分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用分析

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位置，这种思想能简化研究对象，训练学生逻辑思维能力，是解决数学问题的一种重要思想，但又是学生学习的一个难点。本文从高三的一堂复习课出发，针对分类讨论思想在含参函数的单调性中的应用来进行分析研究。通过例题的分析点评不断向学生渗透分类讨论的思想，培养学生解题过程中分类讨论的意识，使学生数学解题能力和数学学科素养得到进一步提升。

关键词：分类讨论思想;分类标准;函数的单调性

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想，是指在解决某一个问题时，不能够用同一种方法进行研究时，需要制定一个标准将问题切割成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，最后归纳概括各类解决结果，这就是分类讨论思想。[1]分类讨论思想贯穿于整个高中阶段的数学学习，通过分类能使大量抽象复杂的数学问题区间化、简单化。简而言之，分类讨论思想即“先分后合”的一种解题策略，对学生的理性思维能力和数学理论知识要求都比较高。

二、分类讨论思想的应用案例

分类讨论思想在高中数学各阶段模块学习中的应用非常广泛，但很多学生对分类讨论思想理解不透彻、掌握不扎实，不明白为什么要分类，以谁为对象分类，应该怎么分类，导致解题思路非常混乱漏洞百出。下面三个例题都是研究函数的单调性，是分类讨论思想的一个典型应用，是高考考查的重要知识点之一，它也是解决最值、极值、恒成立、不等式证明等相关函数问题的灵魂，这类问题对学生的各方面能力要求比较高。

f'(x)的符号等价于函数m(x)=x2+(a-1)x-a的符号，分析函数m(x)=x2+(a-1)x-a的特征：二次函数开口方向向上(不变的因素)，能因式分解，有两个零点，但这两个零点(x1-x2)的大小关系不确定：一动一定(变化的因素即产生讨论的原因)。这样就可以确定分类讨论的对象:变化的零点，再结合讨论必须在定义域的范围内进行这一要求，讨论标准也就随之确定。提醒学生：二次函数能因式分解时必须先分解，这样有利于简化讨论过程，避免分类讨论的盲目性。

x2，

析函数的导函数在定义域内各子区间上的符号。三个例题有共性：导函数的符号是由含有参数的二次函数型函数决定;也有不同之处：导函数中参数的位置不同。通过这三个例题的分析解答，可引导学生学会分析思考，善于挖掘研究对象的特征：哪些因素确定不变，哪些因素是变化的，即清楚产生讨论的原因。防止学生遇到参数就盲目讨论的倾向。

例1讨论函数f(x)=a+x+(a-1)lnx+15a(a∈R)的单调性;f'(x)的符号与函数m(x)=ax2-x-(a-1)的符号相反。分析函数m(x)=ax2-x-(a-1)的特征：二次项系数含有参数(变化不确定即产生讨论的原因)，函数能因式分解，当二次项系数a≠0时，函数有两个零点(x1-x2)：一动一定(变化的因素即产生讨论的原因)。由研究对象的特征得出仅一次分类讨论是不能彻底把问题解决。本题必须要进行多层次讨论，加大了讨论的难度。

很多景点都和苏轼有关，现在你已经了解了，过几天你的朋友将从外地来，请你选取一个与苏轼相关的景点，写一个旅游宣传词，届时向你的朋友介绍。谈谈你认为我们还可以从哪些方面去利用苏轼名人资源，提升惠州的城市知名度。

飞鹅岭公园是我校附近新设的公交车站牌，学生耳熟能详。但到底为什么要纪念?我们要怎么样纪念?带着这些疑问我们向学生详细介绍了飞鹅岭公园。飞鹅岭公园即东征纪念公园，紧邻惠州西湖。飞鹅岭地势险峻，易守难攻，是兵家重地。孙中山、蒋介石、周恩来曾亲临飞鹅岭指挥战斗，现保存有东征军攻打惠州时留下的战壕以及中华人民共和国成立后修建的国民革命军东征战士群像、纪念馆等。是国民革命军东征在惠州的重要遗迹，见证了东征战士英勇杀敌的豪情和热血。公园内的登山步级、爬山廊、眺望台、园林小品等，颇具岭南建筑特色。飞鹅岭公园，融风景名胜和历史事迹于一体，具有纪念教育意义。在了解了该景点的历史后，我们设计了这样的活动：惠州市市政府计划对飞鹅岭公园进行改造升级，拟将设计一个纪念碑，你认为碑文应该怎么写?请写下你的设计并说明理由。

家国情怀是学习和探究历史应具有的社会责任与人文追求。学习和探究历史应具有价值关怀，要充满人文情怀并关注现实问题，以服务于国家强盛、民族自强和人类社会的进步为使命。

“家国情怀——重在引导学生增强国家认同，进而培养学生对家庭、民族、国家、社会的责任感，并充分依托中华优秀的传统文化，发挥乡土历史资源的育人功能，中小学中华优秀传统文化教育要引导学生树立天下兴亡、匹夫有责为重点的家国情怀。”在乡土历史校本课程中通过这样具体的活动设计，让学生以主人公的身份参与到家乡城市的建设中来，在实践中提升作为公民应该有的责任感。

综上所述，以乡土历史资源为情景，以活动为载体的乡土历史校本课程，可以传承历史文化，加强学生对本地的认同感，是培养学生核心素养的有效途径。

教师可以引导学生逐层讨论。第一层次分类：当二次项系数为零时，导函数符号由一次函数的符号确定，求出零点，作出符号判定，得到原函数的单调性(简单的问题先解决)。当二次项系数不为零时，因为函数能因式分解，求出二次函数的两个零点，但画图时又碰到新问题：二次函数的开口方向具有可变性(变化的因素即产生讨论的原因)，引导学生再针对二次项系数a>0和a<0进行第二层次分类。当两个零点(x1-x2)的大小关系不确定(一动一定)时(变化的因素即产生讨论的原因)，还必须针对两零点的位置进行第三层次分类，分类的方式同例1。当然本题中学生很容易忽略对a=0的讨论，误认为函数就是二次函数导致分类有遗漏的现象。

的符号与函数m(x)=ax2-x-(a-1)的符号相反。函数m(x)=ax2-x-(a-1)的特征：二次项系数含有参数(变化不确定即产生讨论的原因)，函数不能因式分解，当a≠0时二次函数型函数有无零点不确定。由研究对象的特征，本题也必须进行多层次讨论。第一层次分类讨论，针对a=0还是a≠0进行讨论，即先确定函数类型，当函数是一次函数时问题简单先讨论。当函数是二次函数时，情况就比较复杂：函数的零点、函数的开口方向都不确定，下一步该如何分类。引导学生第二层次分类可以先针对二次项系数的符号分两大类进行，然后再在两大类的子项类针对判别式的符号讨论函数有无零点，即进行第三层次分类讨论。

也可以先针对判别式分Δ≤0和Δ>0两大类讨论，然后再在两大类的子项中针对二次项系数的符号分两类讨论。上面两种分类到最后都要考虑零点(变化不确定)是否在定义域内，即有可能进行第四级分类。这个题目难度比较大，能力要求比较高。

但不管怎样，只要我们把握好分类的原则，根据实际需要制定分类标准，逐层讨论，问题就会迎刃而解。下面是第一种讨论的解析。

①决定导函数符号的函数形如二次函数且二次项系数含有参数时，函数是否二次函数即a=0还是a≠0是我们分类的第一个标准;②a≠0时，二次函数若能直接因式分解求出零点，这时函数开口向上还是向下即a>0与a<0是我们分类的第二个标准;③确定了二次函数的开口方向，二次函数的零点在不在定义域的范围之类，两零点的之间的大小如何又是我们分类的第三个标准;④a≠0时，二次函数不能直接因式分解，这时我们还必须针对判别式判断函数是否有零点展开讨论。当然整个过程中一定要利用数形结合的思想，直观地借助二次函数图像的变化来帮助我们制定分类的标准，结合图像分区间讨论导函数的符号，从而对原函数在各区间上的单调性作出判断。这样一层层讨论下去，让学生体会成功带来的精神享受，慢慢爱上数学、喜欢数学，有足够的自信去学好数学，面对困难能迎难而上。

参考文献：

[1]杜重山.高中数学教学中分类讨论思想的应用[A].学周刊,2017(20).

[2]吴建琴.分类讨论思想在高中数学解题教学中的渗透[J].中学数学,2018.