浅谈类比法在复变函数教学中的应用

复变函数是数学、通信、电子、自动化等专业普遍开设的一门数学基础课, 然而教师在实际教学和学生在实际解题中常感到困难重重, 特别是对一些内容表现形式或形式迥异的题型有时不知如何解决。在这些年的教学中, 我体会到类比法是贯穿于复变函数课程的基本方法, 并从三个方面简要谈一下类比法在复变函数教学中的应用。

1 类比概念

类比法, 又称类推法, 是指由一类事物所具有的某种属性, 可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。类比复变函数与实分析的概念, 不仅要抓住概念的本质, 弄清概念的确切含义, 即区别其它概念的特殊性质, 而且要理解概念的条件, 理清题设和结论;不仅要比较与实分析中概念的异同, 而且要比较复分析概念间的异同与相互联系, 真正把理解和掌握概念作为学好复变函数的首要任务, 做到应用概念知己知彼, 灵活应用。

复变函数中的很多概念, 都是实分析中引申出来的, 如极限、连续、导数、微分、积分与级数等。因而首先要对实分析中这些基本概念有准确的把握, 理清连续、导数、微分、积分与级数等都是用极限来定义的;同时, 在处理和掌握这些概念时, 应类比出这些概念的定义所采用的方法是化“复”为“实”, 讲解时应用“已知”解决“未知”的教学思想方法。如复数的定义为用实部和虚部来表示的, 在讲授复变函数极限概念的过程中可以与一元实函数和二元实函数极限概念对比, 利用实分析与复分析的异同点来加深学生对复极限的理解。又如讲复导数时, 要与实分析的一元实导数和二元函数的导数概念作为对比。三种导数的定义, 形式都是相同的, 都是因变量的增量与自变量的比值 (偏导数中增量是偏增量) 。但三种导数不同点主要可分析为以下两点:

首先是几何意义。一元函数在某点的导数值是经过这点的切线的斜率;二元函数偏导数是曲线在点 (x0, y0, z0) 对于x轴或y轴的斜率。但由于复数不能比较大小, 形式上导数虽是变化率, 但几何意义是用复数中的模及辐角的变化来表示的, 即是函数w=f (z) 在点z0处的伸缩率和旋转角 (可参阅有关教材中共性映射的定义及有关知识, 如文献[1～2]) 。

其次是定义域、值域及逼近方式不同。一元实函数或二元函数的定义域和值域取实值, 复函数的定义域和值域取复值。一元实函数的导数x→x0只能沿数轴从左、从右沿直线方向逼近;二元函数的偏导数是当一个变量不变, 对另外一个变量求导数和求一个一元函数的导数一样;由于二元实函数极限或复极限由于都是在圆形邻域或方形邻域向 (x0, y0) 或0z逼近的, 从而复导数的定义, z在复平面上取值, z→z0可以沿复平面的任意方向、以任意方式发生, 必须强调在z→z0的任意方式下极限是存在且唯一的, 这和求二元函数的极限逼近方式相同。只有这样才能真正掌握导数的定义, 并能在推理中做到灵活运用。

2 类比定理

在讲解复变函数定理时, 通过与实分析对比, 从内涵上弄清这个定理的内涵和外延, 弄清定理的条件和结论, 在应用和分析问题时有的放矢和严谨准确。

例如, 在讲解复变函数可导的充要条件中, 弄清复函数的实部和虚部必须满足柯西-黎曼条件。一方面, 根本的原因应仍从导数的定义说明;另一方面, 这也是化“复”为“实”在复变函数定理中的体现。同时, 应弄清实分析中哪些定理可延拓到复变函数中来。例如实分析中极限、连续、导数、微分、积分与级数有关定理等都可延拓到复变函数中来, 如极限的唯一性定理、局部有界性定理、极限计算的罗必塔法则、连续的函数的在有界闭集上有界、存在最大值与最小值及一致连续性定理、导数的求导法则、微分法则及泰勒级数的有关定理基本和复分析相同。一元函数的中值定理不能推广到复函数中来, 复极限、复积分及复级数的定义、存在定理及有关定理是通过化“复”为“实”方法来研究的, 牛莱公式形式上基本相同, 但主要的定理与实分析有很大的不同。在教学中一定要掌握柯西-古萨定理这个复函基本定理、从而理解和掌握复闭路定理、柯西基本公式、高阶导数公式及泰勒公式、洛朗展开定理及留数定理等。

又如在讲解析函数的泰勒定理时, 应与实变函数的泰勒级数进行类比, 弄清它们的异同点, 可以解释一些实变函数泰勒展式中无法解释的问题。在实分析中把展成泰勒展式为:

显然左边在端点x=±1是有:意义的, 但根据展开定理, 收敛域是不包含端点的, 可参阅文献[1]。但在复变函数中, 泰勒展式在收敛圆周z=1上有两个孤立奇点z=±i, 因此对应实轴上收敛区间不可能超越 (-1, 1) 。

3 类比定理的证明过程及相互联系

在教学中, 应类比定理的证明过程和证明方法, 加深对定理的理解及定理之间的相互联系。从定理的证明过程中体会本学科的论证方法, 体会数学的美, 熟悉定理证明方法后, 自然能够把它们应用到具体的问题中去。

如复变函数中极限、连续与导数等有关定理, 在“”定义证明中, 把实分析中绝对值改为摸;同时应用化“复”为“实”, 转化已学的实积分的“”定义方法来证明。当然, 有些定理的证明比较繁难, 我们可以先跳过它, 等过后再来研究它。事实上, 有些定理本身很重要, 但它的证明却未必非常重要, 如柯西-古萨与高阶导数公式的证明。

另外, 从全局的角度来看我们学过的复变函数中的有关概念和定理, 弄清与其它定理的相互联系。把各个定义、定理联系起来, 在我们的头脑中形成一个有机的网络, 在解决问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。如连续、导数、复积分与复级数等都是用极限来证明的, 柯西积分公式、高阶导数公式、泰勒展式、洛朗展式与留数定理都是用复合闭路定理来证明的, 而复合闭路定理是柯西-古萨定力的推广形式, 柯西积分公式等价于柯西-古萨定理, 留数定理是柯西积分公式和高阶导数公式的推广。又如在复变函数可导的充要条件中, 实部与虚部必须满足柯西-黎曼条件, 形式上是当z→z0时, 极限存在与路径无关, 但根本上仍应从导数定义来说明。

摘要：类比法是一种具有创造性的思维逻辑推理方法, 类比法是贯穿于复变函数课程的基本方法。本文讨论类比在复变函数教学中的应用。

关键词：类比法,复变函数

参考文献

[1] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数 (第四版) [M].高等教育出版社, 2004.

[2] 钟玉泉.复变函数论 (第三版) [M].高等教育出版社, 2004.