高中数学教学中如何培养学生分析和解决问题能力

分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题, 并能用数学语言正确地加以表述。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上, 注重对数学思想和方法的考查, 注重数学能力的考查, 强调了综合性。这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求, 也使试卷的题型更新, 更具有开放性。这同时要求我们教师在平时教学中, 注重分析和解决问题能力的培养, 以减少在这一方面的失分。

1 培养学生的审题能力

审题是对条件和问题进行全面认识, 对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究, 它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意, 把握住题目本质的能力;分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确在解决问题, 掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。

例1, 已知求tgαtgβ的值。

分析:怎样利用已知的二个等式?初看好象找不出条件和结论的联系。只好从未知tgαtgβ入手, 当然, 首先想到的是把tgα、tgβ分别求出, 然后求出它们的乘积, 这是个办法, 但是不好求;于是可考虑将tgαtgβ写成, 转向求sinαsinβ、cosαcosβ。令x=cosαcosβ, y=sinαsinβ, 于是

从方程的观点看, 只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是转向求x+y=cos (α-β) , x-y=cos (α+β) 。

这样把问题转化为下列问题:

求cos (α+β) 、cos (α-β) 的值。

这样问题就可以解决。

从刚才的解答过程中可以看出, 解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系, 这需要一定的审题能力。由此可见, 审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

2 培养学生合理应用知识、思想、方法解决问题的能力

高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容;数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等;数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法, 才能解决高中数学中的一些基本问题, 而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。

例2设函数其中ɑ>0

(Ⅰ) 解不等式f (x) ≤1;

(Ⅱ) 求ɑ的取值范围, 使函数f (x) 在[0, +∞) 上是单调函数。

解: (Ⅰ) 不等式f (x) ≤1即

由此得1≤1+ɑx即ɑx≥0, 其中常数ɑ>0

所以, ∞当0<ɑ<1时, 所给不等式的解集为

当ɑ>1时, 所给不等式的解集为x|≥x≥0≥。

(Ⅱ) 在区间[0, +∞) 上任取x1, x2, 使得x1

(ⅰ) 当ɑ≥1时,

又x1-x2<0

∴f (x1) -f (x2) >0

即 f (x1) >f (x2)

所以, 当ɑ≥1时, 函数f (x) 在区间[0, +∞) 上是单调递减函数。

(ⅱ) 当0<ɑ<1时, 在区间[0, +∞) 上存在两点满足f (x1) =f (x2) =1, 所以函数f (x) 在区间[0, +∞) 上不是单调函数。

综上, 当且仅当ɑ≥1时, 函数f (x) 在区间[0, +∞) 上是单调函数。

在上述的解答过程中可以看出, 本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识, 分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力。

3 加强应用题的教学, 提高学生的模式识别能力

高考是注重能力的考试, 特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力, 更是考查的重点, 而高考中的应用题就着重考查这方面的能力, 这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑。 (新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”)

数学是充满模式的, 就解应用题而言, 对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始地实际问题, 命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。如1997年的“运输成本问题”为函数与均值不等式;1998年的“污水池问题”为函数、立几与均值不等式;1999年的“减薄率问题”是数列、不等式与方程;2000年的“西红柿问题”是分段式的一次函数与二次函数等等。在高中数学教学中, 不但要重视应用题的教学, 同时要对应用题进行专题训练, 引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型, 这样学生才能有的放矢, 合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。

4 培养学生重视解题过程的回顾, 提高学生分析和解决问题能力

在数学解题过程中, 解决问题以后, 再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究, 是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段, 也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段.

解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果, 真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力, 培养学生的创造精神, 而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现。所以, 在数学教学中要十分重视解题的回顾, 与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析, 对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括, 可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握, 并将它们用到新的问题中去, 成为以后分析和解决问题的有力武器。