为了方便作答，有时候可以用上数形结合的思想。具体来说，数形结合就是通过按照问题要求进行绘图，图形中能够观察出所需要的答案。因为图形是严格按照题目要求绘画的，所以问题的答案也能从这图中找到，省去了学生解答问题的麻烦。
4.验证法。
初中生的数学计算能力和解答数学问题能力有限，有时候做出的题也不知道有没有算错或者用错方法，这时候就可以合理验证。验证是根据题目要求，结果符合题目要求的理论来进行对结果正误进行检验的方法，验证方法往往不能用来解决数学题，只是一种检验结果是否符合题目要求的方法而已。
数学的方法有很多，上面所列举的方程思想、分类讨论、数形结合等等数学思想方法，来详细说明数学方法以及部分方法的运用。以上列举的数学思想方法也是初中数学中常用的几种思想和方法。
四 结束语
数学的学习中离不开数学思想和方法的运用，从初中开始，老师就有必要抓紧培养学生运用数学思想和方法的能力，让学生在高中、大学等之后的学习当中，习惯性运用上数学的思想和方法，有利于他们快速解决数学问题。
参考文献
[1] 罗新兵.数形结合的解题研究：表征的视角[D].华东师范大学，2005.
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[5] 杨春秀.浅谈转化与化归数学思想在解题中的应用[J].语数外学习(数学教育)，2012，(6)：37.
作者：黄迎春
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，待定系数法、判别式法等操作性较强的数学方法。那么接下来给大家分享一些关于初中数学解题技巧，希望对大家有所帮助。
初中数学解题技巧
1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母的值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。
配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。
换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，由结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因”
8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”
9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。
10、归纳法：由一般到特殊的推理方法。
11、类比法：众多客观事物中，存在着一些相互之间有相似属性的事物，在两个或两类事物之间;根据它们的某些属性相同或相似，推出它们在其他属性方面也可能相同或相似的推理方法。
类比法既可能是特殊到特殊，也可能一般到一般的推理。
初中数学十大解题技巧
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
初中数学解题方法
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
初中数学选择题解题方法与技巧
胡桥一中许锁林
初中数学选择题解题方法
胡桥一中许锁林
对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法(或者叫验证法)、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。
(一)直接法：
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的.这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法.这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算.这样既节约了时间，又提高了命中率。 9001500例：方程的解为() x300x
ABCD
解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。
(二)特值法：
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。
例：如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是()
A. yx1B.yx1C. yx1 D.yx
1解：看图得，斜率k>0,排除CD，再在AB中选，取特值
x=0,则y=-1,结果选A。
(三)代人法：
通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法.
例3.(2007年安徽)若对任意x∈R,不等式围是()
(A)<-1(B)||≤1(C)||<1(D)≥1 解：
化为化为，显然恒成立，由此排除答案A、
D
，也显然恒成立， 故排除C，所以选B;
恒成立，则实数的取值范
此解法也可以称之为特值法。
(四)排除法：
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断。它与特例法(特值法)、图解法等结合使用是解选择题的常用方法。
例：直线ykxb经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是()
2A. y2x3B.yx2C. y3x2D. yx1
3解：当x=0时，y=2,可以排除AD，当x=3时，y=0,直接选A。
(五)数形结合法：
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.
(2007年江西)若0
A.sin x< B.sin x> C.sin x< D.sin x>
与解：sin x
等三角函数会在九下学。在同一直角坐标系中分别作出
的图象，便可观察选D
(六)极限法：
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程。它是在选择题中避免“小题大做”的有效途径.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，计算简便，迅速找到答案. 例：对于任意的锐角
(A)
(C)，下列不等关系式中正确的是( ) (B
)(D)
，时
排除 解：(九年级下学期学)当当，时
排除选D.(七)估值法：
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.
例：如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，
EF
，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( )
(A)(B)5(C)6(D)
解：由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2， ∴VF-ABCD
=*底面积*高
=·32·2=6，而该多面体的体积必大于6，故选(D).
初中数学知识点归纳总结
一、基本运算方法 ...................................................................................................................................................... 2
1、配方法............................................................................................................................................................. 2
2、因式分解法 ..................................................................................................................................................... 2
3、换元法............................................................................................................................................................. 2
4、判别式法与韦达定理 ..................................................................................................................................... 2
5、待定系数法 ..................................................................................................................................................... 3
6、构造法............................................................................................................................................................. 3
7、反证法............................................................................................................................................................. 3
8、面积法............................................................................................................................................................. 3
9、几何变换法 ..................................................................................................................................................... 4
10、客观性题的解题方法 ................................................................................................................................... 4
二、基本定理 .............................................................................................................................................................. 5
三、常用数学公式 .................................................................................................................................................... 10
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一、基本运算方法
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等
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5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯
一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
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用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。
下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是
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解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。
二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
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25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
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54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 6
1、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 6
3、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 6
4、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 6
6、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2 6
7、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 6
8、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6
9、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 7
1、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 7
4、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 7
5、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形 7
7、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 7
9、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80、推论2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 8
1、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82、梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2
S=L×h
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3、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果 ad=bc ,那么a:b=c:d 8
4、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 8
5、(3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 8
6、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87、推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88、定理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90、定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 9
1、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA) 9
2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 9
3、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) 9
4、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)
95、定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 9
7、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 9
8、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 10
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
10
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 10
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 10
4、同圆或等圆的半径相等
10
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 10
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 10
7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
10
8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
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9、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 1
11、推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 1
12、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 1
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
1
14、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
1
15、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
1
16、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
1
17、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 1
18、推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 1
19、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120、定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 1
21、①直线L和⊙O相交
d﹤r ②直线L和⊙O相切
d=r ③直线L和⊙O相离
d﹥r 1
22、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1
23、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 1
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 1
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
1
26、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 1
27、圆的外切四边形的两组对边的和相等
1
28、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
1
29、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
1
31、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
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32、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 1
33、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 1
34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
1
35、①两圆外离
d﹥R+r
②两圆外切
d=R+r③两圆相交
R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切
d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含
d﹤R-r(R﹥r) 1
36、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 1
37、定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 1
38、定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 1
39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 1
41、正n边形的面积Sn=pnrn/2
p表示正n边形的周长 1
42、正三角形面积√3a/4
a表示边长
1
43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 1
44、弧长计算公式：L=n兀R/180 1
45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 1
46、内公切线长= d-(R-r)
外公切线长= d-(R+r)
三、常用数学公式
公式分类
公式表达式 乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
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|a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
注：韦达定理 判别式
b2-4ac=0
注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0
注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0
注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
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一、问题的提出
1.学生解题过程中普遍存在的问题
著名的数学教育家波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”但目前学生在解题过程中还存在一些问题：
基本概念理解不深刻，基本运算易失分。
审题阅读有待加强，对应用题、文字量大的试题有恐惧心理。
书写格式不规范，数学语言表达不严密。
对陌生题束手无策，尽管有些学生做题不少，一旦碰到没做过的，失误较多，甚至有些题找不到解题思路。
2.当前解题教学设计存在的误区
对于学生解题中存在的问题，我们要反思自己的解题教学设计.在数学解题教学设计中，常见的形式是“例题讲解、学生模仿、变式训练” .即教师通过思考，发现了解决问题的逻辑思路，将这种逻辑思路传递给学生，然后由学生进行模仿训练和变式训练.这种一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破，对问题的“提出“和“应用”研究不足。
现代意义上的“解题教学设计”注重的是解决问题的过程、策略以及思维方法，更注重解决问题过程中情感、态度和价值观的培养。
基于此，本文旨在以新的视角重新审视解题教学设计，想方设法将这种逻辑环节转化为学生发现问题思路的心理环节。
二、基于心理取向的解题教学设计
基于心理取向的教学设计，重在对学生探究发生问题思路的认知结构分析，针对学生思维活动的序列展开，适应学生的心理需求，通过不断地提出问题，研究问题，在此过程中，针对具体问题的特征，萌生具体的数学观念，并检验这些观念正确与否，从而决定再生观念等的多伦循环过程 。
那么如何实现解题教学设计的心理取向呢?我们看一个具体解题教学的例子。
例1如图，已知抛物线y= x2+bx+c(b，c是常数，且c<0)与x轴分别交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)。
(1)b= ，点B的横坐标为 (上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y= x2+bx+c交于点E.点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S。
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个。
(1)(2)学生很容易解答出来，结论为(1) +c，?2c;(2)y= x2? x?2.关于(3)的思路：①分两种情况进行讨论：(Ⅰ)当?1
教师设计这道解教学的思路可以划分为以下几个环节：(1)从教师自己获得的解题思路中定位关键环节;(2)追踪获得解题思路时处理关键环节的数学观念的源头;(3)揣摩并模拟学生萌生处理关键环节的数学观念指令的心理活动过程 。
针对例1的思路，教师需要确定教学设计的关键环节在于两个“数学观念”的形成：
(1)①中面积的求法由于点P位置的变化需要进行分类讨论;
(2)由①中求得的S的范围为基础，获得△PBC的个数，不妨称为“枚举”的数学观念。
师：要求△PBC的面积取值范围，大家有什么想法?
生1：如果能够获得面积S的一个表达式，就能求出范围，可是，我不知道如何获得这个表达式.我尝试过割和补的方法，都不行。
生2：我在尝试求面积时发现如果点P在抛物线AC段运动时，面积S
即0
生3：如果能找到△PBC这个三角形的底和高就好办了?
师：如果我们单纯地以PC、PB、CB为底，好像没法找到相应的高，怎么处理呢?
生4：既然以以PC、PB、CB为底，没法找到相应的高，那么我想能不能过点P作 轴交 于 ，把它分成三角形 和三角形 。
师：真是好想法!大家试探生4同学的这种想法能否实现。
生5：我发现了。
当0
生6：我得到了，当?1
师：很好!生4的创造性观念的贡献已经由生5和生6解决.那么当 为整数时，这样的三角形有几个呢?
生7：由0
生8：当0
这种设计的最大特点就是教师没有将自己精心思考得到的解题思路按照整理好的逻辑表达过程直接提供给学生，而是利用学生已经生成的关于求面积的想法，打破思维定势，将解题思路的逻辑表达转化为学生从自己的心理发展过程，提高了解题教学的有效性.
三、结语
数学解题思路表达的逻辑过程要求简练合理，数学解题思路发生的心理过程要求自然流畅，这两者的合理整合是教学设计的理想状态.在我们的教学设计中，力求达到两者的平衡，将知识产生的逻辑过程利用学生已掌握的数学观念进行心理解释.如果教师在解题教学设计时如果能创造性地提出环环相扣又不道明的提示语，让学生养成这样的习惯，掌握这样的方法，形成这样的意识，那么学生的心灵就能从眼睛的专制中解放出来.于是这种依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识生成的心理过程，整合这两者的优势，促进数学教学的高层次目标的实现的基本保证.
参考文献：
张昆.整合数学教学设计的取向――基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究 .中国教育学刊，2011(6)：52.
张乃达.过伯祥.张乃达数学教育――从思维到文化 .济南：山东教育出版社，2007：186.
近10天的宁大浙江省初中数学90学时解题能力培训已圆满结束，本以为这次培训是走走过场，形式而已，可没想到本次培训给我所带来的教学观念上的洗礼和震撼，是我从教这么多年来未曾经历过的，这么多专家和名教师(他们中有年过60的一辈子从事数学研究的老教授、有50多岁还奋战在教学第一线的特级教师、有宁波市重点中学的一线骨干数学教师、也有从事教学研究指导的数学教研员)，他们的解题分析都是结合教学实践，来自于课本，源于学生在解题实践中所暴露出的一些问题，他们的报告都是真金白银，没有虚的东西，他们精彩的解题分析给我们参加培训的老师深深的启迪，不断地敲及我们的灵魂深处。本次培训之旅是一次心灵之旅，是一次教学观念的大洗脑，培训虽然已经结束，但我仍在回味，本次培训也带给我很多感想，一吐为快。
感想一：这么多专家和名教师的共同点都是对数学研究充满激情，他们爱数学，喜欢研究习题，沉浸在自已的研究世界里，其乐融融。即使是一道很普通的习题，也可以研究到极致，他们通过对习题的研究，可以得出一系列的变式和拓展问题，(这里我在前面的文章中都有所分析，就不一一展开了)引导学生通过做一题从而达到会一片的目的，以此来减轻学生的解题负担，让学生跳出题海。
感想二：他们都有较为先进的教学教学观和学生观，都能设身处地为学生考虑，都是一再呼吁要让学生远离题海，必要的练是要的，但大量重复低效的练习他们都是很反感的。要减轻学生解题负担，唯一的办法是教师加强对习题的研究与分析，通过对习题的研究归类，对学生进行一题多解，多题一解，多解归一的科学指导，以及解题策略的梳理与分析，从而通过典型性一定量习题的训练，就可以达成学生轻负高质的教学效果。
感想三：这些名教师都有一个共同点，他们在习题研究上很勤奋，但在学生的作业布置和批改上都显得很”懒惰”,他们不太喜欢布置作业，也不太想去批改作业，他们更多的是想办法去引导学生，充分调动学生的学习积极性，让学生互相批改，有问题互相问一下，集体研究一下，我想这才是真的体现以教师为主导，以学生为主体的一种先进的教育教学观，我们要走“学生路线”，只有真正的把学生调动起来了，我们的老师才会有更多的时间去研究，去享受我们的教学，提高我们的生活质量。反观我们现在的教育教学现状，有很多青年教师，每天都把大量的时间花在布置作业和批改上，每天都很忙，那里会想到要去做习题研究和分析，长此以往，把自已搞得很累，学生也基本上搞死了，初
一、初二还好，一到初三学生就越显疲惫了，这样的学生到了高中，潜力基本上没有了，很多教师30多一点，就失去了应有的朝气与活力，失去了教学的热情。
感想四：“轻负高质”的教学效果能否实现，以前我还不敢肯定，最多只是提轻负中质的这一目标，但现在听了他们这些名师的报告，以及他们的现身说法之后，我想这肯定是可以做到的，因为他们这些名师在教学实践中确实做到了(这个不是他们自吹的，有据可查的)。我想要做到学生的轻负高质，首先你教师自身的工作状态要做到轻负高质，要做到教师的轻负高质，唯一的办法是研究、研究、再研究，没有对习题的大量研究，谈何轻负高质，谈何跳出题海。真正的这些名教师也不是我们所想象的这么累，他们在成功的初期搞研究可能会累一点，但积累到了一定的阶段之后，已形成了自已的研究思路和方法，也很轻松了，实际上和他们交流的过程中，我感觉他们的心态都很好，生活质量也挺高的，<莲~山 课件 >知识面也很广，并不是除了数学之外，其它方面就不懂了，他们的工作状态真的是轻负高质，你想有这样的教师，在他们班学习的学生也不会吃多少苦头。
感想五：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。这么好的思想报告，这么精彩的解题分析，我想在以后的教学实践中，要加以领会运用，在以后的教学实践中，我可能研究不到他们这种深度，但我想哪怕是尝试性、小范围、浅层次的研究，也可以在一定程度上减轻学生的学业负担，即使做不到轻负高质，就算是能实现轻负中质，对自已而言，也算是做了一件积累功德的事情。
初中数学常用的10种解题方法` 时间：2010-10-20 点击：267 整理来源：京翰教育 我要评论
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相
渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)
归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式
矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积
方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只
需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
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