第10章重积分小结

总结是记录某个时期的学习或工作情况，通过系统性分析的方式，编写出详细的书面报告，通过这份报告的内容，可让我们更加了解工作情况。那如何写出科学合理的总结呢？以下是小编整理的《第10章重积分小结》仅供参考，希望能够帮助到大家。

第1篇：第10章重积分小结

第10章小结

网络

计算机网络

是将地理位置不同、操作相对独立的若干台计算机通过传输介质及传输设备相互连接起来，实现资源共享和信息传输的系统。最重要可以：数据通信、资源共享、分布处理。

数据通信是计算机网络最基本的功能，可传递信息：文字、图片、声音、视频等。

计算机网络的分类

按照计算机之间的距离和网络覆盖面来分：局域网和广域网。 ① 局域网分布于较小的地域范围，分布范围在几米到几千米之间。学校的计算机教室、校园网都属于局域网。 ② 广域网也叫远程网，比局域网覆盖范围更广，因特网是最大的广域网，它覆盖全球许多国家和地区。

网络设备

网卡局域网中最基本的部件之一，是计算机和通信线之间实现连接的设备。网卡按其传输速度，可分为10M网卡、10/100M自适应网卡以及千兆[1000M]网卡。常见的网卡：独立式网卡、主板集成式网卡。

交换机是局域网互联的主要设备，用于高速互联多台计算机，连接在同一[组]交换机上的计算机可互相访问。

路由器用于连接不同类型的网络，它能对不同网络之间的信息进行“翻译”，以实现互相传输数据。例如要把校园网接入因特网，可使用路由器。路由器至少有1个接入口用于连接外部网络，其他接口用于局域网内部的计算机互联。

服务器指的是在网络环境下运行相应的软件、为网上用户提供各种服务的高性能计算机。服务器在网络上可以提供软硬件和数据资源共享的服务，例如Web服务、视频服务、答应服务、数据库服务、文件服务等;也有的提供数据中转服务，例如邮件服务器、即时通信[QQ、MSN Message等]服务器等。

因特网 1. 是全世界最大的计算机网络系统。利用通信设备将全世界各地的计算机系统互连起来，实现资源共享和信息交换的数字通信网。起源于美国国防部高级研究计划局于1968年主持研制的永远支持军事研究的计算机实验网ARPANET，即“阿帕网”。1985年美国国家科学基金会基于ARPANET发展了具TCP/IP协议，名为NSFNET的广域网。NSFNET在1986年建成后取代ARPANET成为因特网的主干网。

20实际90年代初期，随着WWW<环球信息网，也叫万维网>的发展，因特网逐渐开始普及。如今因特网上除了浏览网页、电子邮件等传统应用外，还增加了电子生物、远程教育、网络娱乐等新兴应用，唔落从技术还是引用上，因特网都在告诉的发展着。可以说因特网是继电报、电话发明以来人类通讯方式的又一次革命。 2. 网址

计算机之间进行通信，除了必备的硬件设备外，还需要相应的软件支持，其中起着控制信息传输作用的重要软件是网络协议。因特网主要采用TCP/IP协议，及传输控制协议和互联协议，其中互联协议用IP地址来表示因特网上的主机地址，它是计算机所能识别的地址。目前普遍使用的IP地址采用5个字节[32位二进制数]表示，为了方便观察，也可采用4个十进制数描述，每个数的范围是0~255，用“.”隔开，如“192.168.50.2”、“211.100.35.132”等。

3. 由于IP地址很难记，所以常用字符地址来表示网址，如： www为主机名 nju为南京大学 edu为教育机构 cn为中国。

4. com商业机构

edu教育机构

gov政府网站

org其他非盈利组织

net网络组织

mil军事机构

5. cn中国

au澳大利亚

ca加拿大

de德国

fr法国

gb英国

接入因特网

将计算机接入因特网有无线和有限两种方式。有些宽带接入中，主要有电话线接入的ADSL方式、有线电视电缆的Cable Modem方式、光纤或双绞线的LAN方式上网。

ADSL方式：要求一条开通了ADSL的短划线和一个ADSL调制解调器，还要有虚拟拨号程序。ADSL方式的数据下载速度一般在512Kbps~8Mbps,上传速度小于1Mbps. Cable Modem方式：Cable Modem[线缆调制解调器]是一种通过有线电视网络进行数据高速接入的设备。利用有线电视电缆中的频道来传输数据，使用1个频道传输的速度就可以达到27Mbps~36Mbps. 光纤方式：随着多媒体技术在网络中的应用，对上网速度的要求越来越高，光纤上网日益普及，齐书记传输的素服非常快，一般为10Mbps~100Mbps. 无线接入因特网的方式主要有CDMAIX、GPRS、WLAN等。因其方便而受到情迷，但从目前的技术水平来讲，无线上网的速度还是相对较慢的。

目前，学校计算机教室局域网的上网主要是通过双绞线，借助计算机的网卡介入到因特网，实现宽带共享无线上网也已悄然兴起。

功能强大的因特网

基本服务：信息浏览服务[www服务]、电子邮件服务[E-Mail]、文件传输服务[FTP]、电子公告牌服务[BBS]。

网络的常见应用：即时通信[QQ、MSN Message]、博客(Blog)、电子商务(Wlectronic Commerce)、远程教育、网上娱乐等。

第2篇：第10章 制定产品战略 章节小结

产品(Products)策略是4P营销策略的核心，是企业市场营销活动的支柱和基石，是其他价格策略、分销策略和促销策略的基础。

这次总结将主要整理产品战略部分的知识点，包括产品特征和分类、产品关系、新产品开发以及产品生命周期四个部分，并根据广告学专业本身的专业特点，将其与跟本专业相关的品牌的知识进行合并与整合，以求简洁明了的地该部分内容进行总结。

一、产品层次和分类

1、产品的定义

产品，是指提供给市场以满足需要或需求的任何东西，包括有形产品、服务、体验、事件、资产、组织、信息和创意。

2、产品层次。

人们在生活中通常所说的产品一般是指狭义的产品定义，也即可以被人所看见的物化的具体产品。然而在营销中，产品被更加完整、系统、科学地表述，它应该既包括具有物质形态的产品实体，又包括非物质形态的利益，依照产品增加顾客价值多少的不同，被具体地分为了五个层次，即是产品层次。

这五个产品层次包括核心利益、基本产品、期望产品、增值产品以及潜在产品。 核心利益，是指消费者通过消费产品和服务来满足其基本的需求与欲望。

基本产品，是指产品的基本外观，包括对于其功能来说绝对必要的那些属性特征，但不是显著的特性。这是一个基本的、朴素的、能够圆满地实施产品功能的产品外观。

期望产品，是指购买者在购买产品时，期望能获得的一系列产品属性或特征。 增值产品，是指产品区别于竞争对手的其他属性、利益，或与之相关的服务。 潜在产品，是指产品最终将要经历的各种延伸和转变。

在某些说法中，产品层次被简化为核心产品、外围产品以及外延产品三个层次，而外围产品与外延产品之间的区分有一个明确的标准，即是是否超过了顾客购买产品前对产品的期望。两种说法之间存在的联系在于，基本产品与期望产品提供了最基本的价值与顾客期望的价值与利益，即是外围产品，而增值产品和潜在产品提供或即将提供超过了顾客期望的价值与利益，即是外延产品。

1 就许多市场而言，最主要的竞争发生在增值产品这一层次，因为大多数企业能够在期望产品层提供满意的产品。

3、产品分类

产品根据耐久性、有形性以及用途三个基本特征进行分类，并与不同的营销组合战略对应。 (1)将产品分为耐用品和非耐用品 (2)将产品分为有形商品和无形服务 (3)将产品分为消费品和工业品

二、产品组合

产品组合，又称产品搭配，是指特定的生产商提供给市场以供销售的一系列产品或项目，而公司的产品组合可以通过广度、长度、深度和一致性等术语进行描述。

在讨论产品组合的概念时，有必要介绍“产品层级”的有关知识。产品层级是从人的基本需要开始，一直延伸到能够满足这些需要的具体项目，包括六个层级：需求类型、产品门类、产品种类、产品线、产品类型、产品项目。

1、产品线

产品线广度是指公司具有多少不同的产品线。产品线长度是指产品组合中的产品品类书。产品线深度是指产品线中每种产品的种类。产品线一致性是指各条产品线在最终用途、生产条件、分销渠道或者其他方面相互关联的程度。

2、产品线延伸

产品线延伸是指公司延长其产品线的行为，主要有向上延伸、向下延伸和双向延伸。

(1)向下延伸。企业原来生产高档产品，后来决定增加低档产品。在企业原有的高档产品的销售增长缓慢、企业的高档产品受到激烈竞争等情况下，可以采用这种策略。

(2)向上延伸。原来生产低档产品，后来决定增加高档产品。在高档产品市场需求大、销售增长快、利润率较高，高档产品市场上的竞争者比较弱，同时企业又想自己成为生产种类全面的企业等情况下，企业可以采用这种策略。

2 (3)双向延伸。原来定位为中档产品市场的企业在控制了中档产品的市场后，决定向产品大类的上下两个方向延伸，扩大产品的市场阵地。

三、立体产品-品牌构架图

图表 1立体产品组合架构图

左边的图表1解释的是产品层级与产品组合的关系。产品层级中，需求类型决定了产品门类在整个产品集合的位置;而企业自身的能力(财务状况、人才配置等)决定了产品线能够覆盖的范围，也即是产品线广度;在产品门类中进行划分不同的产品种类，而每一个种类便形成了一条产品线，而产品集合的半径便是产品线的深度，平均半径乘与产品线的广度就是产品线的长度;在一条产品线上可以根据产品的定位、风格、价格等特色进行产品类型的划分，将产品线划分为不同的数段;每个产品类别下有数个产品项目，用产品型号进行表示;而产品线的延伸实际上便是产品线深度的向外扩展、向内扩展与双向扩展，或者是对其中进行补缺，这是相对于另外一种延伸方式——品类延伸——也即是向不同的品类进行延伸，可能是在本来的产品门类中进行创造，也有可能是超出了原来决定的产品门类，而产品线的延伸与品类延伸共同构成了品牌的延伸。

可以说，整个图表的是以产品层级为基准，确定了企业的整个

产品战略的制定。

图表 2立体产品-品牌架构图

同时，立体产品构架图也可以用来解释企业产品与品牌的关系，如图表2 立体产品-品牌架构图。企业根据自身实力的不同与产品组合规模的不同可以采用4种不同的品牌架构，分别是单一品牌结构、复合品牌架构、多品牌架构以及分类品牌架构，前三个分别以图表中的企业类型1~3进行表示，而分类品牌架构则是企业拥有多种不同门类的产品，也即是整个企业规模由多个企业类型1的部分组合而成。

四、新产品开发

首先，这里的新产品已经超出了字面上的以及传统意义上的解释，也即是不止是因科学技术在某一领域的重大发现所产生的新产品，它还包括了以下六种：新问世产品、新产品线、现有产品线的补充产品、现有产品的改进/改变、市场再定位、成本降低。新产品的开发对企业有至关重要的作用，它保证了企业的生存与发展，提高了企业的竞争力与经济效益，同时对于消费者而言，新产品往往满足了新的物资与文化需求。

新产品的开发需要一个漫长的过程，企业需要花费大量的成本在新产品的开发决策，通过提出创意、创意筛选、概念开发、概念测试、营销战略、商业分析、产品开发、市场测试，最终进行商业化。

新产品的开发总是有巨大的风险，而企业必须要做的便是根据内部企业自身的因素市场营销能力、财务状况、技术实力，以及外部的政府、法规、市场情况、组织文化等因素评估这一风险，以此决定开发新产品的种类与具体的战略和方案。

企业总是想要降低新产品开发与引入上的风险，而不得不提的便是于此相关的品牌战略，因为品牌的目的是表达差异性，并且消费者对品牌忠诚度的作用，而利用品牌这一工具能够更加真切的向消费者传达新产品应该有的，也是消费者所关心的新特性。

当公司推出一种新产品时，在品牌战略上一般会有三种方式可供选择，一是单独为新产品开发一个新品牌(也即是形成多品牌架构)，二是以某种方式使用现有的某个品牌，三是将新品牌与一个现有品牌结合使用，后两者便是所谓的品牌延伸。这一做法有两大优点，其优点一是可以增加新产品的可接受性，如降低了消费者的风险感知、增加了分销和试销的可能性、提高了促销费用的使用效率、降低产品导入及后续营销活动的成本等，这主要体现了品牌在从营销战略到最终商业化等新产品开发过程各个步骤所起的优势与作用;二是为母品牌和公司提供反馈利益，更多的是增效了新产品开发对于企业本身的意义。

五、产品生命周期

产品生命周期可以说是一个拟人的说法，将成品的整个生命周期具体的划分为导入、成长、成熟与衰退四大阶段，而产品生命周期划分的最大意义在于企业可以根据产品各个方面特点如销售、成本、利润、顾客以及竞争者的具体情况，确定这一产品进入到了哪个生命周期阶段中，并以此来确定产品的营销目标以及营销战略，用时间上的阶段与具体的特点、目标和战略两个维度进行划分，简单并且容易操作。

产品生命周期对于企业更多是一种参考意义，因为对产品生命周期的阶段划分，以及判定产品是否到达了这一周期阶段，这一做法本身有一定的难度，划分标准上也难以确认，而一旦判定错误，企业将损失对这一产品的优势。

第3篇：班级积分管理小结

运用积分制度 优化班级管理

游埠镇中心小学 邵娟

我作为一名班主任，身肩班级管理的重担。在新时期，过去一成不变的班级管理模式——班主任命令式、强制式管理不仅影响了师生之间的感情，而且在纪律、卫生、日常作业检查等方面的管理很难到位，学生不愿管，没有学生理，面对这样的情境，我甚感头痛，优良的班风极其难以形成。后来，在我校胡小平老师的引导下，我慢慢开始尝试班级小组“积分制”管理，变学生被动接受管理为学生主动管理自己。而作为班主任只作为“裁判员”，严格执行班级小组积分管理制度，兑现奖罚，让学生主动起来，个个争做一个优秀的“运动员”。

首先,我们必须明白什么是积分制。积分制,顾名思义为一种积累分数的制度,在班级教学管理中解释为,对学生做某一件事的对错进行评价,且以分数的相加减记录其这一行为的得失,并设定其等级。

一、我的做法

(一)建章立制，明确细则

俗话说：国有国法，家有家规。没有规矩不成方圆。在班级管理实践中，有许多班主任管理班级没有一套形成文字的规定，对学生的要求往往只是口头上的，当学生发生问题后，在处理时有很大的主观随意性，而且还一次变一个花样地“整治”学生。老师对问题的处理方式若有不当，则可能会有失公允，学生则会失去公正感，进一步则失去了对老师的信任，产生逆反心理甚至行为上抵触。

我们国家正在迈向民主与法制的社会，党要完善法制依法治国，对学校要求依法治校。同样，班级也只有做到依“法”治班，才能使学生增强法制意识，将来才可能会适应社会的要求。因此，班级管理必须有一套行之有效的比较健全的制度。班规面前人人平等。

当然，这一套制度不能由我闭门造车一个人说了算。我召开班会，提出问题，让学生充分讨论，针对实际情况，以民主表决的方式订出可行而易操作的规定。这样可培养学生的民主意识和执行制度的自觉性，如有人违反了，他也会心服口服地接受处罚。

注：六(3)班班级积分制评比细则见附件(一)

(二)科学分组，明确职责。

首先，对学生进行科学分组。全班45人，将之分成6个小组。在分组时，我指导学生尽量遵循以下原则：成绩互补原则，男女搭配原则，动静搭配原则，性格互补原则，自由组合原则。这样分配的组能力较均衡，体现了公正合理。再次，每个小组进行组内分工，由组员推选组长(纪律)、副组长(学习)、卫生组长、后勤组长、作业组长等。

小组确定好以后，教师第一要做的就是给组长开会，使他们明确职责及相关要求。一般而言，组长的职责及要求是：1、严于律已，起好模范带头作用;2、组织管理本组同学的学习、纪律、卫生等在校活动;3、负责本组座位的调整;4、做师生之间沟通的桥梁，及时反映学生的心声。5、组长可以在取得其他组员的同意下，向班委会申请，经班主任批准，把某个屡教不改的人开除出小组一周。然后再利用班会课，明确组长权力，商议小组评比相关要求。

(三)及时反馈，加强指导

各学习小组与小组之间在学习、常规、卫生等各方面展开合作与竞争。在小组竞争起步阶段，要做到及时反馈，如每天放学前的值日组长小结，还有定周定月的阶段性小结。利用周一晨会和班会课进行一周的总结，根据小组成员的集体表现或个人表现，给予量化评价，周末算出小组成员平均得分，进而评出周冠军小组。周末个人得分最高的，则是周冠军个人。同样月末评出月冠军小组和月冠军个人，学期末评出学期冠军小组和学期冠军个人，学年末评出学年冠军小组和学年冠军个人，还要评定周进步冠军、月进步冠军、学期进步冠军和学年进步冠军。评价结果分别公布在班级光荣榜和年级公示栏上，并且用校讯通发给全体家长。

对于组内存在的问题，各学习小组按照小组备忘本的记录在组内展开批评与自我批评。然后各学习小组派出一名代表展示本组一周存在的问题、整改的措施和下一周努力的方向、目标，接受全班同学的监督。最后由班主任进行点评。

二、我的感悟 “积分制”对于我来说它是班级管理的一个载体，它承载着我对学生全部的爱、关心、耐心和精神激励，这是公平公正的体现，是学生努力、勤奋的见证，是学生积极向上的不竭动力。这种班级管理模式，其实质就是自我约束，班主任管理班级的最高境界就是放手、放心地让学生去自主管理班级，不用老师管或少管，但学生做事、学习的标准不降低，学生的学习成绩和素质发展不下滑，班级的发展方向不偏离。通过每周小结，每月小结，还能培养学生注重反思，明辨是非，知道哪些事该做，哪些是不该做，碰到问题该如何改进。一段时间下来，发现“积分制”潜移默化中影响、规范着学生的行动、思想和言行，收到了一定的成效。

当然，不能片面的只对学生提要求，我们是距离学生最近的人，在学生心中，最具威望、最可效法的就是教师。“以身作则”向来是最好的教育方式。所以，我也坚持以规范的言行和高尚的人格习惯直接熏陶学生，学生亲其师信其道，就会形成习惯养成教育的良好氛围。比如看见卫生工具倒在地上，我主动扶起;看见路面有纸片，俯身捡起„„天长日久，学生看在眼里记在心里，好多同学都加入到清理的行列中，我的“润物”成功了„„

苏霍姆林斯基曾说过：“唤起学生实现自我教育的教育才是真正的教育。”我们在班级中实行“积分制”，目的就是要培养学生的“自律”、“自理”。即遵守各项制度的自觉性和自主安排自己事情的能力。两者关系是外在因素和内在因素的关系，外因通过内因而变化。这两者结合起来才能真正实现自我管理和班级自治。在这过程中，我们班主任必须有极大的耐心和恒心，坚定信念，坚持不懈，引导学生逐步由“他律”向“自律”转变，才能实现班级管理的目标。

总之，实施班级“积分制“管理模式意在引导学生去做一个努力学习、辛勤劳动、乐于奉献的人，去做一个不断追求真、善、美的人，去做一个有人格魅力的人。

附件

(一)

六(3)班班级积分评比细则

每人原始分80分，以周为单位计算加减结果。

(一)以下行为属于违纪：

1、升旗仪式中不肃立，甚至是说话打闹。(3)

2、迟到、早退、无故缺席 (2分)

3、仪表不合要求，穿拖鞋，留长发、戴首饰、留长指甲、化妆、衬衫纽扣没有扣全、穿鞋没有拉起后跟等。 (1分)

4、不认真做早操、眼操 (2分)

5、课堂上睡觉;吃东西、玩小物件、传纸条、乱扔杂物;看课外书;交头接耳、嬉笑打闹;擅自换座位、离座、中途离开教室者。 (2分)

6、课间制造巨大噪音、狂奔乱跳;滋扰同学，无事生非;聚众打牌甚至赌博。(2分)

7、毁坏公物且没有及时修补;破坏环境卫生; (3分)

8、清洁值日缺勤，或袖手旁观，劳动拖拉、懒惰 (3分)

9、当周应完成的背记任务记录为空白 (2分)

10、课后骚扰同学;敲诈勒索、打架;抽烟;偷窃(对他人的东西不问自取，亦视为偷窃) (10分)

11、进入网吧、游戏机室等未成年人不得进入的场所 (5分)

12、拖欠作业、考试作弊。(5分)

13、欺瞒、顶撞师长;对同学恶言相向。 (5分)

以下行为值得表彰：

1 、主动清理教室内外的环境;放学后主动返回课室关闭门窗。(2分)

2、 连续一周无迟到早退、缺勤 (2分)

3 、连续一周无拖欠作业，无课堂违纪现象 (2分)

4、 每周劳动积极，工作细致周到 (2分)

5 、一学期周记得等级A+累计5次以上或A 8次以上。(3分)

6、 各科作业一周内80%得A级 (3分)

7、 每次口语交际主动上台发言者 (1分)

8、 每周按时按量完成各科背记任务 (5分)

9、 主动协助老师工作，热心帮助同学解决困难 (2分)

10、连续三十天无不良举止言谈，与同学关系融洽 ( 5分)

11、 在各项竞赛(运动会、球赛或知识竞赛等)中获得名次 (5—10分)

12、举报不良现象;拾金不昧 (2-5分)

13、 知错能改，表现较前周有较大改善者。 (5分)

14 、获得各项荣誉(三好学生、优秀班干等) (10分)

15、有集体荣誉感，积极参与班级各种活动。(3分)

备注：

1、以小组为单位，连续一周无任何人违纪扣分的，全组每人加一分;连续一周无人任何人拖欠作业的，每人加一分，学校卫生评比第一名，全组每人加5分。

2、以班为单位，学校纪律评比第一名，全班每人加五分，第六名全班每人扣五分。

3、加减分依据考勤记录、纪律检查记录、卫生情况记录、作业登记记录等

4、小组长负责记录组员的在校的各方面表现，尤其是卫生、纪律、仪表等方面。对好人好事也要及时发现、登记。每周评选三名优秀组员。 (5分)

5、课代表应及时将早读时的情况报告班主任;最迟在第一节课下课后将作业交到教师处，并做好记录。

6、班长负责整体情况的调控。每半月评选三名优秀组长。(5分)

7、班干之间要有充分的沟通，尽量使记录公正、周全。

8、每周召开简短班干会议，汇报一周纪检情况。结果在班会上公布。

个人分数联接项目： 1 、结合学生在各方面的扣分情况做相应的即时处罚，一般体现为劳动补偿和字文抄写。违纪情况严重的，必须在班会课当众作出检讨。情节严重的另行处理。

2 、得分在80分以上者，操行评“良”;90分以上者，操行评“优”;80分以下，操行评“中”以下。60分以下，操行评定“不合格”。最后总评记入学生成长记录袋(即学生个人档案)。

3、 评选三好学生、优秀班干、进步分子、积极分子等荣誉项目以此为参照。

4、 每次家长会向家长公布此评分结果。每周加减分超过10分者，即时向家长汇报情况。

5、 每周扣分超过15分者，请家长到学校协助教育。

六(3)班 班委会

2010年9月

第4篇：同济版高等数学教案第五章 定积分

高等数学教案

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、 定积分的概念

2、 积分中值定理

3、 定积分的换元积分法分部积分法。

4、 变上限函数的导数。 §5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af (1)x1 f (2)x2   f (n )xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

1 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

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2 高等数学教案

第五章 定积分

f(i)xi (i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1 (i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积

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3 高等数学教案

第五章 定积分

f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f (x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢?

定理

1设f (x)在区间[a b]上连续 则f (x) 在[a b]上可积

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4 高等数学教案

第五章 定积分

定理2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f (x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1. 利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n) 

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

5 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

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6 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f (x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f (x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f (x) g(x) 则

这是因为g (x)f (x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f (x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7 (定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

7 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢?

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

9 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f ()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f (x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C (C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C (axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

10 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1. 计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以

3 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3. 计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4. 计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5. 汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离?

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

11 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6. 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f (t)>0 (xt)f (t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0 (x>0) 这就证明了F (x) 在(0 )内为单调增加函数

例7. 求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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12 高等数学教案

第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f (x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[( )]F[( )]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

13 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t

2 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

66

5 令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222

2 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

22

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

14 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f (x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx?

提示

若f (x)为奇函数 则f (x)f (x) 0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f (x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx (2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明 (1)令xt 则

2 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002 (2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin(

0f(sint)dt0tf(sint)dt

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15 高等数学教案

第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21

1 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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16 1高等数学教案

第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

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17 高等数学教案

第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442

2 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

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18 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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19 高等数学教案

第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

20 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( )

22 例2 计算反常积分0teptdt (p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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21 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b] (c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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22 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c (acb )为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x

2 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室

23 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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24 高等数学教案

第五章 定积分

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25 高等数学教案

第五章 定积分

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26

第5篇：第十章____重积分(高等数学教案)

高等数学教案

重积分

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。

3.掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。

【教学重点】

1.二重积分的计算(直角坐标、极坐标);

2.三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分; 2.利用球坐标计算三重积分; 3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】 (10学时) 第1 次课

§1

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社

高等数学教案

重积分

§10 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积

(1)分割：用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n)

(2)代替：任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi (i1 2     n)

(3)作和：曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn (4)取极限：记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x

iii1则

baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体

若立体的顶是平行于xoy面的平面。

体积=底面积高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

(i)分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案

重积分

(ii)代替：在每个 i中任取一点( i   i) 以f ( i   i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为

f ( i   i) i

(i1 2     n )

(iii)近似和： 整个曲顶柱体体积V

Vf(i,i)i

i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. (iv)取极限： 记 max{i的直径},1in

其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。 则

Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i

0i1n2 平面薄片的质量

当平面薄板的质量是均匀分布时,

质量 = 面密度×面积. 若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M

(i)分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

(ii)代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

mi( i   i) i 

(iii)近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

M(i,i)i

i1n高等数学教案

重积分

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 (iv)取极限：

记 max{的直径},i1in

则

Mlim(i,i)i

0i1n两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同：

“分割, 代替, 近似和,取极限”

(2) 所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

Vlimf(i,i)i

0i1n平面薄片的质量:

Mlim(i,i)i

0i1n

二、二重积分的定义及可积性

定义： 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

f(i,i)i

i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

f(x,y)d 即

D

limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 高等数学教案

重积分

f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

说明：当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y) 在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续，所以f(x y) 在D上的二重积分都是存在的。 例1.利用二重积分定义计算：三. 二重积分的性质

设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。 性质1 xydxdy，其中D{(x,y)|0x1,0y1}。

D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDD性质2 设k为常数，则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d

DD1dd|D|，其中(|D|为D的面积)

DD性质4 设DD1D2，且D1,D2无公共内点，则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则

f(x,y)dg(x,y)d

DD特殊：(1)若在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0

D

(2) |f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|

性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则

高等数学教案

重积分

m|D|f(x,y)dM|D|

D

性质7(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D，使

例2.比较下列积分的大小：f(x,y)df(,)

D(xy)d，(xy)d，

DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22}

小结

1.二重积分的定义：

nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i) ，(ddxdy2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：I12xy1|xy|dxdy，I22|x||y|1|xy|dxdy，I31111|xy|dxdy

22(sinxcosy)d2，其中D为0x1,0y1。 D2.证明：1讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4(1)(3)，5(1)(4)

§10 2 二重积分的计算法 高等数学教案

重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域 D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V即

V可记为

aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx

f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[]

[x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x高等数学教案

重积分

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D

例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31

21 (x31)dx

302

也可D看成是Y型区域：1y1 1x

y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx

例3 计算

2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域



解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1

xyddxD021xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy

2xydx[y]y2dyy122126y443152y2

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案

重积分

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

16R3

22(Rx)dx03 二

利用极坐标计算二重积分

8R

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量 、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

limf(i,i)i

f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

111222(ii)iiiii

i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点( i , i ) 设其直角坐标为( i  i)

则有

i(ii)2ii2i(2ii)ii

ii cosi ii sini

limf(i cosi,i sini)i ii

f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即

f(x,y)df(cos,sin)dd

DD若积分区域D可表示为 1() 2()

 高等数学教案

重积分

则

f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d

f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d

例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d

0002D22a22

2 (1ea)

注 此处积分

122022d(1ea)

dxdy

2exD22y2dxdy也常写成

x2y2a2exy2

利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx

022

设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有 高等数学教案

重积分

exD12y2dxdy(1eR)

42exD22y2dxdy(1e2R)

42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)

404令R 上式两端趋于同一极限

 从而ex2dx

4 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0于是

V4 

22acos2d00D4add4224a22d

32322

a22(1sin3)da2()

03323

小结

1.二重积分化为累次积分的方法;

2. 积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 设f(x)C[0,1]，且f(x)dxA，求Idxf(x)f(y)dy。

00x1112. 交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr，(a0)

讲课提纲、板书设计 高等数学教案

重积分

作业 P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4); 12 (1), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2);15(1)(2)

§103

三重积分

一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域：

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和

f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

高等数学教案

重积分

limf(i,i,i)vi

f(x,y,z)dv0i1n

三重积分中的有关术语 ——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz



当函数f (x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

12

dvV 其中V为区域的体积

二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案

重积分

即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d

z2(x,y)

1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dx即

ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案

重积分

于是

xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00

0xdx11x2(1x2y)dy0

111

(x2x2x3)dx4048

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy

1c2Dz2y2z2x

例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2区域

解 空间区域可表为: x2y21z

2 2 c zc

ab2c2于是

2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3

cc15cD2c2zc

练习：

例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中

(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(  ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 高等数学教案

重积分

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所

2

2zdxdydzzdddz

1d(164)d ddzdz0020201164

2[826]2026

324222

3 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、 、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义， 点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos高等数学教案

重积分

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr

20sind2acos0r2dr

316a

33034cossind4a(1cosa)

3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

小结

1.三重积分的定义和计算; 2. 换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 将If(x,y,z)dv用三次积分表示，其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成，f(x,y,z)C()。

2. 设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成，计算讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9(1) 高等数学教案

重积分

§10 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1f2(x,y)f2(x,y)d

xycos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案

重积分

或

AD1(z)2(z)2dxdy

xy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求?

ADyz1(x)2(x)2dydz

yz1(y2y2)()dzdx

zx或

ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

提示

yzxzzzR  1()2()2

222222222xyxyRxyRxyRxy

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

yzxz 

222222xyRxyRxy所以

A22xy2R21(z)2(z)2

xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0

22xy2R2

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案

重积分

地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y) 平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求?

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd

yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案

重积分

因为

2ydsinddsindDD4sin02sin2d7

d22123

Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7)

3d3

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

提示

 0ra 0 02

22a

3 dv22d00drsindr2sinddr2dr2a

00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2

0002420a2

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD高等数学教案

重积分

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD



其中M0sin d02a4a2dsin d

4031a41Ma2

4241a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix

Iy

Iz(y2z2)(x,y,z)dv

22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



(r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd



8a52a2M

4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案

重积分

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF

dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a) (a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

[x2y2(za)2]3/

2 G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22

G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20

2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2]

aR32R

2G0(2R2R2)

3a4R31GM

G 023aa2

2G0[2R高等数学教案

重积分

其中M4R30为球的质量

3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

小结

1.曲面面积的计算;

2. 质心的计算;

3. 转动惯量的定义和求解。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计 1.

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2)，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时? (2001考研) 讲课提纲、板书设计 作业 P175: 1，2，4(1)，7(1)

高等数学教案

重积分

习题课

一、重积分计算的基本方法

—— 累次积分法

1. 选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法

图示法;列不等式法(从内到外: 面、线、点)

二、重积分计算的基本技巧 1. 交换积分顺序的方法

2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用重积分换元公式

三、重积分的应用 1. 几何方面

面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面

质量, 转动惯量, 质心, 引力

3. 其它方面

四、例题分析

1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长 高等数学教案

重积分

度应为多少? 2.计算积分3. (xy)d，其中D由yD2x2y222x，xy4，xy12所围成。

计算二重积分

DI(xxye)dxdy, 其中

(1)D为圆域 x2y21;(2)D由直线yx,y1,x1围成 P182

2 ; 6;

8 (1), (3)