一元二次不等式及其解法
1.
a.
b.
c. 解一元二次不等式 化为标准型。 判断△的符号。 若△<0，则不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△>0，则求出两根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。
2.解简单一元高次不等式
a.化为标准型。
b.将不等式分解成若干个因式的积。
c.求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。
3. 解分式不等式的解
a.化为标准型。
b.可将分式化为整式，将整式分解成若干个因式的积。
c.求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。(如果不等式是非严格不等式，则要注意分式分母不等于0。)
4.解含参数的一元二次不等式
a.对二次项系数a的讨论。
若二次项系数a中含有参数，则须对a的符号进行分类讨论。分为a>0，a=0，a<0。
b.对判别式△的讨论
若判别式△中含有参数，则须对△的符号进行分类讨论。分为△>0，△=0，△<0。
c.对根大小的讨论
若不等式对应的方程的根x
1、x2中含有参数，则须对x
1、x2的大小进行分类讨论。分为x1>x2，x1=x2，x1
5.一元二次方程的根的分布问题
a.将方程化为标准型。(a的符号)
b.画图观察，若有区间端点对应的函数值小于0，则只须讨论区间端点的函数值。
若没有区间端点对应的函数值小于0，则须讨论区间端点的函数值、△、轴。
6.一元二次不等式的应用
⑴在R上恒成立问题(恒不成立问题相反，在某区间恒成立可转化为实根分布问题)
a.对二次项系数a的符号进行讨论，分为a=0与a≠0。
b.a=0时，把a=0带入，检验不等式是否成立，判断a=0是否属于不等式解集。
a≠0时，则转化为二次函数图像全在x轴上方或下方。
若f(x) >0，则要求a>0，△<0。
若f(x) <0，则要求a<0，△<0。
⑵特殊题型：已知一不等式的解集(含有字母)，求另一不等式的解集(与原不等式系数大小相同，位置不同)。 a.写出原不等式对应的方程，由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。
b.写出变换后不等式对应的方程，由由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。
c.将a中得到的关系变化后带入b的关系中，得到变换后方程的两根。
d.判断两根的大小，变换后不等式二次项的系数，从而写出所求解集。
【考纲要求】
熟练掌握一元一次不等式(组)，一元二次不等式，含绝对值不等式的解法。
【内容提要】
1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法.
2.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.
3.通过教学过程，使学生掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式， 化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.
4.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰.
【题型示例】
见课本(略)
无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。 过程：
一、提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组
二、
f(x)0定义域g(x)型g(x)0f(x)g(x)f(x)
例一 解不等式3x4x30
解：∵根式有意义 ∴必须有：3x40x30x3
又有 ∵ 原不等式可化为3x4x3
12两边平方得：3x4x3 解之：x∴{x|x3}{x|x}{x|x3}
21
三、
f(x)0f(x)0f(x)g(x)型g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0
例二 解不等式x23x243x
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
43x0x23x202Ⅰ：x3x20 Ⅱ：
43x0x23x2(43x)2
4x364解Ⅰ：1x2x5336x52 解Ⅱ：
43x2
∴原不等式的解集为{x|65x2}
四、
f(x)0f(x)g(x)型g(x)0f(x)[g(x)]2
例三 解不等式2x26x4x2
2x26x40解：原不等式等价于x20
2x26x4(x2)2x2或x1{x|2x10或0x1}
x20x10特别提醒注意：取等号的情况
五、例四 解不等式2x1x11
解 ：要使不等式有意义必须：
12x101xx22x10x1
原不等式可变形为 2x11非负
x1 因为两边均为∴(2x11)2(x1)2 即22x1(x1) ∵x+1≥0 ∴不等式的解为2x+1≥0 即 x例五 解不等式9x26xx23 解：要使不等式有意义必须：9x203x30x3 20x66xx012
在0≤x≤3内 0≤9x2≤3 0≤6xx2≤3 ∴9x2>36xx2 因为不等式两边均为非负 两边平方得：9x296xx266xx2 即6xx2>x 因为两边非负，再次平方：6xx2x2 解之0
解：定义域 x-1≥0 x≥1 原不等式可化为：x113x2
两边立方并整理得：(x2)x14(x1)
在此条件下两边再平方, 整理得：(x1)(x2)(x10)0 解之并联系定义域得原不等式的解为{x|1x2或x10}
六、小结
七、作业：P24 练习
1、
2、3 P25 习题 6.4 5 补充：解下列不等式
1.2x33x55x6 (x2) 2.3x3x33xx3 (x3)
5213x1)s 3.41x2x (4.(x1)x2x20 (x2或x1) 5.2xx11 (1x125)
aa≥0
一.(1)绝对值定义|a|={ -aa<0
绝对值的定义是用分类讨论思想定义的，他可以用来去掉绝对值的符号。
(2) 实数a的绝对值表示在数轴上所对应点A到原点的距离。
(3).请试着归纳出1.解方程|x|=2?|x|=2的几何意义是什么?
(4).能表述|x|>2, |x|<2的几何意义吗?其解集是什么?
二.根据上一 问题可得到
|x|>a的几何意义是到原点的距离大于a的点，
其解集是﹛x|x>a或x<-a﹜
|x|
其解集是﹛x|-a三. 能否归纳|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的解法?
|ax+b|>c(c>0)的解法是：先化不等式组ax+b>c 或ax+b<-c，再由不等式的性质求出原不等式的解集。
|ax+b|0) 的解法是：先化不等式组 -c
例题分析
例1 解不等式|3x-5|≤7
例2解不等式|2x-3|>
4例3 解不等式|1-2x|<5(找两名学生上黑板做)
【注】我们在解|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的时候，一定要注意a的正负。当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解。
练习
1、解下列不等式
(1)|x-4|≤9
(2) |3x-3|≥15
2. 解下列不等式
(1) 2|2x+1|-4≥0
(2) |1-4x|≤2
“一元二次不等式的解法”
(一)教学设想
屯留县教师进修校 贾海芳
中职教材在提供本课内容时，是在实数乘法法则基础上进行的，所以在进行教学时总感觉思维放不开，总想利用数形转化的思想，即利用二次函数图象来进一步体现不等式的解集，更为直观。所以再进行这部分知识教学时，我考虑先学习函数图象，再进行二次不等式的求解学习，进一步体现知识之间的内在联系，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣，更便于知识之间的有机整合。
含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法
[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是
{x|-a0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c (c>0)型的不等式的解法。
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。
求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。
x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或 或 -4
原不等式解集为{x|-4
x2+3x-4<0
(x+
)2<
|x+|< -
原不等式解集为{x|-4
[例题分析与解答]
例1.解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。
[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴ -4
当a>0时，-
当a<0时，- >x>,
当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。
故a>0时不等式解集是{x|-
例2.解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。
[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和
x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。
(1)
-4≤x<-。
(2)
-≤x≤-。
(3)
。
综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。
例3.解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。
[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。
x2+(2-a)x-2a<0
(x+2)(x-a)<0
当a>-2时，原不等式解集是{x|-2例4.已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3
[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向(即a的符号)又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。
由ax2+bx+c>0的解集是-3
且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴ -3+1=-
∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0,
∵ a<0，∴ x2-x-2<0, (x-2)(x+1)<0,
∴ -1
，即=2, -3×1=，即=-3，
另法：∵ a<0，将所求不等式两边同除以a得
x2+(1+
)x+6(-1)>0,
将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0,
以下同上面解法。
在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。
例5.解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。
[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。
当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-
,x∈R}。
当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。
(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为
，。
不等式的解为{x|x<或x>}。
(2)若4
(3) 若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。
(4) 若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。
(5) 若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是：
{x|
[本周参考练习]
1.关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-
2.解不等式1<|x-2|≤7。
≤x≤，求a，b的值。
3.不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。 4.不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。
[参考答案]： 1.解：由|ax+1|≤b, ∴ -b≤ax+1≤b，∴ -b-1≤ax≤b-1。当a>0时，
≤x≤。
∴
, 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。
∴
当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。
2.解由1<|x-2|≤7,∴1
3.解：必有a<0，则x2+
x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。
将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴
x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0,
∵ αβ>0，∴ x2+(
)x+<0，∴ (x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴ ，即<, ∴->-，不等式解为-
4.解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根(β>α)。
∴ β-α=
，∴ a2+24a≤25,
-25≤a<24或0
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