巧解一阶线性微分方程

形如:的微分方程, 称为一阶线性微分方程;若Q (x) =0, 则称为一阶线性齐次微分方程;Q (x) ≠0, 则称为一阶线性非齐次微分方程。

对一阶线性非齐次微分方程, 我们可以通过“常数变易法”求出方程的通解为:, 并将其作为公式来用, 这也是我们说的“公式求解法”, 只要将P (x) 和Q (x) 代入公式中, 将积分算出来, 即可求得方程的通解。解方程的难易程度主要与公式中的不定积分有关。

例如:求y′-ytanx=secx的通解。

解:由于y′-ytanx=secx为一阶线性非齐次微分方程, 且P (x) =-tanx, Q (x) =secx, 代入公式中, 得其通解为:

上式中涉及到了分部积分法。

能不能找到一阶线性非齐次微分方程的技巧解法呢?本人通过多年的教学发现, 利用公式中“解的结构”, 可以巧解一阶线性非齐次微分方程。

我们将解的公式括号打开, 写成两项,

可以看出, 其解的结构为第一项是一阶线性非齐次微分方程的特解;第二项是一阶线性齐次微分方程的通解。两项加起来, 构成了一阶线性非齐次微分方程的通解。

即:一阶线性非齐次微分方程的通解=非齐次特解+齐次通解

由于“齐次通解”很容易通过“分离变量法”得到。所以求通解的关键就是要求出“非齐次特解”, 而求“非齐次特解”中的积分, 往往又是比较繁, 或比较难的。

所谓“巧解”, 是指通过其它方法, 比较容易的找到“非齐次特解”, 从而避开求“非齐次特解”中的较复杂的积分。

例如:求的通解。

解:分析, 因为Q (x) =3为常数, , 由此判断“非齐次特解”的形式为y1=ax+b, 将y1代入原方程,

又如:求y′+y=3ex的通解

解:分析, 因为Q (x) =3ex, 与ex有关, 所以“非齐次特解”中一定含有e x因子, 设为y1=e x, 代入原方程得, ,

在前面例题求y′-y=x的通解中, 设“非齐次特解”为y1=ax+b, 代入原方程得a=-1, b=-1,

对于一些特殊题型, 用“公式求解法”, 其积分非常难积, 甚至有可能积不出来, 但“巧解”可求出来。

例如:求y′-2xy=1-2x2的通解。

如果用“公式法“, 其中特解的积分中

非常难积, 甚至积不出来。

但, 如果设“非齐次特解”为y1=ax+b, 代入原方程

得:a-2x (ax+b) =1-2x2, 解得a=1, b=0,

所以非齐次特解为y1=x

因为齐次通解为

故, 所求通解为:

摘要：用“公式法”求一阶线性非齐次微分方程的通解时, 常常要碰到较复杂的不定积分计算, 增加求解难度。本文利用一阶线性非齐次微分方程“解的结构”, 即:通解=非齐次特解+齐次通解的方法, 巧解一阶线性非齐次微分方程, 从而使计算大大简化。

关键词：巧解,一阶线性,微分方程