直线与平面平行与垂直

第1篇：直线与平面平行与垂直

3、2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行（共）

高二数学B

3、

2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、

平面与平面平行

编号：9编制：戴金娜审核：刘红英时间：2012-2-1

5一、学习重点：掌握用向量的方法证明直线与直线平行、直线与平面平行点在平面内。学习难点：灵活用向量方法证明空间中平行关系

二、知识梳理 

1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v

1、v2与平面a共面(图(2))， 一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，

可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使 v1=xv1+yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v

1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。 对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

(1)若l

1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

(2)证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3-28，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′;MN∥AD′，并且MN=

1 1AD′。

2高二数学B

变式训练

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN=1BD。 2

例2：求证四点A(

5、

2、7)B(

4、

5、2)C(

2、

7、2)D、(

3、

4、7)共面

三、课堂检测

1、已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D是AC的中点，

求证：AB1∥平面DBC1.2、已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=11BD，AN=AE。证明。直线MN∥平面CDE。 3

33、求证：四点A(

3、0、5)， B(

2、

3、0)， C(0、

5、0)，D(

1、

2、5)共面。

4、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面ABC内?

111(1)OMOAOBOC;(2)OM2OAOBOC. 333

第2篇：课题：两直线平行与垂直的判定

一、学习目标：

1.掌握用直线的斜率来判定两直线的平行。 2.掌握用直线的斜率来判定两直线的垂直。

二、重点：两直线平行与垂直的判定及其应用。难点：两直线垂直的判定公式的推导。

三、复习引入：

1.直线的倾斜角与直线的斜率之间有什么关系? 2.斜率公式是什么?

四、学习过程：

导读：阅读课本P86P89,完成下列问题：

若l1//l2，则l1与l2的倾斜角1与2有什么关系?斜率有什么关系?反之，若k1k2，则l1与l2有什么关系?

归纳：两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1,k2有l1//l2此结论有什么用途?

导思：已知A(2，3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)试判断直线BA与PQ

的位置关系。

导读：阅读课本完成下列问题

设两直线l1与l2的倾斜角为0

1与2(1,290)。如图，如果l1l2。

则1与2有什么关系?试推导k1与k2的关系?

归纳：两直线都有斜率时，l1l2k1k2

导思：已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6)试判断直线AB与PQ的

位置关系。

导练：

1.已知A5,1,B1,1,C2,3三点，试判断ABC的形状。

2已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线ADAB,且CB//AD.五、达标训练：

1.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3)试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

2.P89练习1.2

3.P89.习题3.1A组6.7.B组1.2.3.

4六、反思小结：

第3篇：直线和平面平行与平面与平面平行证明题

专题训练

E是AA1的中点，求证：AC

1、、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，1//

平面BDE。

A

1D1

B1

E

A

B

2、如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF有一条公共边

CD ,

M为FC的中点 , 证明: AF // 平面MBD.C

M

D

A

B

F

PCA、C分别是PBC、

3、如图6-9，A、B、面ABCPAB的重心.求证：

∥面ABC.4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中.

(1)作出过直线AC且与直线BD1平行的

截面，并说明理由.(2)设E，F分别是A1B和B1C的中点，

求证直线EF//平面ABCD.

D1 C

1A1B1

C

A

5、、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG.

求证：EH∥BD.(12分)

6、

P是平行四边形ABCD所在平面外一点，

PC//平面BDQ.(自己作图)

Q是PA的中点，求证：AEHBDFC

7、 如图，a//，A是的另一侧的点，B,C,Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD4，CF4，AF5，则EG=___________.

8、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.

第4篇：两条直线平行与垂直的判定学案

高一数学教学设计方案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时：

2学习目标：

1. 探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行。

2. 探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直。

3. 自主学习，合作探究。培养和提高联系、对应、转化等辩证思维能力。

重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直。

难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论。

学习过程

一、预习：1.阅读教材P86----89.2.两直线平行的判定

(1)对于两条不重合的直线l

1、l2，其斜率分别为k

1、k2，若l1∥l2，则_________;

反之，若k1=k2，则__________。

(2)如果直线l

1、l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是__________，从而它们互相

__________。

3. 两直线垂直的判定

(1)若两直线l

1、l2都有斜率，分别为k

1、k2，且它们互相垂直，则它们的斜率之积等于

_________;反之若它们的斜率之积等于—1，则它们___________，即___________。

(2)若两条直线中一条斜率不存在，另一条的斜率为___________，则它们互相垂直。

4. 思维拓展

(1)若两条直线平行，斜率一定相等吗?

(2)若两条直线垂直，它们斜率之积一定为—1吗?

5. 知识应用

(一)判断两条直线的平行关系

例1.已知A (2,3)，B (–4,0)，P(– 3，1)，Q(–1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

跟踪练习1：已知平行四边形ABCD中，A(1，1)B(-2，3)C(0，-4)求点D坐标

(二)判断两条直线的垂直关系

例3 .已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.

例4. 已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形ABC的形状.

二.课堂小结：

三..基础自测

(1) 判断下列直线的位置关系，并说明理由。

① l1: y=3x+2,l2: y=3x+5② l1: x=5,l2: x=8

③ l1: 5x+3y=6,l2: 3x—5y=5④l1: y=5,l2: x=8

(2)已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是()

A、—8B、0C、2D、10

(3)判断下列各对直线平行还是垂直：

①经过两点(2,3)，(-1,0)的直线l1，与经过点(1,0)且斜率为1的直线l2;

②经过两点(3,1)，(-2,0)的直线l3，与经过点(1,-4)且斜率为-5的直线l4;

(4)求m的值，使过点A(m，1)，B(—1，m)的直线与过点P(1，2)、Q(—5，0)的直线

① 平行② 垂直

作业：课本P89 习题3.1A组1-8

第5篇：直线与平面平行

高考要求

2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化

例1如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，

例3已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8 (1)求证：直线MN∥平面PBC;

(2)求直线MN与平面ABCD所成的角

N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE

E

例2如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB

1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD

学生练习

1设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是() Aα⊥β且m⊥βBα∩β=n且m∥n ∥n且n∥αDα∥β且mβ

2那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()

A异面BCD

3两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是() Aa∥αBa与α相交C与α不相交Daα

小结:

112)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合

(4)应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线2(1)根据定义，用反证法证明2)证明直线在平面3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直小结:

1证明两直线平行的常用的方法有(12)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所

作直线与第一条直线重合

(4)应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线

(12)证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直(1)根据定义用反证法证明(2)证明一平面内的两相交直线与另一平面平行(或与另一平面内的两条相交直线平行)(3)证明两平面都垂直于同一条直线例1证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥又NQ=

2 BN=

2CM=MP， ∴MPQN是平行四边形

∴MN∥PQ，PQØ平面BCE而MN平面BCE， ∴MN∥平面BCE

证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G(如下图)，连结NG∵MG∥BC，BCØ平面BCE， MG平面BCE，

∴MG∥平面BCEBG又

GA=CMMA=BNNF

，∴GN∥AF∥BE， 同样可证明GN∥平面BCEMG∩NG=G，

∴平面MNG∥平面BCEMNØ平面MNGE∴MN∥平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行

例2证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN∵BB1⊥平面ABCD， C1∴BB1⊥AB，BB1⊥BCA∴EM∥BB1，FN∥BBEM∥FN又B=CFN

1E1F，∴EM=故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中， ∴EF∥平面ABCD

证法二：过E作EG∥AB交BBB1于点G，连结GF，则1EB1A1∵BC1E=C1F，B1A=C1B，∴

1FCBFG∥B1C1∥BCEG∩FG=G，AB∩BC=B， 11∴平面EFG∥平面ABCDEF在平面EFG中，∴EF∥平面

点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在的平面与已知平面平行(1)证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MAMN∥又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC

(2)解：由(1)知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角

由正棱锥的性质知PO=PB2

OB2由(1)知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BEPEB中，∠PBE=60°，

PB=13，BE=6

58，

根据余弦定理，得PE=91

2918在Rt△POE中，PO=2

，PE=8，

PO

∴sin∠PEO=PE故MN与平面ABCD所成的角为

点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行线与面所成的角MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD用向量法求角，后面有专门的介绍1.答案：D

2.解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，

∴b∥c又bα，α∩β=l，∴b∥la∥l答案：C 3.答案：C

第6篇：《直线与平面垂直的判定》的教学反思

焉耆一中数学组李新华

本节是高一《必修2》第二章第三节第一课时的内容。本节课所要达到的知识目标是：(1)掌握线面垂直的定义;(2)掌握线面垂直的判定定理，并能利用判定定理证明一些简单的线面垂直问题。所要达到的知识目标很明确，但学生的实际情况是空间想象能力较弱。所以本节课我先是以生活实例让学生比较直观的认识线面垂直，同时让学生自己动手比划找出线面垂直的条件，鼓励学生自己给出线面垂直的定义。然后，引导学生探索发现线面垂直的判定定理。最后，利用判定定理证明一些简单线面垂直问题。

本节课我最满意的地方是线面垂直定义、定理的引入。最大亮点是我依次给出了三个设问，大胆鼓励让学生自己动手比划，再结合生活实例，得出结论。设问：(1)如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么这条直线一定能和这个平面垂直吗?(2)如果一条直线和平面内的无数条直线都垂直，那这条直线一定与这个平面垂直吗?(3)如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那这条直线一定和这个平面垂直吗?完全放开让学生自己动手比划，让学生在动手的过程中发现问题，最后由他们自己总结出定义。这个过程使学生很有成就感，而且极大的调动了学生学习兴趣和积极性。好些学生说:“立体几何太有兴趣了，根本没有想象的难嘛!”之后，我又给出设问：如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那这条直线一定与这个平面垂直吗?然后还是由学生动手比划得出结论。为了使他们的结论更具有说服力，我又举了生活中的实例，比如教室的墙拐角所体现的线面垂直等。最后得出本节课的重点知识线面垂直的判定定理。这部分之所以感到满意，是因为所有的内容基本都是让学生亲自动手比划得出的，这使他们对定义的理解更到位，更深刻。以至于在后面的实践证明中原本很愁人的地方反而比较顺手，学生也一直比较兴奋，课堂气氛很活跃。之后的作业反馈，大部分学生都能证明出一些简单的线面垂直问题，这也说明我的这堂课的确是比较成功的一堂课。

通过这堂课，让我对立体几何这部分的教学有了全新的看法：一定要以最大的可能让学生自己动手，自己比划，发现问题，试着自己总结规律，得出结论。要努力把他们的态度从“要我学”变为“我要学”升华为“我爱学”。