《画法几何》中的“投影变换”教学创新启示录

在生产过程中, 有时必须将原设计图纸中诸如管道、桁梁、板状型式等缩短变形了的投影, 还原其真长实形的几何元素, 以利下料加工。为达此目的, 采用《画法几何》中的“投影变换”原理, 是较之其它任何数理方法都要便捷易行的图解法。然而, 要使学生对这一原理运用自如, 于教师的教学理念、授课方式来说, 大有考究。现将笔者教学实践中曾一度遇到的问题, 针对问题症结而更新的不同寻常的教学理念, 以及因此而获得的事半功倍的神奇效果, 小结于下。

1 曾经存在的问题:循“基本问题”的分类, 一知半解

现行各种版本的《机械 (工程) 制图》教材中, 关于“投影变换”一章, 总是以“变换投影面法” (简称“换面法”) 为重点, 通过重新建立两投影面体系, 来讨论新旧投影与不变投影三者之间关系:“新投影与不变投影的连线垂直于新投影轴;新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离”。然后, 又将其所要解决的问题, 列为六个 (或四个) “基本问题”:一是将一般位置直线变换为新投影面的平行线;二是将投影面平行线变换为新投影面的垂直线;三是将一般位置直线变换为新投影面的垂直线;四是将一般位置平面变换为新投影面的垂直面;五是将投影面垂直面变换为新投影面的平行面;六是将一般位置平面变换为新投影面的平行面 (若将第二和第三、第五和第六各合并为一个“基本问题”, 便是所谓“四个基本问题”) 。紧接着, 便是循着以上六个“基本问题”, 逐一重复两投影面新的空间体系建立, 不厌其烦地详尽讨论各自作图的方法步骤, 且从中得出两条解题经验:题解一、二、四、五个“基本问题”时, 仅需“换面”一次;而题解三、六两个“基本问题”时, 则需“换面”两次。

按照以上环节循序渐进上课, 不能不谓之逻辑严谨、条理清楚。的确, 在以上整个过程中, 几乎所有的学生不但听得懂、看得明, 甚至惊叹“投影变换”是神奇的几何学。然而, 事实上即使花了6~8个超教学计划课时的讲解, 却仍有相当多的学生在独立解题当中, 效果大相径庭。一方面是张冠李戴画新投影轴。偶然画准确了, 个别题型也许可以题解下去, 而通常往往是不管三七二十一, 对于直线的投影变换, 凡是要变为平行线, 便画一根新投影轴平行于不变投影;凡是要变为垂直线, 便画一根新投影轴垂直于不变投影。对于平面的投影变换, 凡是要变为垂直面, 便画一根新投影轴垂直于平面中任一直线的投影;凡是要变为平行面, 便画一根新投影轴平行于平面中任一直线的投影。另一方面则是死搬硬套作图规律, 拘泥于新旧投影两者的直观坐标。在新投影轴画得正确的前提下, 若原两面投影齐全而纯作新投影的题型, 也许可以题解下去;但若求解的投影偏偏是旧投影, 且新投影不能直观发现的情况下, 便在“新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离”面前干瞪眼了。

于是乎, 不少学生一个个自嘲自讽:“投影变换听起来明白, 看起来容易, 而一做起来就跑题”。一变当初的“神奇”印象为“神秘”之惑, 且认为“神可见”而“秘难寻”。总之, 对投影变换处于敬敬畏畏的无奈状态。

2 不同寻常的理念:据“线面位置”的特性, 温故知新

既然不少学生认为“投影变换”很“神秘”, 当然就只有揭开它的“秘”才能真正领会其“神”。

一般来说, 一册教材中的某一章节, 其精华之处不外乎两种情况:一是相对于前面的章节内容, 在一定联系的同时, 更具有鲜明的独立性, 即具有本章节新的知识点;二是仅与前面章节概念紧密联系, 有机结合, 而并无本章节实质性的新的知识点。那么, “投影变换”究竟属于有其独立的新的知识点呢?还是仅有与前面章节内容紧密联系的结合点呢?必须指出, 学习“投影变换”章节之前, 已经有了直线和平面相对于投影面位置的投影特性等知识, 而这正是“投影变换”的依据。

先不妨对“将一般位置直线变为投影面平行线”这一“基本问题”来分析。既然要变换为投影面平行线, 首先必须明确的问题应当是投影面平行线的投影特性, 即在它的两面投影中, 平行的一面显示真长, 倾斜的一面投影缩短但表现为平行于投影轴的特征。反过来, 只要画一根新投影轴平行于一般位置直线的两面投影中任一面投影, 则意味着它相对于新投影面来说, 已变换为平行线了。

再看看“将一般位置直线变为投影面垂直线”的分析。题解这一“基本问题”, 当然需要“换面”两次, 但这一“换面”次数是自然而然的结果, 而并非首先就得考虑的不可逾越的思路。要变换为投影面垂直线, 先应明白投影面垂直线的投影特性, 即它的两面投影中, 垂直的那一面积聚为一点, 而另一面的特征是垂直于投影轴且为“真长”。在这里, “真长”是关键词。也就是说, 要使直线变为投影面垂直线, 必须画一根新投影轴垂直于能反映“真长”的投影, 而尚处于一般位置直线的两面投影, 没有一面是“真长”, 当然就不具备作新投影轴与投影垂直的条件, 于是迫使题解进程中必须先将一般位置直线变换为投影面平行线, 从而获得“真长”。

相应地, 若“将一般位置的平面变换为投影面的平行面”, 先应明白投影面平行面的投影特性, 即在它的两面投影中, 平行的一面显示实形, 另一面因为垂直而积聚为一条表象为平行于投影轴的直线。这也就是说, 若存在平面的投影积聚为一条直线的特征, 那么仅需画一根新投影轴平行于该直线, 则意味着相对于新的投影面来说已变换为平行面了。而尚处于一般位置的平面, 其两面投影都是类似型平面, 并不存在其投影为一直线的积聚性特征, 于是乎便迫使题解过程中先将其变为投影面垂直面, 以便获得积聚性特征, 才能继续作题。而要“将一般位置平面变换为投影面垂直面”, 就应画一根新投影轴垂直于平面投影中所包含的一条直线, 这一直线无疑必须是“真线”, 否则不但不符合投影面垂直线的投影特性, 也不符合平面与平面垂直的性质。而为了作这条“真线”, 便须应用“平面内投影面平行线”的作图方法。

从以上分析及题解实践可知, “换面法”并不存在新的知识点, 它仅仅是与直线和平面相对于投影面位置投影特性紧密结合的运用。所以题解“六个基本问题”, 大可不必着意分类, 更不需要刻意记忆换面次数及换面步骤, 因为只要深刻领会了直线和平面相对于投影面位置的投影特性, 掌握了它与投影轴的表象特征, 便可正确地按照新投影轴与不变投影的位置关系而画出新投影轴。由此可以印证, 学生困惑的症结, 无疑是误将“换面法”的作图规律、“基本问题”换面次数, 认为是投影变换所独具的、孤立的知识点, 以致将其当作清规戒律而循规蹈矩。

针对问题的症结, 一改沿用“基本问题”的套路, 转而着重回顾复习三投影面体系原理, 以及空间线面相对于投影面位置的投影特性和表象特征。在此过程中, 适时地相机启发引导学生, 恰到好处地把握投影变换的方法步骤。正是基于这种温故知新的教学理念讲解“换面法”, 不少学生居然仅认真听讲一两节课时, 不用翻阅教材中关于“投影变换”章节里的一字一句, 便可轻车熟路地解题。

至于图1中新旧投影和不变投影三个投影中存在两个不完整的题型, 只要老师略加提示, 就再也不会面对“新投影到新轴的距离, 等于旧投影到旧轴的距离”的关系而干瞪眼了。即:已知平行四边形对H面的倾角为45°, 求其正面投影 (图1) 。

题中需要求解的是正面投影这一旧投影, 若硬套“新投影到新轴的距离等于旧投影投影到旧轴的距离”, 而题中并无新投影, 岂不是无解?对此, 笔者提示学生, 可将新旧投影和不变投影三者之间的关系当作和差关系, 只能存在一个未知数, 而如果表现为两个未知数, 那是假象, 其中必定有一个“未知数”可以寻求其它几何关系先行获得。仅此数言, 大家豁然开朗, 分析正确:将平行四边形变换成正垂面, 尽管新正面投影无旧正面投影可依, 但积聚性的新投影与投影轴的夹角45°是已知的, 据此可以先做出新投影, 然后再按照“新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离”, “长对正”地画出正面投影。

3 事半功倍的奇效:抓“两种变换”的关键, 融会贯通

有的教科书讨论“投影变换”问题, 因为单指“换面法”, 所以通篇就叫“投影变换”, 并未出现“换面法”之说;有的教科书虽然对“换面法”、“旋转法”这两种变换法都作了讲解, 但又注明“旋转法”仅供选修。究其原因, 大致是认为“旋转法”不容易掌握。其实不然, “旋转法”与“换面法”, 是一对异曲同工的投影变换法。

将“旋转法”与“换面法”类比讨论, 学生一般都能触类旁通。

笔者在教学中肯定地指出, “换面法”与“旋转法”, 其实都是“旋转法”。所不同的是, “换面法”旋转的是投影面, 即让投影面趋附于空间几何元素线或面, 以达平行位置;而“旋转法”旋转的是空间几何元素线或面, 即让线或面趋附于投影面, 以达平行位置。所以, 两者的关键所在, 就是“旋转”。为了演示“换面法”亦属“旋转法”, 笔者特地在自制的两投影面体系中, 使其中的一投影面紧贴垂直固定于另一投影面的一根立杆。显然, 让紧贴立杆的这一投影面在360°范围里旋转任意一角度, 便都成为一个新的投影面。在正投影法中, 同一个空间几何元素在每一个新投影面上的投影, 到新投影面与不变投影面交线的距离是不变的。这样, 一方面形象地证明了“换面法”作图规律中“新投影到新轴的距离, 等于旧投影到旧轴的距离”的道理, 同时也进一步证明了“长对正”、“高平齐”和“宽相等”的坐标关系。事实上, 在“三投影面体系”中, 任一投影面都可以充当新旧投影面或不变投影面。具体来说, W面可以认为是相对于V面的新投影面, 此时H面为不变投影面, 所以“新投影 (侧面投影) 到新轴 (YW轴) 的距离, 等于旧投影 (正面投影) 到旧轴 (X轴) 的距离”, 这正是“高平齐”;又如V面也可以认为是相对于H面的新投影面, 此时W面为不变投影面, 所以“新投影 (正面投影) 到新轴 (Z轴) 的距离, 等于旧投影 (水平投影) 到旧轴 (YH轴) 的距离”, 这正是“长对正”;同理, H面也可认为是相对于W面的新投影面, 此时V面是不变投影面, 所以新投影 (水平投影) 到新轴 (X轴) 的距离, 等于旧投影 (侧面投影) 到旧轴 (Z轴) 的距离, 这正是“宽相等”。

“旋转法”在旋转空间几何元素线或面时, 同样必须绕着一根垂直于某一投影面的旋转轴旋转。相对于旋转轴所垂直的投影面, 空间线、面上每一点的旋转轨迹, 都是一个平行于该投影面的圆弧, 其所包围的平面即投影面平行面。因此, 它在另一投影面上的投影, 无疑是一条以原投影为起点且平行于投影轴的直线。至于“旋转法”旋转角度的大小, 以及旋转的次数, 其根据依然是空间直线和平面相对于投影面位置的投影特性。例如, 要“将一般位置的平面变换为投影面平行面”, 首先要明白的问题当然是投影面平行面的投影特性, 即平行于投影面的投影显实, 而另一面投影积聚为一条平行于投影轴的直线。所以, 只要将平面的直线状积聚性投影旋转到与投影轴平行, 则意味着它的另一面投影显实。但一般位置平面的两面投影都是类似形平面, 即无积聚性可供利用, 这就首先必须经过旋转平面内的某一“真线”为投影面垂直线, 以带动该平面变换为投影面垂直面, 从而获得积聚性。这也就是说, 如同“换面法”无须顾及换面一次还是两次一样, “旋转法”也不必预先刻意强记哪种情况下须旋转一次, 哪种情况下须旋转两次。只要深刻理解了直线和平面相对于投影面位置的投影特性, 牢牢地把握了其表象特征, 那么到底应该旋转一次还是两次, 以及先旋转什么, 后旋转什么, 都是自然进程。

实践表明, 在有些情况下, 只要旋转轴选取恰当, “旋转法”较之“换面法”题解各类“基本问题”更为简捷。尤其是在“展开图”的画图中, “旋转法”更是起到了“换面法”所不可替代的功能。

摘要：“投影变换”是解决直线和平面真长实形的最为简捷的图解法。然而, 照一般教科书循序渐进讲解, 学生往往“易”懂难学而困惑。笔者更新教学理念, 令学生在轻车熟路中牢牢地把握了投影变换的方法。特别地, 将“换面法”亦归属“旋转法”的观点, 以及用“换面法”来证明三投影面体系“长对正, 高平齐, 宽相等”的方法, 均为本文所首创。

关键词：投影变换,存在的问题,更新理念,显著收效